Matematická gramotnost v úlohách Metodických komentářů vzdělávacího oboru Zeměpis Měřítko – mapy
Archivní obsah
Tento materiál pochází ze staršího archivu rvp.cz a už není součástí aktuální nabídky. Uchováváme ho, aby na něj dál vedly původní odkazy.
Odborný článek
Matematická gramotnost v úlohách Metodických komentářů vzdělávacího oboru Zeměpis Měřítko – mapy
Článek je zaměřený na prezentaci modelových učebních činností na podporu rozvíjení matematické gramotnosti ve vzdělávací oblasti Člověk a příroda pro vzdělávací obor Zeměpis (Geografie).
Článek vznikl v rámci projektu Podpora práce učitelů (PPUČ). Projekt PPUČ, financovaný z Evropských strukturálních a investičních fondů, podporuje pedagogy mateřských a základních škol v jejich snaze rozvíjet čtenářskou, matematickou a digitální gramotnost dětí a žáků. Jeho realizaci zajišťuje Národní ústav pro vzdělávání.
Úvod
Materiál Metodické komentáře (Metodické komentáře a úlohy ke Standardu pro základní vzdělávání – vzdělávací obor Zeměpis) obsahuje celkem 33 tříúrovňových úloh (úroveň – minimální, optimální a excelentní), které byly vytvořeny k vybraným indikátorům 29 očekávaných výstupů. Jedná se o podpůrný materiál, který by měl učitelům pomoci naplňovat vzdělávací cíle dané Rámcovým vzdělávacím programem. Matematika je přitom přítomna v 55 % procentech úloh, přičemž v 33 % úloh musí žák využít matematiku aktivně, tzn. použít nějaký matematický aparát – v úloze se používají slovesa: vypočítej, zaokrouhli, porovnej, … (Pozn. Před vlastní tvorbou úloh nebyl dán žádný požadavek, aby jednotlivé úlohy využití matematické gramotnosti musely obsahovat.) Pojďme se tedy podívat, jakým způsobem je matematiky využito v konkrétní úloze.
Úloha je zaměřena na práci s měřítkem mapy, spadá pod tematický celek: Geografické informace, zdroje dat, kartografie a topografie; pomáhá naplňovat očekávaný výstup: Žák používá s porozuměním základní geografickou, topografickou a kartografickou terminologii a týká se indikátoru: Žák svými slovy objasní základní geografické, topografické a kartografické pojmy.
Úvod do modelové úlohy – měřítko mapy
Měřítko mapy patří mezi základní kompoziční prvky mapy (společně s názvem, mapovým polem, legendou a tiráží). Nikoho nepřekvapí skutečnost, že se jedná o poměr, který udává zmenšení mapy vůči skutečnosti (resp. zmenšení poloměru koule, nahrazující planetu Zemi, od které byla mapa odvozena). Měřítko mapy by tak, vzhledem ke správné představě o poměru zmenšení, vzdálenostních poměrech na mapě, … měla obsahovat každá správná mapa. Existuje několik druhů měřítek, mezi nejpoužívanější patří číselné a grafické. Následující úloha je zaměřena na jejich využití a vzájemný převod.
Měřítko mapy – úloha na minimální úrovni
a) Pro lepší představu o poměru zmenšení mapy na základě hodnoty číselného měřítka urči, kolik kilometrů (metrů) ve skutečnosti představuje jeden centimetr na mapě.
1 : 500 000
1 : 80 000 000
1 : 25 000
1 : 2 000
b) Pokud jsi měl všechny čtyři výsledky správně, vysvětli způsob, jakým k vyjádření skutečné vzdálenosti odpovídající jednomu centimetru na mapě dochází.
Úloha na minimální úrovni je zaměřena na přiblížení poměru zmenšení mapy oproti skutečnosti. Žák na základě hodnoty číselného měřítka vyjadřuje, kolik kilometrů ve skutečnosti odpovídá jednomu centimetru na mapě. Většina žáků bude vědět, že se z měřítkového čísla „škrtá“ pět nul nebo se o příslušný počet míst posouvá desetinná čárka doleva. Málo žáků si však uvědomuje matematickou podstatu tohoto vyjádření, které vyplývá z jednoduché rovnosti 1 km = 100 000 cm, což představuje dělení číslem 100 000. Neměli bychom ale žáky učit, aby pouze automaticky měřítkové číslo dělili číslem 100 000 (to už by měli umět z matematiky), ale aby pochopili podstatu tohoto dělení a mohli měřítko využívat v dalších situacích. Z tohoto důvodu je na minimální úrovni do úlohy kromě úkolu a) urči …, zařazen ještě úkol b) vysvětli …
Zvýšení úrovně úlohy je možné zařazením měřítek s komplikovanějším měřítkovým číslem (např. 1 : 280). Naopak snížení úrovně úlohy je možné zařazením měřítek, kde nebude docházet k posunu desetinné čárky, ale pouze ke „škrtání“ pěti nul – tímto snížením se však úloha dostává pod minimální úroveň (žák by za tuto dovednost neměl být hodnocen ani stupněm dostatečně). Celou problematiku lze obohatit o diskusi, která se bude týkat významu měřítka mapy a využití představy o vztahu mezi vzdálenostní na mapě a vzdáleností ve skutečnosti. Pozor na chybný zápis např. 1 cm = 5 km! (vyplývající z měřítka 1 : 500 000), je třeba zavést matematický symbol – odpovídá, pokud ho již žáci neznají z matematiky.
