Prvňáci a matematika VI. Číslo 6

Žáci se učí rovnice jednak sestavovat, zaznamenat k danému schématu, popř. přímo k manipulativní činnosti, a pak i znázorňovat schématy, diagramy. Takové jednoduché rovnice pak řeší pomocí znázornění a někdy i postupným dosazováním. Při řešení aplikačních úloh je využívají i k matematickému záznamu úlohy. Opět je to učivo, které zaujme i nadané žáky, jimž běžné počítání nečiní potíže, a pro všechny je dalším krokem v přípravě k používání vzorečků. 

Využívání jednoduchých rovnic při řešení aplikačních úloh je dalším krokem k hlubšímu pochopení vztahů mezi danými údaji a otázkou a usnadňuje tvoření různých úloh, které je možno sestavit na základě dané reálné situace. Tento přístup napomáhá nejen k hlubšímu pochopení vztahů v přirozených situacích, ale přispívá i k tvořivosti žáků a zabraňuje mechanickému spojení mezi rčením použitým v úloze a volbou početního výkonu. 

I. Numerace

Tj. počítání po jedné, čtení, psaní, znázorňování čísla 6, porovnávání čísla 6 s čísly 1 až 6 (<, >, =), přirozené uspořádání čísel 1 až 6, nerovnice a řešení aplikačních úloh pomocí nerovnic: 

Při poznávání čísla 6 žáci počítají nejrůznější předměty ve třídě, na tabuli obdobně jako v předchozích tématech. Vyhledávají kartu s šesti tečkami, ukazují 6 prstů, čtou číslo 6. Dále je vhodné, přinesou-li si hrací kostku, házejí s ní buď ve skupinách či dvojicích, ale i jednotlivě a ukazují kartou s číslem, kolik jim na kostce padlo. Při tom poznávají, že kostka má 6 stěn. Toto poznání je vhodné prohloubit i tím, že žáci počítají stěny různých krabiček tvaru krychle a kvádru.

Při řešení úvodního cvičení žáci uvažují, proč je s číslem 6 spojen obrázek kytary (má 6 strun) a obrázek chrousta (má 6 nohou). Žáci mohou být vyzváni, aby si prohlédli skutečnou kytaru, aby si všimli, kolik nožiček má moucha, apod.

Poměrně velmi obtížnou úlohou je rozpoznat 6 trojúhelníků, 6 čtverců na obrázcích (prezentace, snímek 2, cv. 1, pracovní listy, cv. 1). Tady žákům pomůže animace na tabuli, popř. vybarvování trojúhelníků (čtverců) a obtahování stran, ale i tak je samozřejmé, že bude dost žáků, kteří v obrázcích 6 trojúhelníků, 6 čtverců nenajdou. Jde o to, aby si žáci postupně zvykali vidět různé geometrické útvary i ve složitějších situacích.                              

Žákům je vhodné připomenout i chybné počítání po jedné, kdy se některý prvek počítá dvakrát nebo naopak se některý vynechá. Pak žáci řadí karty s čísly 1 až 6 jak podle diktátu, tak v jejich přirozeném uspořádání. Vyučující žákům ukazuje čísla na kartách a žáci pokládají na lavici daný počet knoflíků, ukazují daný počet prstů, kreslí daný počet čárek, ukazují kartu s daným počtem teček. Žáci počítají i zvuky, pohyby apod. Vyučující zatleská, zapíská, dupne a žáci ukazují kartou s číslem, kolik daných zvuků slyšeli, popř. kreslí stejný počet čárek nebo pokládají stejný počet knoflíků. Při procvičování zapisování a poznávání čísel 1 až 6 je důležité žákům zadávat i náročnější úkoly, kdy žáci doplňují čísla 1 až 6 do čtvercové sítě tak, aby v každém sloupci a každé řadě bylo každé z čísel 1 až 6 a žádné se neopakovalo. Tato cvičení jsou určena především těm žákům, kteří čísla 1 až 6 dobře ovládají a je třeba je zaměstnat. 

Porovnávání čísla 6 s čísly 1 až 6 je vhodné motivovat házením hrací kostkou a postupem figurek po očíslované hrací dráze. Žáci při tom uvažují, komu padlo na kostce více, méně teček, která figurka stojí na větším, menším čísle, a pak tato čísla porovnají, zapíší příslušné nerovnosti. Nerovnosti žáci pak také znázorňují. Znázorněním a případným vyznačením dvojic žáci zdůvodňují, proč je jedno číslo větší (menší) než druhé.

