Tento materiál pochází ze staršího archivu rvp.cz a už není součástí aktuální nabídky. Uchováváme ho, aby na něj dál vedly původní odkazy.
Odborný článek
Prvňáci a matematika V. Číslo 5
2,5 (2 hodnocení)
Článek je metodickým průvodcem pro učitele ke stejnojmennému materiálu, tj. Prvňáci a matematika – počítáme do 5 (v podobě prezentace a pracovního listu), uveřejněnému v sekci DUM (digitální učební materiály), který je pátým tématem kolekce Prvňáci a matematika. Cílem tohoto příspěvku je poskytnout učitelům a dalším zájemcům metodický rozbor této problematiky (seznamování žáků s číslem 5, tj. numerace, sčítání a odčítání v oboru přirozených čísel do 5) v propojení s praktickým materiálem.
1. Numerace
2. Sčítání, odčítání
Úkolem tohoto tématu číslo pět je dosud získané poznatky zopakovat a upevňovat v souvislosti s poznáváním čísla pět. Novým prvkem v tomto tématu je zavedení proměnné [1], jejímž znakem je v této fázi ◊, a dětem známá čísla 1 až 5 jsou oborem proměnné. Proměnná se zde zavádí při řešení nerovnic [2], např. 4 > ◊, které navazuje na porovnávání čísel. V této fázi vyučování se ani termín proměnná nevyužívá a spokojíme se s tím, že žák do rámečku doplní (za znak proměnné dosadí) jedno ze známých mu čísel a rozhodne, zda takto sestavená nerovnost je nebo není pravdivá. Žáci sami znak proměnné ◊ nezapisují, pouze v pracovních listech do připravených záznamů doplňují čísla, řešení nerovnice.
[1] Proměnná je znak, nejčastěji písmeno, které zastupuje kterýkoli objekt z nějakého souboru objektů, tento soubor pak bývá nazýván oborem proměnné.
[2] Nerovnice, úloha najít všechna čísla (z dané množiny), pro která platí daná nerovnost. Tato čísla tvoří množinu řešení nerovnice.
Nenásilné a postupné seznamování žáků s proměnnou je předpokladem k tomu, aby mohli později pracovat uvědoměle se vzorečky, které se běžně zařazují do vyučování od čtvrtého ročníku, někdy i dříve. Zatím nemůže být ještě řeč o tom, že se proměnné využívá ke zkoumání vývoje jevů. Je to však přece jen něco jiného, než dosud bylo v žákovské zkušenosti. Když totiž žáci zjišťovali počet prvků daného souboru, byl výsledek jednoznačný, když rozhodovali o dvou číslech, zda je jedno číslo větší nebo menší než druhé nebo zda jsou si čísla rovna, byl výsledek jednoznačný. V případě nerovnice již tomu tak není. Pravdivých odpovědí je více. Změní-li se číslo, které bylo pravdivou odpovědí, nemusí být odpověď nepravdivá.
Matematizací reálných situací pomocí nerovnice při řešení jednoduchých aplikačních úloh se žákům vštěpuje dovednost matematicky vyjádřit jevy, jejichž kvantitativní stránka se mění v jistém rozsahu, což je významnou stránkou poznání reálné skutečnosti a významně přispívá k rozvoji logického myšlení.
1. Numerace, tj. počítání po jedné, čísla 1 až 5, porovnávání čísel 1 až 5 (<, >, =), úlohy se vztahy více – méně, přirozené uspořádání čísel 1 až 5, nerovnice, aplikační úlohy.
