Virtuální hospitace - Matematika a její aplikace: Procvičování rovnic a nerovnic
Archivní obsah
Tento materiál pochází ze staršího archivu rvp.cz a už není součástí aktuální nabídky. Uchováváme ho, aby na něj dál vedly původní odkazy.
Odborný článek
Virtuální hospitace - Matematika a její aplikace: Procvičování rovnic a nerovnic
2,8 (9 hodnocení)
Po probrání jednotlivých druhů rovnic a nerovnic je třeba utřídit a upevnit získané znalosti, aplikovat je v různých úlohách. Také je třeba se cvičit v komunikaci a rozvíjet vyjadřovací schopnosti. Umí žáci kontrolovat a hodnotit svou práci?
Cíl výuky
Virtuální hospitace byla natočena v dubnu 2011 v Podkrušnohorském gymnáziu Most. Jedná se o opakovací hodinu matematiky v prvním ročníku, jejímž cílem je rozeznání druhu rovnice, nerovnice nebo soustav, jejich vyřešení včetně komentáře, schopnost prezentace vlastní práce, analýza a hodnocení práce spolužáka.
O této vyučovací hodině můžete diskutovat přímo s vyučující Mgr. Ivanou Hotovou a s doc. RNDr. Naďou Stehlíkovou, Ph.D., z katedry marematiky a didaktiky matematiky Pedagogické fakulty Univerzity Karlovy. Pokud byste se jich na cokoli rádi zeptali nebo máte zájem diskutovat o hodině a natáčení s dalšími diváky této virtuální hospitace, zapojte se do online diskuze
. Diskuze probíhá v prostředí DIMDIM; hlavní prezentující během diskuze hovoří, další účastníci diskuze mají možnost své dotazy a postřehy psát prostřednictvím chatu.
Celé diskuzní fórum k této virtuální hospitaci naleznete zde.
K této virtuální hospitaci je otevřen pohled v digifoliu. Prohlédnout si jej můžete zde.
Reflexe
Cíl hodiny i dílčí cíle jednotlivých aktivit
Cíl hodiny byl součástí širšího cíle, což je orientace v problematice řešení rovnic, nerovnic a jejich soustav. Zvolené aktivity používám opakovaně, což má spolu s dalšími výukovými metodami vést k zvládnutí širokého spektra příkladů jmenovaného tématu. Naplánované aktivity proběhly bez větších zádrhelů a cíl byl splněn v tom smyslu, že se třída stále zapojovala do všech aktivit, a buď je žáci zvládali, nebo mě svými činnostmi upozornili na mezery, které v této oblasti mají a na kterých je třeba ještě pracovat.
Myslím, že jsem hodinu vedla v rámci své normy, pokyny byly pro žáky srozumitelné, úkoly vhodně zvolené, splnitelné. Časové rozvržení mi nevyšlo vždy ideálně, ale také nebylo příčinou větších obtíží.
Rozcvička – tato aktivita je zaměřena na rychlé a pohotové počítání zpaměti, které je podle mého názoru velmi důležité. Hlavně pak představa o číslech (např. 361 je 192). Procvičujeme číselné řady téměř každou hodinu, žáci stále dělají pokroky, při počítání rovnic pak nesahají po kalkulačce tam, kde je to zbytečné. V natáčené hodině bylo pro mě těžké se na zadávání řad soustředit, ale myslím, že aktivita proběhla podobně jako v jiných hodinách. Jen mám dojem, že žáci byli o něco méně úspěšní než obvykle.
Vyhodnocování rovnic, nerovnic a soustav – tuto metodu zařazuji také často, je to vlastně také jakási rozcvička, kde si žáci ve stručnosti zopakují některé druhy rovnic a nerovnic ve smyslu jejich kategorizace a uvědomění si, jak vůbec s řešením začít. Na tabuli obvykle napíšu asi čtyři rovnice či nerovnice a ptám se na jejich zařazení a způsob řešení. Stále se snažím zapojovat co nejvíce žáků, nenechám jednoho žáka „zpracovat“ celou otázku, všichni jsou tak stále ve střehu. Je vidět, že se žáci v problematice orientují, návrhy řešení byly z většiny správné, někde se objevila nevědomost, zaváhání či špatné vyjadřování, na což je třeba klást stále důraz. Snažím se trvat na správném vyjadřování. V hodině jsem byla při této aktivitě trošku nervózní a dokončovala jsem někdy myšlenku za žáka, což není dobré. Měla jsem být trpělivější. Ovlivnil mne pocit, že všechno dlouho trvá. V běžné hodině to člověk tak nevnímá, když se něco nestihne, tolik to nevadí.
