Prvňáci a matematika VII. Číslo 0

Teprve v učebnicích vydávaných od druhé poloviny 70. let bylo poznávání čísla nula zařazeno do učebnic matematiky pro 1. ročník. Číslo 0 se zde objasňovalo jako počet prvků prázdné množiny, která se schematicky znázorňovala diagramem (obr.1), což umožňovalo znázornit nulu jako sčítance – menšitele (obr.2).

Tématem tohoto článku je objasnit žákům číslo 0, naučit je číslo 0 schematicky znázorňovat různými způsoby (diagramem, dominovou kartou, prázdnou kartou bez teček a třeba i prázdným drátem počítadla, na němž nejsou žádné kuličky) a naučit je uvědoměle počítat příklady sčítání a odčítání, v nichž je sčítancem, menšitelem nebo rozdílem číslo 0. 

Novým typem cvičení jsou zde cvičení, v nichž je schematicky zaznamenán vztah "hned před" pomocí šipky (prezentace, snímek 5, cv. 1, pracovní listy, cv. 6) Tento vztah je důležité procvičovat i v souvislosti se vztahem před, za. Např. tak, že žáci dostanou za úkol určit číslo, které je v řadě čísel hned před číslem 4 a vyjmenovat všechna čísla, která jsou v řadě čísel před číslem 4.

Dalším novým typem cvičení jsou i cvičení, v nichž se procvičuje sčítání a odčítání pomocí očíslované hrací dráhy (prezentace, snímek 13, pracovní listy, cv. 9), která je průpravou k práci s číselnou osou.

Numerace

- počítání po jedné, čtení, psaní, znázorňování čísla 0, porovnávání čísla 0 s čísly 0 až 6 (<, >, =), přirozené uspořádání čísel 0 až 6, nerovnice a řešení aplikačních úloh pomocí nerovnic.

Při poznávání čísla 0 mají žáci např. dva sáčky. V jednom jsou kuličky nebo jiné drobné předměty a druhý je prázdný. nebo ukazují krabičku, v níž jsou např. kamínky a druhá je prázdná. Tyto situace schematicky zaznamenávají pomocí diagramů, ke kterým přikládají čísla, počty prvků v diagramech (obr.3).

Přirozené uspořádání čísel se procvičuje i formou číslovek řadových, což u čísla nula není jednoduché, proto je zde voleno číslování knoflíků ve výtahu, kde je číslem nula označeno přízemí. Vztah "hned před", "hned za", se zde zaznamenává pomocí šipky.

Porovnávání čísla 0 s čísly 0 až 6 je možné motivovat pohybem figurek po hrací dráze, kde start je číslo 0. Dále je vhodné porovnávat počty teček na kartách, počty prvků v diagramech, kuličky na dvou drátech počítadla apod. Přitom žáci zapisují příslušné nerovnosti stíracím fixem na folii nebo je sestavují z karet s čísly. Dále je možné procvičovat porovnávání čísel i hromadně tak, že vyučující žákům ukáže kartu s číslem a úkolem žáků je ukázat kartu s číslem větším, menším, rovným ukázanému číslu podle pokynů vyučujícího.

Porovnávání čísel se upevní i na úlohách daných přirozenou situací. Žáci popisují situace na obrázcích: Na jedné větvičce jsou tři lístky, z druhé větvičky již všechny lístky opadaly, je holá. Žáci zapíší příslušnou nerovnost 4 > 0.

Na porovnávání čísel navazuje procvičování řešení jednoduchých nerovnic.