Na porovnávání čísel navazuje procvičování řešení nerovnic, s nimiž se žáci seznámili v tématu číslo 5. Je důležité, aby si žáci připomněli, že je více čísel, která je možno doplnit do rámečku nerovnice tak, aby nerovnost byla pravdivá. To vynikne, jestliže se posouvá proužek papíru s čísly přes rámeček nerovnice, a žáci zvednutím ruky nebo jiným způsobem rozhodují o tom, zda dané číslo je nebo není možno doplnit do rámečku nerovnice.  

Cvičení 

1. Tabule: prezentace, snímek 2, cv. 1, pracovní listy, cv. 1: Žáci počítají různé předměty ve třídě např. počítají žákovské židle v první řadě lavic, vyvolávají k tabuli 6 žáků apod. Pak pokládají na lavici 6 knoflíků, kreslí 6 čárek apod.

Žáci si prohlížejí obrázek na tabuli, v pracovních listech a počítají děti na obrázku, počítají i kola a uvažují o tom, zda si každé dítě může vzít jedno kolo, zda si na každé kolo sedne jedno dítě. Ukazují číslo 6. Říkají, kolik stěn má hrací kostka, kolik strun má kytara, kolik nohou má chroust nebo jiný brouk. Pokusí se najít 6 trojúhelníků, 6 čtverců na obrázku. 

2. Tabule: prezentace, snímek 2, cv. 2: Žáci počítají zvuky, pohyby (mávnutí). Na tabuli počítají kuličky, které se překulily, hvězdičky, které zasvítily. Při počítání pomíjivých jevů mohou žáci kreslit čárky nebo si ukazovat prsty na rukou proto, aby si mohli počítání po jedné překontrolovat. 

3. Tabule: prezentace, snímek 3, pracovní listy, cv. 2: nácvik psaní číslice 6. 

4. Procvičování čtení čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6. Např. vyučující říká čísla a žáci je ukazují svými kartami. Žáci řadí karty s čísly nejdříve podle diktátu, např. tři, jedna, dvě, šest, pět, čtyři, a pak je seřadí od jedné do šesti. 

5. Na tabuli jsou zapsána čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6 a žáci je čtou podle pokynů: Přečtěte všechna čísla před (za) číslem 4, hned před (hned za ) číslem 5. 

6. Tabule: prezentace, snímek 4, cv. 1, 2, 3, pracovní listy, cv. 3, 4, 5: procvičování psaní čísel. Žáci píší do sešitů číslice 1, 2, 3, 4, 5, 6 podle diktátu vyučujícího a pak píší řadu čísel 1 až 5 v jejich přirozeném uspořádání a doplňují čísla v pracovních listech. 

Pozn.: Cvičení, v nichž žáci doplňují čísla 1 až 6 do tabulky v řadách a sloupcích, je určeno bystřejším žákům, kteří probírané učivo v podstatě ovládají. Je vhodné je zadávat jako nepovinné a hodnotit kladně alespoň částečně správně doplněné. 

7. Vyučující ukazuje karty s tečkami, odsouvá kuličky na počítadle apod. a žáci ukazují kartu s příslušným číslem. Žáci podle pokynů dávají do krabičky, na misku, do sáčku daný počet daných předmětů a pak kreslí, vyznačují, co udělali. K vyznačeným souborům věcí pak přiřazují čísla. 

8. Hra ve dvojicích, popř. ve skupinách: Žáci házejí hrací kostkou a zapisují, kolik jim padlo. Vyhrává ten, komu padlo 6 teček, popř. komu padlo 6 teček vícekrát. 

9. Vyučující ukazuje žákům karty s čísly 1 až 6, žáci je čtou a na papír, na folii podle pokynů kreslí čárky, kroužky apod. 

10. Vyučující žákům ukazuje karty s čísly (tečkami), žáci je hromadně čtou. Jakmile však ukáže číslo 6 (6 teček), žáci místo vyslovení čísla tlesknou. 

11. Tabule: prezentace, snímek 5, pracovní listy, cv. 6: Žáci určují pořadí žáků v zástupu u tabule, pak určují, zapisují pořadí aut na silnici v obou směrech. 