Skupinová práce – tento typ činnosti má i jiné cíle než výše popsané. Umět pracovat ve skupině a vědět, že tato je na mé práci a připravenosti závislá, je důležité. Před aktivitou dělím žáky do skupin nejčastěji pomocí jednohlavých karet, což zaručuje náhodnost dělení. Každý by měl být připraven spolupracovat s kýmkoliv. V hodině proběhlo dělení do skupin po třech, žáci se po rozdání karet hledají spolužáky s kartou téže hodnoty. Když není počet žáků dělitelný třemi, zbylí žáci (v dané hodině to byli ti, kteří dostali eso), chodí mezi skupinami a jsou v roli pozorovatelů. Pozorovatelem je vhodné volit například žáka, který chyběl.
Po zahájení aktivity začne každý žák pracovat na svém listu, žáci by si neměli v této fázi navzájem radit. Po uplynutí určité doby, kdy by měli mít vyřešenu zhruba třetinu příkladu, si žáci listy vymění. Zde je důležité, že musí po svém spolužákovi jeho část zkontrolovat a pak pokračovat (bez domlouvání). Zde se stává, že druhý žák dostane prázdný papír a musí začít od začátku, nebo je to, co obdržel, úplně špatně. Žáci pak někdy dávají svému spolupracovníkovi najevo nelibost. To mívá motivační účinek k lepší přípravě (samozřejmě ne vždy). Výsledky každé skupinové práce si žáci zaznamenávají do tabulky, která bude předmětem diskuse v závěru pololetí (s kým se mi dobře nebo špatně spolupracuje apod.)
Byla jsem překvapena bezradností žáků nad nerovnicí v podílovém tvaru s kvadratickými trojčleny ve zlomku. Poradily si jen některé skupiny. Dostala jsem tedy zpětnou informaci, že tento typ nerovnice je třeba znovu procvičit v příští hodině. Jinak se zapojili všichni žáci a jejich podíl na řešení byl přiměřený času. Právě ten jsem při této aktivitě špatně rozvrhla, protočení pracovních listů bylo časově nerovnoměrné, špatně jsem to odhadla. To ale nebránilo nalezení správného řešení a výsledku. Následná kontrola a diskuse, která je podle mého názoru velmi cennou částí této aktivity, proběhla v menším ruchu než obvykle, mnoho žáků stále vnímalo kameru, což rušilo jejich soustředění se na problém. Právě to, že najdou místo, kde udělali chybu, sami, a pak zkoumají správné řešení, vede lépe k nápravě chyb, než když jsou jim opraveny mnou (všichni víme, že je často zajímá jen výsledná známka). Žáci se po kontrole sami hodnotí, příklady za skupinu oklasifikují (musí se dohodnout). Já potom ještě všechny listy překontroluji, případně jejich hodnocení opravím a vysvětlím, proč jsem tak učinila. To proběhne v následující hodině.
Prezentace připravené úlohy– žákyně prezentovala výborně, žáci ji poslouchali a dobře hodnotili. I jazykový projev byl velmi slušný, což je opět jeden z hlavních cílů této aktivity. Ale právě kvůli její úrovni prezentace se zde neprojevilo, jaké jsou někdy s objektivním hodnocením spolužáka problémy.
Samostatná práce – Často zařazuji samostatnou práci, kde za zcela správné řešení dostanou první tři žáci jedničku (pokud se žák dopustí chyby, je na ni upozorněn, ale známku nedostane). Je vhodné, aby zadaný příklad nebyl zvláště komplikovaný, v opačném případě to větší část třídy předem vzdává. Žáci pracovali podle očekávání, motivace jedničkou je vždy účinná. Snaha jí dosáhnout ovšem vede k rychlosti na úkor správného tvaru konečného výsledku, na kterém je třeba důsledně trvat. Po rozdání tří jedniček je třeba ukázat ostatním správné řešení.
Vhodnost zařazených aktivit, metod a forem práce
Použité metody byly vyzkoušené a ověřené, právě jejich systematické zařazování do hodin má vést ke stanoveným cílům. S časem jsou vidět na žácích pokroky.