Cvičení

1. Tabule - prezentace, snímek 2, cv. 1, pracovní listy, cv. 1: Vyučující žákům ukáže krabičku, ve které jsou např. 4 kostky a druhá je prázdná. Žáci říkají kolik věcí je v jedné, v druhé krabici. Ke krabičce s kostkami vyučující přiloží kartu s číslem 4 a žáci uvažují o tom, jaké číslo přiloží ke krabičce prázdné. Mezi kartami s čísly pak najdou číslo 0. Žáci si prohlížejí obrázek na tabuli, na pracovním listě a říkají, kolik kuliček je v sáčku, kolik kol má plachetnice, kolik obrázků je vyznačeno diagramem, kolik nohou má hlemýžď. Obrázky spojují čarou s číslem 0.
2. Tabule - prezentace, snímek 2, cv. 2, pracovní listy, cv. 2: Nácvik psaní číslice 0.
3. Procvičování čtení čísel 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6: Vyučující říká čísla a žáci je ukazují svými kartami. Žáci řadí karty s čísly nejdříve podle diktátu např. tři, jedna, dvě, nula, šest, pět, čtyři, a pak je seřadí od nuly do šesti.
4. Na tabuli jsou zapsána čísla 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 a žáci je čtou podle pokynů: Přečtěte všechna čísla před (za) číslem 5, hned před (hned za) číslem 1.
5. Tabule – prezentace, snímek 3, cv. 1, 2, pracovní listy. cv. 3, 4: Procvičování psaní čísel. Žáci píší do sešitů číslice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 podle diktátu vyučujícího, a pak píší řadu čísel 0 až 6 v jejich přirozeném uspořádání. Nato doplňují čísla v pracovních listech.
6. Vyučující ukazuje karty s tečkami, přičemž nejčastěji ukazuje prázdnou kartu. Žáci ukazují kartu s příslučnou číslicí. Žáci podle pokynů dávají do krabičky, na misku, do sáčku daný počet předmětů, a pak kreslí, vyznačují, co udělali. K vyznačeným souborům věcí pak přiřazují čísla.
7. Vyučující žákům ukazuje karty s čísly (tečkami), žáci je hromadně čtou. Jakmile však ukáže číslo 0 (prázdnou kartu), žáci místo vyslovení čísla tlesknou.  
8. Tabule - prezentace, snímek 4, pracovní listy, cv. 5: Žáci mluví o tom, zda někdy jeli výtahem a uvažují o tom, jak jsou očíslována tlačítka ve výtahu a jak je označeno tlačítko pro přízemí. Proč je přízemí označeno číslem 0?
9. Tabule - prezentace, snímek 5, cv. 1, 2, 3, pracovní listy, cv. 6, 7, 8: Vyučující ukazuje žákům karty s čísly a žáci ukazují kartu s číslem, které je v řadě čísel hned před, hned za ukázaným číslem. Pak řeší úkoly promítnuté na tabuli a v pracovních listech.
10. Tabule - prezentace, snímek 6, cv. 1, snímek 7, cv 1, 2, pracovní listy, cv. 9, 10, 11, 12: Žáci házejí hrací kostkou, posouvají figurky po hrací dráze a porovnávají počty skoků figurek. Start, kdy figurka neudělala žádný skok, je označen číslem 0. Tyto činnosti zaznamenávají i v pracovním listě, zapisují nerovnosti. Pak porovnávají počty teček na dominových kartách, počty kuliček na dvou drátech počítadla a zapisují příslušné nerovnosti.
11. Tabule - prezentace, snímek 7, cv. 3, pracovní listy, cv. 13: Žáci zapisují čísla, počty obrázků vyznačených diagramy a doplňují mezi čísla znaky <, >, =. Zapisují tak nerovnosti, rovnosti.
12. Na tabuli jsou zápisy např. 0 < 3, 0 > 3, 0 = 3 / 0 < 0, 0 > 0, 0 = 0 / 6 < 0, 6 > 0, 6 = 0. Žáci zápisy čtou a rozhodují, zda je nebo není pravda to, co je zapsáno na tabuli. Pravdivé zápisy podtrhnou, nepravdivé škrtnou.
13. Hra ano, ne: Na tabuli je připevněna obrácená karta s jedním z čísel 0 až 6. Úkolem žáků je uhodnout, které z čísel je na kartě. Vyučující odpovídá pouze ano, ne. Odpověď se zaznamenává škrtnutím popř. podtržením daného čísla v řadě čísel 0 až 6. Vyučující postupně vede žáky k tomu, aby při hádání využívali vztahy větší, menší mezi čísly .
14. Pracovní listy, cv. 14: Znázorňování nerovností.
15. Tabule - prezentace, snímek 8, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 15, 16: Žáci řeší nerovnice znázorněné figurkami na hrací dráze. Čísla, která je možno do rámečku doplnit v řadě čísel 0 až 6 podtrhnou, ostatní škrtnou. Některé z podtržených čísel do rámečku doplní. Žáci řeší nerovnice. Do rámečku doplní řešení. Další čísla, která je možno doplnit do rámečku, zapíší na řádek.

Sčítání a odčítání

- sestavování příkladů sčítání a odčítání, znázorňování příkladů sčítání a odčítání, sestavování rovnic, znázorňování rovnic, aplikační úlohy.