Při poznávání čísla 5 žáci počítají nejrůznější předměty ve třídě na tabuli obdobně jako v předchozím tématu. Vyhledávají kartu s pěti tečkami, ukazují 5 prstů na ruce, čtou číslo 5. Pak řeší úvodní cvičení na tabuli a v pracovních listech. Zvláštní úlohou tu je určit počet čtverců. Pokud žáci nepoznají, že čtyřmi barevnými čtverci je tvořen čtverec pátý, je vhodné to dětem ukázat pomocí animace na tabuli. Žákům je vhodné připomenout i chybné počítání po jedné, kdy se některý prvek počítá dvakrát nebo naopak se některý vynechá. Žáci řadí karty s čísly 1 až 5 jak podle diktátu, tak v jejich přirozeném uspořádání. Vyučující pak žákům ukazuje čísla na kartách a žáci pokládají na lavici daný počet knoflíků, ukazují daný počet prstů, kreslí daný počet čárek, ukazují kartu s daným počtem teček. Žáci počítají i zvuky, pohyby apod. Vyučující zatleská, zapíská, dupne a žáci ukazují kartou s číslem, kolik daných zvuků slyšeli, popř. kreslí stejný počet čárek nebo pokládají stejný počet knoflíků.
Při procvičování zapisování a poznávání čísel 1 až 5 je důležité žákům zadávat i náročnější úkoly, kdy žáci doplňují čísla 1 až 5 do čtvercové sítě tak, aby v každém sloupci a každé řadě bylo každé z čísel 1 až 5 a žádné se neopakovalo. Tato cvičení jsou určena především těm žákům, kteří čísla 1 až 5 dobře ovládají.
Nerovnice: Poté co se procvičí porovnávání čísel, kdy žáci zapisují nerovnosti k daným souborům, porovnávají počty různých věcí, obrázků vyznačených diagramy, k tečkám na dominových kartách apod. a kdy nerovnosti znázorňují knoflíky, tečkami na kartách, se žáci seznámí s nerovnicemi. Při tom je možno využít hrací dráhu, po níž figurky postupují podle hodů hracími kostkami. Na tabuli jsou promítnuty nebo nakresleny dvě hrací dráhy. Na kostce padly dvě tečky, žlutá figurka udělala dva skoky, postoupila na číslo 2. Modrá figurka udělala více skoků než žlutá. Kolik skoků asi udělala modrá figurka? Nevíme, kolik skoků udělala modrá figurka, ale víme, že jich udělala více než žlutá. To zapíšeme nerovnicí 2 < ◊. Čteme: Číslo v rámečku je větší než 2. Žáci pak uvažují, které číslo je možno doplnit do rámečku, aby nerovnost byla pravdivá.
Postupně ukazují karty s čísly, popř. je přikládají k rámečku a rozhodují, zda takto vzniklá nerovnost je pravdivá. Žáci při tom mohou v řadě čísel podtrhovat ta čísla, která je možno do rámečku doplnit, a ta čísla, která do rámečku doplnit nelze, škrtnou. Čísla 3, 4, 5 jsou řešením nerovnice 2 < ◊. Při samostatné práci stačí, když žák doplní do rámečku jedno číslo a o ostatních již neuvažuje. Obdobně se pak vyřeší se žáky i nerovnice 2 > ◊.
Dále se pak řeší nerovnice 3 > ◊, 3 < ◊, 4 > ◊, 4 < ◊, 5 > ◊, zapsané na tabuli popř. na pracovních listech. Žáci k rámečkům přikládají karty s čísly a rozhodují, zda je nerovnost, která vznikla z nerovnice dosazením čísla za neznámou, pravdivá.
Aplikační úlohy se vztahy více, méně řešené pomocí nerovnice. Pod vedením vyučujícího žáci formulují úlohu k obrázku na tabuli: Eliška má 4 koruny, Honza má méně korun než Eliška. Zapíšeme 4 > ◊. Kolik korun tak asi může mít Honza? Čísla, která je možno doplnit do rámečku nerovnice, podtrhněte, která doplnit nemůžeme, škrtněte. Po vyřešení úlohy žáci pod vedením vyučujícího zopakují otázku a vysloví odpověď. Honza může mít v peněžence 3 koruny nebo 2 koruny, ale může tam mít také jen jednu korunu.