Jak to viděli žáci
Žáci přistoupili na to, že budou natáčeni, vstřícně, trochu se styděli, zpočátku reagovali jinak než obvykle, ale sami pak říkali, že kameru časem přestávali vnímat. Neměli problém se skupinovou prací, spíš se obávali, aby na ně nevyšla prezentace. Po natáčení byli zvědaví, zda a kdy si budou moci video prohlédnout.
Vzájemná interakce
Žáci reagují v běžných hodinách více spontánně, nečekají na vyvolání, probíhá přirozená diskuse, jsou zvyklí, že se stále ptám a snažím se zapojit jich co nejvíce. Po výzvě k pokládání dotazů se ptají často. V tomto ohledu byli zřejmě natáčením hodně ovlivněni. Několik jich přišlo s dotazy až po hodině. Asi nechtěli vypadat před kamerou hloupě. Při zhlédnutí videozáznamu jsem si všimla, jak se občas radí tam, kde nemají (v určité fázi skupinové práce), protože jsem k nim zády. Je zajímavé vidět i jejich gesta nesouhlasu (při mém komentáři prezentace úlohy). Také jsem viděla, že ne všichni vždy pracují, ale většinou to byli žáci, u kterých bych to očekávala. Ale i to je pro mne inspirace, jak vymýšlet nové způsoby a motivovat k práci.
Rozvržení času, různorodost
Myslím, že hodina byla pestrá, je důležité, že se žáci nenudili a stále se zapojovali. Časově hodina celkem dobře vyšla až na zmíněné točení pracovních listů, které nebylo časově rovnoměrné. Zvolené aktivity byly přínosné a přispěly k plnění cílů. Jejich pořadí bylo myslím vhodné, například v druhé části (vyhodnocování rovnic, nerovnic a soustav) se žáci naladili na skupinovou práci a nakonec jsem jednu část využila i k samostatné práci. Při prezentaci si zase žáci odpočinuli od psaní a museli se pouze soustředit na výkon své spolužačky, aby ho pak mohli hodnotit. Závěr hodiny pak vyznívá optimisticky – buď dostanu jedničku, nebo si potvrdím, že postupuji dobře, jen ne dost rychle, nebo se aspoň dozvím správné řešení.
Hodnocení, sebehodnocení
Žáci hodnotili jednak svůj vlastní výkon při skupinové práci, jednak spolužáky, a to opět během skupinové práce a potom při prezentaci. V tomto ohledu dělají stále pokroky.
Shrnutí
Hodina proběhla ve většině podle očekávání. Natáčení sice žáky ovlivnilo, ale ne natolik významně, aby se celkový dojem zcela odlišoval od standardu třídy. Samozřejmě, že při prohlížení videa a zpětném hodnocení člověk stále nachází chyby, ty jsou však další a novou motivací k práci. Samo natáčení mě velmi motivovalo k přemýšlení nad vlastní prací. Pohled na sebe samu je sice neobvyklý, ale určitě přínosný. Stejně tak doufám, že bude podnětný pro kolegy, kteří se rozhodnou tuto hodinu zhlédnout.
Evaluace
Virtuální hospitaci zhodnotila doc. RNDr. Naďa Stehlíková, Ph.D., z katedry matematiky a didaktiky matematiky Pedagogické fakulty Univerzity Karlovy, která se rovněž zapojí do online diskuze k této hodině (13. 9. 2011 od 17.00 do 17.45).
Cílem hodiny bylo procvičování řešení různých typů rovnic, nerovnic a jejich soustav. Hodina měla jasnou strukturu, kterou učitelka žákům na začátku explicitně popsala. Z jejích úvodních slov lze soudit, že hodina nakonec proběhla v takové podobě, v jaké byla plánovaná. I když učitelka na závěr říká, že žáci byli kamerou trochu zaskočeni a nereagovali jako obvykle, z pohledu pozorovatele se mi to tak nejevilo. Žáci byli aktivní, dobře s učitelkou spolupracovali.
Nejdříve se vyjádřím k jednotlivým částem hodiny, následně se pokusím formulovat, jaký vyučovací styl asi paní učitelka preferuje, a nakonec nabídnu některé otázky k diskusi.
