Virtuální hospitace - Matematika a její aplikace: Goniometrické rovnice
Archivní obsah
Tento materiál pochází ze staršího archivu rvp.cz a už není součástí aktuální nabídky. Uchováváme ho, aby na něj dál vedly původní odkazy.
Odborný článek
Virtuální hospitace - Matematika a její aplikace: Goniometrické rovnice
4,0 (2 hodnocení)
V hodině se řeší aplikační úloha z geometrie, užívají se odhady, práce s grafy a výpočty. Žáci znají základní vlastnosti goniometrických funkcí a základní techniky řešení goniometrických rovnic.
V této hodině matematiky byly aplikovány goniometrické funkce na úlohy z geometrie. Výuky se zúčastnili žáci druhého ročníku gymnázia, hodina byla natočena v prosinci 2009.
Cíl výuky
Cílem vyučovací hodiny je aplikovat znalosti o goniometrických funkcích při řešení problémových úloh.
O vyučovací hodině matematiky můžete diskutovat s vyučující této hodiny, RNDr. Helenou Kommovou, a s vedoucí Katedry matematiky Pedagogické fakulty Univerzity Karlovy v Praze, doc. RNDr. Naďou Stehlíkovou, Ph.D. Pokud byste se jich na cokoliv rádi zeptali nebo máte zájem diskutovat o hodině a natáčení s dalšími diváky této virtuální hospitace, zapojte se do Online diskuze. Taproběhne 24. 2. 2010 od 16.00 hodin na Metodickém portálu v prostředí diskuzí pro gymnázia.
Do diskuze mohou přispívat pouze registrovaní uživatelé Metodického portálu. Registrovat se můžete zde.
Diskuzní fórum k virtuálním hospitacím naleznete zde.
K této virtuální hospitaci je otevřen pohled v digifoliu
Opakovací fáze – hodnoty funkcí: žáci pracovali samostatně, správně a rychle. Nad odhadem úhlu proběhla diskuse s pěknými argumenty.
Opakovací fáze – řešení rovnic: trochu zklamání, žáci volili nevhodnou metodu a jedno oddělení úlohu nevyřešilo.
Zadání problému a úvodní diskuse: bylo vidět, že žáci nejsou zaskočeni, dobře odhadovali výsledek.
Řešení úlohy: žáci dovedli vyjádřit vzdálenosti a sestavit rovnici, tj. aplikovat poznatky, ale zbylo málo času na řešení a ověření.
Cíle hodiny bylo celkem dosaženo.
Vhodnost aktivit
V opakovací fázi jsem měla zařadit pouze jednu rovnici a spíše se zaměřit na více metod řešení. Zbylo by tak více času na závěr hodiny. Nepředvídala jsem, že na začátku hodiny bude nutno pár minut věnovat natáčecí technice. Jinak mám aktivity vyzkoušené a myslím, že celkem fungují – všichni žáci pracují dosti intenzívně.
Pohled žáka
Žáci byli nepochybně filmováním zaraženi a trochu se asi styděli – mluvili potichu a prakticky jen na vyzvání. Možná jsem měla zvolit skupinu, kterou více znám (tyto žáky učím teprve od září a oni sami se mezi sebou ještě málo znají). Pracovali soustředěně a intenzívně, což je v této skupině obvyklé. Podle jejich hodnocení byla hodina „příliš obyčejná“, což byl ale můj cíl…
Interakce
Hodina byla vedena učitelem, ale žáci pracovali hodně samostatně. Bylo cítit úlevu ve chvíli, kdy měli kontrolovat výsledky ve dvojicích anebo když mohli individuálně promluvit s učitelem „mimo kameru“. Žáci, kteří předváděli řešení ostatním, byli trochu nejistí.
Formy práce
Střídala se samostatná práce žáků, práce ve dvojicích, práce frontální. Vynechala jsem práci ve skupinách 3 - 4 žáků, jelikož tato třída není ještě na takovou formu zvyklá a zadaná úloha nebyla dostatečně složitá.
Čas
V opakovací fázi – řešení rovnic – jsem měla zvolit jednu rovnici a zístkat tak více času v závěru hodiny. Takto jsme se k úloze vraceli ještě další den na cvičení a ověřovali řešení.
Hodnocení, sebehodnocení
Tereza, která předvedla řešení úlohy na tabuli, velmi hezky pochopila, že neudělat zkoušku je v tomto případě velká chyba. Rovněž ostatní žáci reflektovali, že „vypočítat jeden výsledek ještě není celé řešení“. Veronika si uvědomila numerickou chybu v samostané práci – je to ve filmu vidět – a opravila se. Žáci jsou vedeni k tomu, aby se z chyb poučili.