Cvičení
1. Tabule – prezentace, snímek 2, cv. 1, pracovní listy, cv. 1: Žáci počítají prsty na jedné ruce, ukazují 5 prstů a čtou číslo 5. Některý z žáků může dostat pokyn, aby vyvolal k tabuli pět děvčat. Ostatní je počítají, popř. ukazují prsty nebo kreslí čárky. Na tabuli jsou připevněny karty s čísly 1 až 5. Žáci ukáží číslo 5. Řadí karty s čísly 1 až 5 v přirozeném uspořádání. Kartu s číslem 5 přikládají k různým souborům, vyznačeným diagramům, které mají 5 prvků. Žáci si prohlížejí obrázek na tabuli a říkají, které obrázky spojí čárou s číslem 5 a proč. (Obrázek ruky, na ruce je 5 prstů.) Kolik je v diagramu obrázků miminek? Kolik je potřeba kočárků, aby každé miminko mělo jeden kočárek? Kolik je na obrázku děvčat? Může každé děvče vozit jeden kočárek? Kolik je na obrázku děvčat? Kolik je tu kvítků pomněnek? Mohli bychom s číslem 5 spojit jen jeden kvítek pomněnky? Kolik lístků tvoří květ pomněnky? Kolik lístků tvoří květ macešky, fialky? Kolik je tu čtverců? (Čtyři malé – barevné, pátý je tvořen čtyřmi malými čtverci.)
2. Tabule – prezentace, snímek 2, cv. 2: Žáci počítají zvuky, pohyby (mávnutí). Na tabuli počítají zablesknutí, motýly, kteří přeletěli. Při počítání pomíjivých jevů mohou žáci kreslit čárky nebo si ukazovat prsty na rukou proto, aby si mohli počítání po jedné překontrolovat.
3. Tabule – prezentace, snímek 3, pracovní listy, cv. 2: Nácvik psaní číslice 5.
4. Procvičování čtení čísel 1, 2, 3, 4, 5. Např. vyučující říká čísla a žáci je ukazují svými kartami. Žáci řadí karty s čísly nejdříve podle diktátu, např. tři, jedna, dvě, pět, čtyři, a pak je seřadí od jedné do pěti.
5. Na tabuli jsou zapsána čísla 1, 2, 3, 4, 5 a žáci je čtou podle pokynů: Přečtěte všechna čísla před (za) číslem 3, hned před (hned za) číslem 4.
6. Tabule – snímek 4, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 3, 4: Procvičování psaní čísel. Žáci píší do sešitů číslice 1, 2, 3, 4, 5 podle diktátu vyučujícího a pak píší řadu čísel 1 až 5 v jejich přirozeném uspořádání, pak doplňují čísla v pracovních listech. ** Cvičení, v nichž žáci doplňují čísla 1 až 5 do tabulky v řadách a sloupcích, je určeno bystřejším žákům, kteří probírané učivo v podstatě ovládají.
7. Žáci podle pokynů dávají do krabičky, na misku, do sáčku daný počet daných předmětů a pak kreslí, vyznačují, co udělali. K vyznačeným souborům věcí pak přiřazují čísla.
8. Tabule – prezentace, snímek 5, pracovní listy, cv. 5: (Vybírání daných prvků ze souboru.) Žáci počítají dané geometrické tvary. Pro lepší přehlednost si mohou zatrhnout prvek, který již počítali.
9. Vyučující ukazuje žákům karty s čísly 1 až 5, žáci je čtou a na papír, na folii podle pokynů kreslí čárky, kroužky apod.
10. Vyučující žákům ukazuje karty s čísly, žáci je hromadně čtou. Jakmile však ukáže číslo 5, žáci místo čtení čísla tlesknou.
11. Tabule – prezentace, snímek 6, pracovní listy, cv. 6: Při tělesné výchově se žáci staví do zástupů po pěti a určují, kdo je první, druhý,… Při vyučování matematice se na tyto činnosti naváže a žáci zapisují pořadí dětí na obrázcích.