Sčítání a odčítání v oboru přirozených čísel do 6, kdy je jednou ze složek početního výkonu číslo 0, je vhodné vyvodit na  činnostech s knoflíky v dlaních, kdy jedna dlaň zůstává prázdná. Tato činnost se graficky znázorní diagramy obdobně jako při vyvozování příkladů sčítání a odčítání v předchozích tématech. Ke každé situaci a diagramu žáci sestaví a zapíší příklady sčítání i odčítání.

Žáci sestavují příklady sčítání a odčítání k jednoduchým schématům a diagramům i konkrétním situacím.

Znázorňování příkladů sčítání a odčítání se procvičuje tak, že jsou na tabuli zapsány příklady sčítání a odčítání do šesti, v nichž je některou ze složek početního výkonu číslo 0, nebo takové příklady vyučující žákům ukazuje na kartách, a žáci je znázorňují různými způsoby. Kladou knoflíky na dominové karty, do připravených diagramů nebo diagramy kreslí nebo vybírají z dominových karet připevněných na tabuli tu, která znázorňuje daný příklad.

Sčítání a odčítání je vhodné procvičovat i na očíslované hrací dráze. Žáci mají hrací dráhu, figurky a hrací kostku a počítají, na které číslo postoupí figurka po hodu hrací kostkou.

Sčítání a odčítání s číslem 0 je vhodné procvičit i formou řešení jednoduchých rovnic, které se uvedou pomocí manipulativních činností s knoflíky ve dlaních tak, že jedna dlaň zůstává prázdná obdobně jako se vyvozovalo sčítání a odčítání. Sevřená pěst je konkrétním vyjádřením neznámé. Žáci tyto činnosti znázorní diagramy. To, že jsou některé knoflíky schované zaznamenáme prázdným rámečkem. Prázdným rámečkem zaznamenáme, že některé číslo v příkladu neznáme, že je hledáme. Prázdný rámeček vyznačuje místo, kam zapíšeme hledané číslo.

Zapsali jsme tak rovnici 0 + ◊ = 2. Čteme: Nula plus neznámé číslo, neznámá rovná se 2. Diagram znázorňuje čtyři rovnice. Zapíšeme je 0 + ◊ = 2,  ◊ + 0 = 2, 2 -  ◊ = 2,    2 – 0 = ◊.  Které číslo je hledané, neznámé číslo, jak je vypočítáme? (2 – 0 = 2)

Číslo 2 doplníme do rámečku v každé ze čtyř rovnic. Žáci doplní do diagramu prvky a tak se přesvědčí, že všechny čtyři rovnice mají totéž řešení. Ve cvičeních pak žáci sestavují k diagramům rovnice. Pokud žáci rovnice sami zapisují nemusí kreslit rámeček, ale stačí jestliže zapíší pouze čárku např. 0 + _ =  2. Žáci rovnice též znázorňují diagramy.

Diagram (obr. 4) je v podstatě jedinou možností, jak takovou jednoduchou rovnici znázornit. Při znázorňování rovnic je možno na žácích požadovat, aby sestavili další znázorněné rovnice. Rovnice je možno řešit i postupným dosazováním, např. se do rámečku v rovnici zapsané na tabuli postupně přikládají karty s čísly a žáci rozhodují o tom, zda takto získaná rovnost je nebo není pravdivá. 

Řešení rovnic, v nichž je i číslo 0, se dále procvičuje i formou řešení aplikačních úloh. Žáci nejdříve formulují aplikační úlohy k diagramům, jimiž jsou vyznačeny konkrétní obrázky a prázdným rámečkem je dáno, k čemu se má vztahovat otázka. Např. na dvou dubových větvičkách jsou celkem 3 listy. Na jedné větvičce jsou 3 listy. Kolik listů je na druhé větvičce? Dále pak žáci formulují aplikační úlohy ke konkrétním obrázkům a znázorňují je diagramy, v nichž prázdným rámečkem vyjádří k čemu se vztahuje otázka.