Závěr
Hodina proběhla celkem podle očekávání, splnila cíl. Byl trochu problém s časem. Nepřihodilo se nic mimořádného – ani velká diskuse, ani velký „omyl“, které by udělaly z hodiny nějaký velký zážitek. Tyto věci se nedají naplánovat, stávají se nečekaně a jsou velmi cenné. Při prohlížení hodiny jsem si uvědomila, jak velké je nasazení učitele v hodině a proč se cítím z práce tak vyčerpaná.
Evaluace
Virtuální hospitaci zhodnotila doc. RNDr. Naďa Stehlíková, Ph.D. (Katedra matematiky a didaktiky matematiky, Pedagogická fakulta Univerzity Karlovy v Praze), která se rovněž zapojila do diskuze o této hodině na Metodickém portálu. Její příspěky k diskuzi naleznete zde.
Rozbor hodiny matematiky
Nejdříve se vyjádřím k jednotlivým kapitolám a následně pak ke dvěma aspektům hodiny.
Kapitola 1
Zaujala mě poznámka o rozdělení žáků z různých tříd do skupin podle jejich zájmu o matematiku. Tento systém má řadu výhod. Na jedné straně umožňuje skutečně diferencovanou výuku v matematice a na druhé straně netvoří jednu „lepší“ a jednu „horší“ třídu. Při výuce většiny ostatních předmětů jsou žáci patrně ve svých kmenových třídách. Toto rozdělení je možné ve škole, kde je více paralelních tříd.
Kapitola 2
Organizační úvod – žáci vypadají trochu zaraženě. To je při natáčení celkem přirozené, ale dá se tomu i trochu předcházet. Například tím, že se ve třídě provede falešné natáčení – stačila by jedna statická kamera, na kterou by si žáci zvykli.
Kapitola 3
Žáci pracují samostatně, dostávají pracovní list, do něhož vyplňují hodnoty goniometrických funkcí. Matematickou rozcvičku v různé podobě používá řada učitelů na všech stupních škol jako vhodný úvod do hodiny. Žáci se začnou soustředit a dostanou se do „matematického módu“. Je dobré, že učitelka jim do této samostatné práce nijak nezasahuje a dává jim čas na to, aby si vše stačili dobře rozmyslet. (Učitelé mají často tendenci i při samostatné práci dodávat různá vysvětlení či upozornění, což může žáky zbytečně rozptylovat.) Zároveň ovšem učitelka prochází třídou a zjišťuje, zda není někdo „ztracen“.
Zpětnou vazbu si žáci poskytují nejdříve mezi sebou – mohou pracovat ve dvojicích a navzájem si věci vysvětlovat. Z videozáznamu je vidět, že tak skutečně činí. To považuji za vhodné a přispívá to k sebehodnocení žáků.
Následuje společná kontrola – žáci říkají výsledky a učitelka hodnotí, zda jsou správné. Je zařazena i situace, která nemá řešení, a učitelka vyjadřuje uspokojení nad tím, že se žáci „nedali chytit“. U úlohy, kde mají žáci provést odhad, nechává, aby svůj postup vysvětlil jeden z žáků.
Kapitola 4
Na tabuli jsou napsány tři rovnice, každé oddělení má řešit jednu z nich. To je zřejmě proto, aby žáci vyřešili více rovnic a současně aby mohli v práci pokračovat ti žáci, kteří úkoly řeší rychleji.
Z třídy je slyšet, že mezi žáky místy probíhá nějaká spolupráce, i když jinak vidíme, že soustředěně pracují samostatně. Učitelka prochází třídou a dívá se do řešení žáků, případně poradí. Řešení pak na tabuli píší žáci, které k tomu postupně vyzve.
Učitelka pak komentuje způsob řešení úlohy na tabuli (žák použil vzorec pro poloviční úhel) a ptá se, zda to někdo řešil jinak. Jedna z žákyň skutečně jiný způsob navrhuje. Je velmi důležité, aby si právě u této látky (využití goniometrických vzorců) žáci uvědomili, že existuje více možných strategií a některé z nich mohou být výhodnější než jiné. Ve druhé části této kapitoly pak učitelka tázacím způsobem dovede žáky k poznání, že je třeba udělat zkoušku a uvědomit si, že hodnot úhlů, které jsou řešením rovnice, může být více.
Zdá se, že třída má problém s první rovnicí. Učitelka se tedy rozhodla, že dá žákům nápovědu (udělat jakousi substituci x = 2y). Žáci pak doplňují jednotlivé kroky, které učitelka provádí na tabuli. Učitelka pak upozorňuje, že toto řešení je jednodušší a vyhnou se jím nutnosti zkoušky, protože nemuseli umocňovat na druhou. Při dalším řešení této rovnice se učitelka snaží zapojit v maximální míře i žáky. Je zřejmé, že by tuto rovnici mohl po krátké nápovědě vyřešit i některý z žáků, nicméně myslím, že učitelka se již cítí v časové tísni a chce stihnout i hlavní problém naplánovaný pro tuto hodinu. Z tohoto důvodu také nechá zkoušku za domácí úkol. Jde o mechanické dosazování, takže by žáci ze společné práce zřejmě nezískali příliš nového. Navíc je to přiměje k tomu, že se k úloze, která jim dělala velké problémy, vrátí a znovu ji promyslí. To je situace známá každému učiteli, který chce na začátku hodiny jen „rychle“ zopakovat již známé poznatky a přitom zjistí, že je třeba více času.