12. Tabule – prezentace, snímek 7, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 7, 8: Žáci staví z kostek věže a porovnávají počty kostek. V pracovním listě porovnávají počty kostek ve sloupci, zapisují nerovnosti. Pak porovnávají počty kuliček na dvou drátech počitadla a zapisují příslušné nerovnosti.
13. Tabule – prezentace, snímek 7, cv. 3, pracovní listy, cv. 9: Žáci doplňují mezi čísla znaky <, >, =. Zapisují tak nerovnosti, rovnosti, které zároveň znázorní.
14. Tabule – prezentace, snímek 8, cv. 1, 2, 3, pracovní list, cv. 10, 11, 12: Žáci doplňují k diagramům počty vyznačených prvků a pak mezi čísla doplňují znaky <, >, =. Na tabuli jsou zapsány dvojice čísel a žáci mezi ně doplňují znaky <, >, =.
15. Tabule – prezentace, snímek 9, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 13, 14: Nerovnice: Na první hod hodil Aleš 2 a udělal s figurkou ze startu dva skoky. Evě padlo více než Alešovi, Matějovi padlo méně než Alešovi. Je to zapsáno: 2 < ◊, 2 > ◊. Podtrhněte ta čísla, která je možno doplnit do rámečku. Čísla, která tam není možno zapsat, škrtněte. Žáci společně řeší nerovnice, do rámečku zapíší některé z čísel 1 až 5 tak, aby nerovnost byla správná.
16. Tabule – prezentace, snímek 10, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 15, 16: Vyučující vede žáky k formulaci úlohy: Eliška má 4 koruny, Honza má méně korun než Eliška. Žáci uvažují o tom, jak je to možno matematicky zapsat. Zapíšeme 4 > ◊. Kolik korun tak asi může mít Honza? Čísla, která je možno doplnit do rámečku nerovnice, žáci v řadě podtrhují, která doplnit nelze, škrtají. Některé z podtržených čísel doplní do rámečku a formulují odpověď. Žáci si vymýšlejí úlohy k obrázkům v diagramech a do rámečků nerovnice doplňují řešení. Ivan utrhl 5 švestek, Jirka jich utrhl méně. Kolik švestek asi mohl utrhnout Jirka? Eva přinesla do školy 3 žluté dubové listy, Hanka jich přinesla méně. Ola s Věrkou trhaly šípky. Ola utrhla 3, Věrka jich utrhla více. Kolik jich tak asi mohla utrhnout Věrka?
17. Tabule – prezentace, snímek 11, cv. 1, 2, pracovní list, cv. 17, 18: Rozklad č. 5: Na krychličkovém počitadle žáci otáčejí na jednotlivých drátech po pěti krychličkách krychličky postupně červenou a modrou stranou. Pokaždé jinak. Tuto činnost pak zaznamenají na pracovním listě. Žáci mají kartu rozdělenou na dvě pole a 5 knoflíků. Knoflíky pokládají do dvou polí karty a zapisují, jak knoflíky rozložili. Pak v pracovních listech kreslí, co dělali.
2. Sčítání a odčítání
v oboru přirozených čísel do 5 je opět vhodné vyvodit na činnostech s knoflíky v dlaních s grafickým znázorněním této činnosti diagramy obdobně jako při vyvozování příkladů sčítání a odčítání do 4. Ke každé situaci a diagramu žáci sestaví a zapíší příklady sčítání i odčítání. Vyučující ukazuje na jednotlivá čísla v příkladech a klade žákům otázky a pokyny: Kde je znázorněno toto číslo? Které číslo znázorňuje tento diagram? Dále je možno diagramy vyznačit různými barvami a pak po žácích požadovat, aby podtrhli čísla v příkladech stejnou barvou, jako je vyznačen diagram, který dané číslo znázorňuje. Žáci pak sestavují příklady sčítání a odčítání k jednoduchým schématům a diagramům i konkrétním situacím.