12. Tabule: prezentace, snímek 6, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 7, 8: Žáci házejí hrací kostkou, posouvají figurky po hrací dráze a porovnávají počty skoků figurek, počty teček, které padly na kostce. Tyto činnosti zaznamenávají i v pracovních listech, zapisují nerovnosti. Pak porovnávají počty teček na dominových kartách, počty kuliček na dvou drátech počítadla a zapisují příslušné nerovnosti. 

13. Tabule: prezentace, snímek 7, cv. 1, 2, 3, pracovní listy, cv. 9, 10, 11: Žáci zapisují čísla, počty prvků vyznačených souborů (množin), počty teček na kartách a doplňují mezi čísla znaky < ,>, =. Zapisují tak nerovnosti, rovnosti. 

14. Na tabuli jsou zápisy, např. 1 > 6,  1 > 6, 1 = 6,/ 6 < 6, 6 > 6, 6 = 6, / 6 < 5, 6 > 5, 6 = 5. Žáci zápisy čtou a rozhodují, zda je nebo není pravda to, co je zapsáno na tabuli. Pravdivé zápisy podtrhnou, nepravdivé škrtnou.

15. Hra ano, ne: Na tabuli je připevněna obrácená karta s jedním z čísel 1 až 6. Úkolem žáků je uhodnout, které z čísel je na kartě. Žáci zpočátku hádají přímo. Říkají: je to číslo 4. Vyučující odpovídá pouze ano, ne. Odpověď se zaznamenává škrtnutím, popř. podtržením daného čísla v řadě čísel 1 až 6. Vyučující postupně vede žáky k tomu, aby při hádání využívali vztahy větší, menší mezi čísly. Pak žáci hádají, např. na kartě je číslo větší než 3. Je-li na kartě např. číslo 5, vyučující odpoví ano a čísla 1, 2, 3 škrtne. 

16. Tabule: prezentace, snímek 8, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 12, 13: Žáci řeší nerovnice znázorněné figurkami na hrací dráze. Čísla, která je možno do rámečku doplnit v řadě čísel 1 až 6, podtrhnou, ostatní škrtnou. Některé z podtržených čísel do rámečku doplní. Vyučující, popř. některý z žáků, popisuje různé přirozené situace odpovídající obrázkům. Např. Eva má 5 žaludů, Jirka jich má více. Kolik žaludů asi má Jirka? Žáci tak zapisují jedno řešení nerovnice a znázorní je. 

17. Tabule: prezentace, snímek 9, pracovní listy, cv. 14: Vyučující vede žáky k formulaci úlohy: Děti staví z kostek věže. Jon postavil věž ze šesti kostek. Ola postavila věž menší. Z kolika kostek mohla být věž Oly? Zapište nerovnicí a znázorněte. Čísla, která je možno doplnit do rámečku nerovnice, žáci v  řadě podtrhují, která doplnit nelze, škrtají. Některá z podtržených čísel doplní do rámečku a formulují odpověď. 

18. Tabule: prezentace, snímek 10, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 15, 16: rozklad č. 6: Žáci mají 6 dvoubarevných knoflíků. Ty otáčejí tak, že jeden je barevný, ostatní bílé, pak dva barevné atd. Rozklad čísla 6 zapisují. Na krychličkovém počítadle otáčejí na jednotlivých drátech po šesti krychličkách krychličky postupně červenou a modrou stranou. Pokaždé jinak. Tuto činnost pak zaznamenají v pracovních listech. Žáci mají kartu rozdělenou na dvě pole a 6 knoflíků. Knoflíky pokládají do dvou polí karty a zapisují, jak knoflíky rozložili. V pracovních listech kreslí, co dělali.  

II. Sčítání a odčítání

Tj. sestavování příkladů sčítání a odčítání, znázorňování příkladů sčítání a odčítání, sestavování rovnic, znázorňování rovnic, aplikační úlohy:  

Sčítání a odčítání v oboru přirozených čísel do 6 je opět vhodné vyvodit na činnostech s  knoflíky v dlaních s grafickým znázorněním této činnosti diagramy obdobně jako při vyvozování příkladů sčítání a odčítání do 4, do 5. Ke každé situaci a diagramu žáci sestaví a zapíší příklady sčítání i odčítání. Vyučující ukazuje na jednotlivá čísla v příkladech a klade žákům otázky a pokyny: Kde je znázorněno toto číslo? Které číslo znázorňuje tento diagram? Dále je možno diagramy vyznačit různými barvami a pak na žácích požadovat, aby podtrhli čísla v příkladech stejnou barvou, jako je vyznačen diagram, který dané číslo znázorňuje. Žáci pak sestavují příklady sčítání a odčítání k jednoduchým schématům a diagramům i konkrétním situacím. 