Jednotlivé části hodiny
Rozcvička – jedná se o počítání zpaměti, při kterém si žáci musejí pamatovat poměrně dlouhou řadu čísel a matematických operací (zapisují si jen výsledky). To je podle mých zkušeností na střední škole poměrně vzácné.
Opakování pojmů a terminologie – na tabuli jsou čtyři rovnice a nerovnice a úkolem žáků je u každé z nich zpaměti bez řešení pojmenovat její typ a terminologicky správně popsat její řešení (např. lineární rovnice, soustava nerovnic, kvadratická rovnice, dosazovací metoda, kvadratická nerovnice, nulové body, nerovnice s absolutní hodnotou, nerovnice v součinovém tvaru, substituce apod.). Učitelka vyvolává jednoho žáka po druhém a nechává je, aby se vzájemně doplňovali. Žáci tedy musí být pozorní a navzájem se poslouchat. Celkově se jedná o zajímavý způsob opakování a nebývalý důraz na správnou terminologii.
Práce ve skupinách – učitelka používá zajímavý a rychlý způsob rozdělení do skupin. Roli hraje v podstatě jen náhoda, žáci dostanou hrací karty a tvoří skupiny po třech podle typu karty. Dvě dívky, které jsou navíc, fungují jako pozorovatelky; v době, kdy skupiny pracují, chodí po třídě a pozorují, jak ostatní řeší. Posléze od nich učitelka chce jakousi zpětnou vazbu k práci ostatních.
a) Samostatná práce – žáci řeší každý sám jednu z úloh (rovnic či nerovnic), které dostali na třech pracovních listech. Po určité době učitelka práci ukončuje a žáci si mají v dané skupině pracovní listy vyměnit. Nejdříve zkontrolují, zda žák před nimi řešil úlohu správně, a pak pokračují v řešení. To se opakuje ještě jednou.
b) Společná práce ve skupině – po chvíli si mají žáci sami opravit svá řešení na základě správného řešení, které dostanou od učitelky, k tomu mají použít jinou barvu propisky. Žáci tedy provádějí samokontrolu, ovšem učitelka jim při tom pomáhá. Chodí po třídě, sleduje, co skupiny dělají, a klade doplňující otázky. Nakonec se žáci mají ohodnotit známkou a přesně vyznačit, kde udělali chybu.
c) Frontální práce – učitelka ukončuje práci dotazem na nejasnosti, žáci nemají žádné otázky. Domnívám se, že v této fázi by se mohla frontálně více rozebrat rovnice v podílovém tvaru a nesprávné způsoby řešení, které žáci použili. (Učitelka tak stručně učinila ještě před samokontrolou, nicméně v době, kdy žáci ještě nevěděli, kde asi udělali chybu.)
Prezentace vlastního řešení úlohy – ze sbírky k maturitě mají žáci za úkol předem si připravit podrobné řešení dvou úloh. To pak (na základě losování) prezentují před celou třídou (do čehož učitelka nezasahuje). Je zajímavé, že ostatní žáci řešení jen sledují, nic si nezapisují. Jejich úkolem je nejen pochopit způsob řešení, ale také zhodnotit, jak se to dané žákyni u tabule povedlo didakticky vysvětlit (zda to bylo pro ně srozumitelné), zda používala správnou terminologii apod. Nakonec ji žáci mají ohodnotit známkou, což činí, a automaticky vysvětlují i své důvody. Při hodnocení učitelka klade důraz nejen na to, aby řešení bylo matematicky správně, ale také aby byly jeho jednotlivé kroky správně pojmenovány.
Samostatná práce„na jedničky“ – žáci si mají vybrat z úloh, o nichž diskutovali na začátku hodiny, jednu a tu řešit. Je vybrána úloha na substituci. Výhodu mají ti žáci, kteří dávali na začátku hodiny dobrý pozor, protože tam bylo řečeno, jaká substituce se má udělat. Žáci se dávají do práce, přičemž učitelka prochází třídou a sem tam něco komentuje. Žáci postupně chodí ke stolku, kde učitelka kontroluje jejich řešení – upozorňuje přitom, kde mají případnou chybu. Na konci práce jedna žákyně prezentuje své řešení na tabuli. Učitelka ji vyzývá, aby použila Vietovy vzorce, protože u této rovnice jsou výhodné.
Co lze z hodiny usoudit na vyučovací styl učitelky
Je zřejmé, že na základě jedné vyučovací hodiny můžeme činit jen opatrné závěry, nicméně se o to pokusím.