Znázorňování příkladů sčítání a odčítání: Na tabuli jsou zapsány příklady sčítání a odčítání do pěti nebo je vyučující žákům ukazuje na kartách a žáci je znázorňují různými způsoby. Kladou knoflíky na dominové karty, do připravených diagramů nebo diagramy kreslí, odsouvají kuličky na počitadle, kladou na lavici lísky geometrických tvarů nebo vybírají z dominových karet připevněných na tabuli tu, která znázorňuje daný příklad.
Aplikační úlohy se s žáky řeší v pěti hlavních, těsně propojených krocích:
Formulace úlohy je důležitá pro rozvoj vyjadřovacích schopností žáků. Konkrétní obrázek popř. dramatizace, předvedení úlohy je pro žáky dobrým vodítkem k formulaci.
Schematické znázornění úlohy je záznamem matematické stránky úlohy, obvykle známých a hledaných číselných údajů úlohy. Žáci postupně poznávají, že totéž schéma, diagram je záznamem matematické stránky různých konkrétních situací.
Matematický záznam úlohy, což je v rámci procvičování sčítání a odčítání odpovídající příklad sčítání nebo odčítání.
Řešení, výpočet příkladu.
Aplikace výsledku na konkrétní situaci, tj. odpověď a kontrola výsledku.
Cvičení
18. Tabule – prezentace, snímek 12, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 19: Žáci mají knoflíky, berou je do dlaní a pak ruce spojí. Kreslí diagramem, schématem, co dělali, a pak sestavují příklady sčítání a odčítání.
19. Žáci mají dominovou kartu, kladou do jednotlivých polí knoflíky a říkají, jak vypočítají, kolik je všech knoflíků na kartě, jak vypočítají, kolik knoflíků je v jednom poli. Říkají, popř. zapisují příklady sčítání a odčítání znázorněné knoflíky na kartě.
20. Tabule – prezentace, snímek 13, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 20: Žáci doplňují do diagramů čísla, počty vyznačených věcí, koláčů, hub, autíček a sestavují příklady sčítání a odčítání znázorněné diagramy. Při tom je možno klást doplňující otázky jako: Které číslo v příkladech znázorňují tvarohové koláče, všechny koláče apod.
21. Vyučující ukazuje žákům dominové karty, odsouvá kuličky, krychličky na počitadle a žáci sestavují, říkají znázorněné příklady sčítání a odčítání.
22. Tabule – prezentace, snímek 13, cv. 2, pracovní listy, cv. 21: Žáci sestavují, zapisují znázorněné příklady sčítání a odčítání.
23. Vyučující žákům říká a ukazuje karty s příklady sčítání a odčítání. Žáci je znázorňují knoflíky na dominové kartě popř. na počitadle nebo knoflíky v dlaních a říkají výsledek.
24. Tabule – prezentace, snímek 14, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 21, 22, 23: Žáci znázorňují příklady sčítání a odčítání diagramy a dominovými kartami.
25. Vyučující žákům diktuje příklady sčítání a odčítání, žáci je znázorňují, jedna skupina dominovou kartou, druhá skupina diagramem, třetí skupina na počitadle, čtvrtá skupina na prstech.
26. Tabule – prezentace, snímek 15, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 24, 25: Aplikační úlohy. Žáci pod vedením vyučujícího formulují úlohy k obrázku o rozkvetlých a odkvetlých pampeliškách, o vláčku, kterému se odpojil vagónek. Úlohu znázorní, vyřeší a vysloví odpověď.
27.* Tabule – prezentace, snímek 16, pracovní listy, cv. 26: Nestandardní úloha: tato úloha vede žáky k poznání, že nelze vždy automaticky sčítat (odčítat) čísla uvedená v úloze a že je třeba uvažovat o tom, zda dané soubory (množiny) nemají společné prvky. V této úloze to jsou kruhové a modré dopravní značky, kdy dopravní značka může být kruhová a zároveň modrá. Úlohu je vhodné připravit při praktických činnostech nebo při dopravní výchově a dát žákům za úkol nakreslit dvě dopravní značky kruhové a dvě dopravní značky modré a nechat je uvažovat o tom, které značky vyberou a jaké jsou možnosti.