Kapitola 5
Dostáváme se k hlavnímu problému hodiny, který učitelka načrtává na tabuli. Úloha je netriviální. Aby žáci získali vhled, učitelka dělá společný úvod, kde pomocí několika otázek zjišťuje, zda je žákům podstata úlohy jasná. Myslím, že stejně jako v předchozích částech hodiny se zde projevuje snaha učitelky, aby žáci nebyli ponecháni jen sami sobě, ale aby se ujistila, že se orientují v problému, a mohou tedy začít pracovat. Jedna z otázek se týká i určitého odhadu, žáci se mají zamyslet nad tím, jak by situace mohla vypadat. Učitelka pak důsledně žádá od žáků, aby své úvahy podpořili argumenty. Zazní dva odhady. Omezení velikosti úhlu zezdola se zpočátku příliš nedaří, zdá se, že úloha je pro žáky poměrně náročná. Učitelka pak spíše dovede žáky k tomu, že zkoumané hodnoty se budou pohybovat mezi 30 a 45 stupni.
Kapitola 6
Pokračuje práce se stejnou úlohou. Žáci mají odhadnout, který graf by mohl popisovat danou závislost. Učitelka opět vyžaduje, aby své odhady podpořili argumenty. Pak jejich úvahu ještě zopakuje, aby ji zachytili i ostatní. Zde žáci docela živě reagují a poskytují argumenty.
Následují výpočty. Žáci mohou pracovat ve dvojicích, pokud chtějí. Učitelka je připravena pomoci, pokud vidí, že je někdo bezradný. Dílčí výsledky píší žáci na tabuli. Druhý žák, který přišel k tabuli, chtěl svůj postup zdůvodnit, ale učitelka si ho nevšimla. Ukazuje to však, že zdůvodňování je pro žáky skutečně velmi přirozené a jsou k němu vedeni.
Atmosféra hodiny
Projev učitelky je velmi klidný a příjemný. Nestresuje žáky, ale na druhou stranu udržuje i poměrně svižné tempo. Žáci se sice cítili v přítomnosti kamery nejistě, nicméně postupem času si zřejmě trochu zvykli, protože se nechali vtáhnout do matematické práce. Je nutné říci, že učitelka žáky hodně chválila, a to i tehdy, když to, co žák řekl, nebylo zcela správně. Řekla bych, že v českých hodinách matematiky časté chválení příliš běžné není.
V kapitole 5 se učitelka dopustila neúmyslné chyby, na kterou ji jeden z žáků okamžitě upozornil. Je to pěkná ukázka toho, že mezi učitelkou a žáky panuje ovzduší důvěry – žáci se neostýchají upozornit na chybu a učitelka toto upozornění přijímá, aniž by se obávala, že tím utrpí její autorita.
Interakce mezi učitelkou a žáky a mezi žáky navzájem
Hodina byla tradiční v tom smyslu, že interakce probíhala hlavně mezi učitelkou a celou třídou, resp. jednotlivými žáky, a jen velmi omezeně mezi žáky navzájem. Jako forma práce byla zvolena samostatná práce žáků a práce ve dvojicích. Šlo však o funkční práci ve dvojicích, žáci tedy mohli spolupracovat, pokud chtěli. Bylo vidět, že někteří toho využili, jiní ne. V úvahu přichází ještě práce skupinová, která by se dala použít u hlavního problému hodiny. Jak víme z autoevaluace, učitelka se domnívá, že na to nebyl problém dostatečně nosný. Je to možné, zdá se mi ale, že např. diskuze kolem odhadů ve skupinách by mohla být zajímavá. Tím však nechci říci, že společná práce v této fázi hodiny byla zvolena nevhodně! Konečně podstatou výuky (a u matematiky obzvláště) je to, že volíme z různých alternativ.
Nemohu opomenout i zdánlivě banální fakt, že žáci dostali během hodiny dostatek prostoru, aby si situace, které jim byly předkládány, samostatně v klidu promysleli. To podle mého názoru není v hodinách matematiky úplně běžné. Někdy učitel na žáky spěchá nebo nechá žáka, který je nejrychlejší, aby řekl své řešení, aniž mají ostatní čas si vůbec uvědomit, o co v úloze jde.
Konečně je nutno ocenit, že interakce, která v hodině probíhala, byla skutečně založena na matematickém argumentování, v němž byli žáci učitelce zdatnými partnery.