Učitelka má klidný a kultivovaný projev. Hodina má rychlý spád, nejsou v ní hluchá místa, čehož učitelka dosahuje zejména střídáním různých forem práce. Učitelka a žáci mají v hodinách matematiky vytvořenu celou řadu „rituálů“, které hodině dávají patřičný spád (např. způsob rozdělení do skupin, žáci-pozorovatelé, rozcvička, sledování řešení jiného žáka a jeho hodnocení, samokontrola, losování). Žáci jsou zjevně na tyto rutinní praktiky zvyklí. Domnívám se, že slouží nejen k urychlení práce, ale žákům poskytují též pocit bezpečí. V každém okamžiku vědí, co mají dělat, co se od nich očekává, a mohou se tedy koncentrovat na vlastní matematickou práci.
Z hlediska matematiky je pro učitelku důležité, aby se žáci též správně matematicky vyjadřovali. Podle mých zkušeností nebývalý důraz je kladen na správnou terminologii. Žáci jsou důsledně vedeni k tomu, aby slovně popisovali svá řešení. Dále učitelka zřejmě považuje za důležité, aby se i při matematice rozvíjela paměť (důraz na terminologii, rozcvička, sledování řešení jiného žáka, které si žáci nezapisují, apod.).
Učitelka důsledně poskytuje žákům zpětnou vazbu a snaží se je všechny do hodiny aktivně zapojit. Žáci jsou zjevně vedeni k tomu, aby si navzájem naslouchali a poučili se i z vyjádření spolužáků. Učitelka rozhodně nepůsobí jako finální arbitr správnosti, jde jí o to, aby si žáci byli schopni poradit i sami.
Učitelce jde o porozumění matematice, často nechává žáky vysvětlit svůj způsob řešení, chce, aby si sami našli chybu. U některých úloh vede žáky i k více způsobům řešení. Opakování látky považuje za důležité z hlediska porozumění, ovšem klade při něm důraz nejen na výsledek řešení, ale zejména na jeho proces a na zvědomění celého procesu – žáci mají řešení podrobně komentovat, prezentovat před třídou a uvažovat o něm. U opakování látky nechce, aby se žáci fixovali jen na posledně probírané učivo, proto se např. k opakování rovnic a nerovnic bude vracet i později, když budou probírat planimetrii. U této látky je pro žáky důležité, aby ji měli upevněnou a cítili se v ní bezpečně, protože ji učitelka považuje v rámci učiva střední školy za stěžejní.
Otázky k diskuzi
Rozdělení do skupin: Klasickou otázkou je diskuse o přínosnosti náhodného rozdělení do skupin versus rozdělení podle žákovských schopností (vyrovnané skupiny, skupiny se žáky s rozdílnými schopnostmi v matematice). K obecnému konsensu nelze dospět, můžeme ale diskutovat o náhodném rozdělení v předvedené hodině.
Práce ve skupinách, kdy každý žák řeší jen část úlohy: Jaký je přínos právě takového způsobu řešení úloh? Dá se tento způsob použít i u jiných typů úloh, u nichž neexistuje předem daný algoritmus řešení? Nepůsobí škodlivě fakt, že žáci vlastně udělají kousek jedné rovnice, pak jsou přerušeni a dělají část řešení jiné úlohy, musejí se tedy úplně přeorientovat a začít se opět soustředit na jinou úlohu?
Prezentace řešení u tabule žákem: Jaký je důvod, že si žáci nemají zapisovat řešení, které žákyně prezentuje u tabule? Proč si nemohou své postřehy o „didaktické hodnotě prezentace“, použité nesprávné terminologie apod. zapisovat a musejí si je pamatovat?
Závěr
Myslím, že z mého rozboru je jasné, že předloženou hodinu jsem zhlédla s velkým zájmem. Hodina byla sice opakovací (a velmi by mě někdy zajímala hodina, kde se bude probírat nová látka), ovšem učitelka využila různé formy práce, z nichž řadu nepovažuji za zcela tradiční. Hodina tedy může být inspirací i pro další učitele či studenty učitelství.
Literatura a použité zdroje
BOČEK, L; BOČKOVÁ, J; CHARVÁT, J. Matematika pro gymnázia. Rovnice a nerovnice. 2. vyd. Praha: Prometheus, 1995. ISBN 80-7196-001-2.