Cvičení

1. Tabule - prezentace, snímek 9, pracovní listy, cv. 17: Žáci mají knoflíky, berou je do dlaní, pak ruce spojí. Kreslí diagramem, schématem, co dělali a pak sestavují příklady sčítání a odčítání.
2. Žáci mají dominovou kartu, kladou do jednotlivých polí knoflíky (jedno pole zůstává prázdné) a říkají, jak vypočítají, kolik je všech knoflíků na kartě, jak vypočítají, kolik knoflíků je v jednom poli. Říkají popř. zapisují příklady sčítání a odčítání znázorněné knoflíky na kartě.
3. Vyučující ukazuje žákům dominové karty a žáci sestavují, říkají znázorněné příklady sčítání a odčítání.
4. Tabule - prezentace, snímek 10, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 18, 19: Žáci sestavují, zapisují znázorněné příklady sčítání a odčítání.    
5. Tabule - prezentace, snímek 11, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 20, 21: Žáci znázorňují diagramy a dominovými kartami zapsané příklady sčítání a odčítání, zapisují i další znázorněné   příklady.
6. Tabule - prezentace, snímek 12, cv. 1, 2 ,3, pracovní listy, cv. 22, 23: Procvičování příkladů sčítání a odčítání. Vyučující žákům říká a ukazuje karty s příklady sčítání a odčítání. Žáci je znázorňují knoflíky na dominové kartě popř. knoflíky ve dlaních a říkají výsledek, popř. ukazují výsledek kartami s čísly. Dále pracují samostatně v pracovních listech.
7. Tabule - prezentace, snímek 13, pracovní listy, cv. 24: Hrací dráha: žáci házejí hrací kostkou, s figurkami postupují po očíslované hrací dráze a říkají, jak vypočítají, na které číslo figurka po hodu kostkou postoupí. Zkoušejí házet střídavě bílou a černou kostkou. Bílá kostka znamená skoky vpřed, černá skoky zpět. Na tuto činnost pak navazuje práce v pracovních listech.
8. Pracovní listy, cv. 25, 26: Vyučující žákům diktuje příklady sčítání a odčítání, žáci je znázorňují - jedna skupina dominovou kartou, druhá skupina diagramem, třetí skupina na počítadle, čtvrtá skupina na prstech. V pracovních listech žáci doplňují čísla do rámečků. Ve cv. 26 doplňují znaky <, >, = a tak se tu poprvé setkávají se složitějšími nerovnostmi tj. 6 - 6 < 1.
9. Hra, soutěž: Žáci stojí ve dvou zástupech a soutěží, které družstvo lépe počítá, popř. stojí ve více zástupech a  výsledky vždy zapisuje na stírací tabulku ten, kdo stojí v zástupu první. 
10. Tabule - prezentace, snímek 14, pracovní listy cv. 27: Rovnice, hrajeme třepanou.  Vyučující bere do spojených dlaní 6 knoflíků, zatřepe jimi a dlaně oddělí Jednu dlaň rozevře a žáci počítají, kolik knoflíků je v fruhé dlani. Žáci tuto činnost znázorňují diagramy a pod vedením učitele zapisují rovnice znázorněné diagramy. Řešení pak zapisují do rámečku.
11. Tabule - prezentace, snímek 15, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 28, 29: Žáci sestavují, zapisují rovnice znázorněné diagramy.
12. Tabule – prezentace, snímek 16, cv. 1, 2, pracovní listy, cv.30: Žáci tvoří k obrázkům úlohy tak, že se otázka vztahuje k tomu, u čeho je prázdný rámeček.
13. Hra: Myslím si číslo. Vyučující říká: Myslím si číslo, když k němu přičtu 1 je to 1. Které číslo si myslím? Žáci ukazují výsledek kartami s čísly.
14. Tabule - prezentace, snímek 17, pracovní listy, cv. 31, 32: Aplikační úlohy. Žáci pod vedením vyučujícího formulují úlohy k obrázkům o autech u závor, o kuličkách vysypaných ze sáčku. Úlohu znázorní, zapíší rovnici, vyřeší ji a formulují odpověď.
15. Tabule - prezentace, snímek 18, pracovní listy, cv. 33: Nestandardní úloha (velmi obtížná). Žáci uvažují o tom, kdo splnil správně úkol, kdy bylo třeba vystřihnout z barevných papírů 6 lístků trojúhelníkových nebo červených, tj. každý lístek má být trojúhelníkový nebo červený. Žáci vyznačí diagramem trojúhelníkové lístky, červené lístky a zapíší, kolik jich je. Ukazují lístky, které jsou trojúhelníkové a zároveň červené, určují jejich počet. Podtrhnou jméno každého, kdo splnil úkol správně. Škrtnou jméno toho, kdo chybně. (Správně: Ola, Míla, Eva, Pepa. Chybně: Véna, protože jeden lístek není trojúhelníkový ani červený. Jana asi neměla červený papír a nevystřihla ani trojúhelníky.)