Znázorňování příkladů sčítání a odčítání se procvičuje tak, že jsou na tabuli zapsány příklady sčítání a odčítání do šesti nebo je vyučující žákům ukazuje na kartách a žáci je znázorňují různými způsoby. Kladou knoflíky na dominové karty, do připravených diagramů nebo diagramy kreslí, odsouvají kuličky na počítadle, kladou na lavici lístky geometrických tvarů nebo vybírají z dominových karet připevněných na tabuli tu, která znázorňuje daný příklad. 

Rovnice je vhodné vyvodit pomocí manipulativních činností obdobně jako se vyvozovalo sčítání a odčítání. Žáci nebo pouze vyučující si vezme 6 knoflíků, 2 vezme do jedné ruky, otevřené dlaně a ostatní schová do druhé ruky. Žáci tuto činnost znázorní diagramem. To, že jsou některé knoflíky schované, zaznamenáme prázdným rámečkem. Prázdným rámečkem zaznamenáme, že některé číslo v příkladu neznáme, že je hledáme.

Prázdný rámeček vyznačuje místo, kam zapíšeme hledané číslo. Zapsali jsme tak rovnici 2 + ◊ = 6. Čteme: Dvě plus neznámé číslo, neznámá rovná se 6. Diagram znázorňuje čtyři rovnice. Zapíšeme je: 2 + ◊ = 6, ◊ + 2 = 6, 6 –◊ = 2, 6 – 2 = ◊. Které číslo je hledané, neznámé číslo, jak je vypočítáme? (6 – 2 = 4). Číslo 4 doplníme do rámečku v každé ze čtyř rovnic. Žáci doplní do diagramu prvky a tak se přesvědčí, že všechny čtyři rovnice mají totéž řešení. Pokud žáci rovnice sami zapisují, nemusí kreslit rámeček, ale stačí jestliže zapíší pouze čárku, např. 2+_=6. 

Při znázorňování rovnic vyučující vede žáky k tomu, aby nejdříve rozhodli, zda je nebo není v rovnici udán počet všech prvků souboru. Je-li udán počet všech prvků daného souboru, pak doplní číslo, které je počtem všech prvků daného souboru do příslušného rámečku diagramu, např. tabule, snímek 18, pracovní listy, cv. 28. Dále je možno řešit rovnici pomocí znázornění tak, že se do diagramu dokreslí prvky, popř. se sestaví další rovnice znázorněné diagramem. Žákům je rovněž vhodné ukázat, že je možno rovnici řešit i postupným dosazováním, např. tak, že se do rámečku v rovnici zapsané na tabuli postupně přikládají karty s čísly a žáci rozhodují o tom, zda takto získaná rovnost je nebo není pravdivá. 

Při řešení aplikačních úloh žáci využívají rovnic k matematickému záznamu úlohy. Prohlédnou si obrázek promítnutý na tabuli (v učebnici, pracovních listech) a pod vedením učitele utvoří k obrázku úlohu. David hrál na kytaru a při tom na kytaře praskla 1 struna. Kolik strun na kytaře zůstalo? Žáci úlohu znázorní diagramem. Znázorní všechny struny. Pak vyznačí jeden prvek, strunu, která praskla. Nakonec se znázorní zbývající struny, které na kytaře zůstaly. To, že se v úloze ptáme na tyto struny, vyjádříme prázdným rámečkem v diagramu. Diagram znázorňuje rovnice. Žáci sestaví rovnice, které diagram znázorňuje. Mohou sestavit všechny čtyři nebo jen některé a řešení zapíší do prázdného rámečku a vysloví odpověď. 

Cvičení 

19. Tabule: prezentace, snímek 11, pracovní listy, cv. 17: Žáci mají knoflíky, berou je do dlaní a pak ruce spojí. Kreslí diagramem, schématem, co dělali, a pak sestavují příklady sčítání a odčítání. 

20. Žáci mají dominovou kartu, kladou do jednotlivých polí knoflíky a říkají, jak vypočítají, kolik je všech knoflíků na kartě, jak vypočítají, kolik knoflíků je v jednom poli. Říkají, popř. zapisují, příklady sčítání a odčítání znázorněné knoflíky na kartě. 

21. Vyučující ukazuje žákům dominové karty, odsouvá kuličky, krychličky na počítadle a žáci sestavují, říkají znázorněné příklady sčítání a odčítání. 

22. Tabule: prezentace, snímek 12, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 18, 19: Žáci sestavují, zapisují znázorněné příklady sčítání a odčítání.     

23. Tabule: prezentace, snímek 13, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 20, 21: Žáci sestavují, zapisují znázorněné příklady. Žáci doplňují do diagramů čísla, počty vyznačených věcí, banánů, květů slunečnic a sestavují příklady sčítání a odčítání znázorněné diagramy. Při tom je možno klást doplňující otázky jako: Které číslo v příkladech znázorňují všechny banány, oloupané banány apod. Žáci mohou k obrázkům tvořit i aplikační úlohy. 

24. Vyučující žákům říká a ukazuje karty s příklady sčítání a odčítání. Žáci je znázorňují knoflíky na dominové kartě, popř. na počítadle nebo knoflíky ve dlaních, a říkají výsledek. 

25. Tabule: prezentace, snímek 14, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 22: Žáci znázorňují příklady sčítání diagramy a dominovými kartami. 

26. Vyučující žákům diktuje příklady sčítání a odčítání, žáci je znázorňují, jedna skupina dominovou kartou, druhá skupina diagramem, třetí skupina na počítadle, čtvrtá skupina na prstech. 

27. Tabule: prezentace, snímek 15, cv. 1, 2, 3, pracovní listy, cv. 23, 24: Procvičování pamětného osvojení příkladů sčítání a odčítání. Vyučující nejdříve žákům vysvětlí, že se číslo v kroužku přičítá k číslu (odčítá od čísla) v prvním řádku a výsledek se zapisuje do druhého řádku. Opravu si mohou žáci provést sami podle tabule. 

28. Hra: soutěž: Žáci stojí ve dvou zástupech. Vyučující jim říká a ukazuje karty s příklady sčítání a odčítání. Odpovídají vždy první žáci v zástupech. Ten, který dříve odpoví správně, si jde sednout do lavice. Vítězí to družstvo, které si dříve sedlo do lavic.   

29. Tabule: prezentace, snímek 16, pracovní listy, cv. 25; rovnice: hrajeme třepanou. Žáci doplňují diagramy a pak pod vedením učitele zapisují rovnice znázorněné diagramy. Řešení pak zapisují do rámečku. 

30. Tabule: prezentace, snímek 17, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 26, 27: Žáci sestavují, zapisují rovnice znázorněné diagramy. 

31. Tabule: prezentace, snímek 18, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 28, 29: znázorňování rovnic diagramy. 

32. Hra: Myslím si číslo. Vyučující říká: Myslím si číslo, když k němu přičtu 1, je to 6. Které číslo si myslím? Žáci ukazují výsledek kartami s čísly. 

33. Tabule: prezentace, snímek 19, pracovní listy, cv. 30: Žáci pod vedením vyučujícího formulují úlohu o strunách na kytaře. Úlohu znázorní, zapíší rovnici, vyřeší ji a vysloví odpověď. 

34. Tabule: prezentace, snímek 20, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 31, 32: Žáci tvoří k obrázkům úlohy, řeší je. 

*35. Tabule: prezentace, snímek 21, pracovní listy, cv. 33: nestandardní úloha; tato úloha je poměrně velmi obtížná, a navazuje na úlohu o dopravních značkách v předchozí kapitole. Žáci vybarvují květy tak, aby v každém květináči byly 3 žluté květy, aby v každém květináči byly 3 tulipány. Uvažují, jak to provedou v situacích, kdy je v květináčích méně narcisů. Jsou-li v květináči pouze 2 narcisy, vybarví žlutě ještě jeden tulipán, pak 2 tulipány a v posledním případě vybarví žlutě všechny tři tulipány.