Měřítko mapy – úloha na optimální úrovni
Kromě číselného měřítka se poměrně často používá měřítko grafické. Jeho výhoda je v tom, že vhodnějším a názornějším způsobem vyjadřuje neobvyklý poměr zmenšení mapy oproti skutečnosti (například je vhodnější použít grafické měřítko, kde jeden dílek o délce 0,7 cm představuje 500 km, než měřítko číselné v podobě 1 : 71 428 571). Nahrazení číselného měřítka grafickým je rovněž vhodné, pokud dochází ke zvětšování či zmenšování mapy či jejího výřezu (viz úloha na excelentní úrovni).
Nahraď číselné měřítko 1 : 125 000 000 měřítkem grafickým tak, aby jeden dílek tohoto měřítka odpovídal vzdálenosti 1 000 km. Jak dlouhý bude tento dílek?
Máš grafické měřítko, ve kterém jeden dílek o délce 1,2 cm představuje 200 km. Urči, jaké číselné měřítko tomuto grafickému vyjádření odpovídá. Vypočítanou hodnotu měřítkového čísla zaokrouhli na jednotky.
Uveď další konkrétní případy, ve kterých je nahrazení neobvyklého číselného měřítka měřítkem grafickým vhodné.
Úloha na optimální úrovni je zaměřena na vzájemný převod číselného a grafického měřítka, což jsou dva nejčastěji používané způsoby vyjádření. Žák je uveden do problému tím, že existuje řada případů, kdy je místo číselného měřítka s neobvyklou podobou měřítkového čísla vhodnější použít měřítko grafické. Při řešení úlohy žák využívá dovednosti z minimální úrovně úlohy a skutečnosti, že poměr vzdáleností na mapě (udávaných nejčastěji v centimetrech) odpovídá poměru vzdáleností ve skutečnosti (udávaných nejčastěji v kilometrech nebo v metrech). Např.: 1 cm odpovídá 1200 km, kolika centimetrům odpovídá 1000 km? Vzájemný převod číselného a grafického měřítka si pak žák může vyzkoušet na dvou konkrétních příkladech.
Samozřejmě že pokud již žáci ovládají trojčlenku, je možné ji využít. Konkrétní případy, kdy je to nutné (například zvětšení či zmenšení mapy), vymýšlejí žáci v závěru úlohy sami. Zvýšení úrovně úlohy je možné volbou méně obvyklé podoby číselného měřítka (úloha 1.) – např. 1 : 380 500 nebo volbou komplikovanějších hodnot, které se týkají délky jednoho dílku měřítka a odpovídající vzdálenosti (úloha 2.) – např. dílek 0,9 cm odpovídá 350 kilometrům či nahrazení grafického měřítka měřítkem číselným při zmenšení či zvětšení mapy zadaných procentuální hodnotou (zmenšení o 20 % x zmenšení na 20 %, …), tím se však již dostáváme na excelentní úroveň úlohy.
Měřítko mapy – úloha na excelentní úrovni
Velmi často se stává, že pro nejrůznější účely nepotřebujeme mapu celou, ale pouze její výřez. Ten pak podle potřeby zmenšujeme či zvětšujeme, čímž se samozřejmě mění i měřítko tohoto výřezu. Pro tyto účely je potřeba mapu opatřit grafickým měřítkem, které se zmenšuje či zvětšuje společně s výřezem mapy (oproti číselnému měřítku, které stále vyjadřuje totéž). Co když ale zvětšovaný či zmenšovaný výřez mapy grafické měřítko nemá? Pak je třeba grafické měřítko vytvořit (viz předchozí úroveň úlohy) nebo uváděné číselné měřítko upravit. Pokus se o to na následujících příkladech a zjistíš, co je výhodnější.
Výřez mapy obdélníkového tvaru má měřítko 1 : 1 000 000. Strany tohoto obdélníku byly zmenšeny o 20 %. Vypočítej, jaké číselné měřítko odpovídá zmenšenému výřezu mapy. Výslednou hodnotu měřítkového čísla zaokrouhli na jednotky.
Výřez mapy obdélníkového tvaru má měřítko 1 : 25 000. Strany tohoto obdélníku byly zvětšeny o 30 %. Vypočítej, jaké číselné měřítko odpovídá zvětšenému výřezu mapy. Výslednou hodnotu měřítkového čísla zaokrouhli na jednotky.
I když se ti podařilo oba příklady správně vypočítat, je zřejmé, že je jednodušší číselné měřítko nahradit grafickým ještě před zmenšováním či zvětšováním než upravovat měřítko číselné po zvětšení či zmenšení výřezu mapy (úloha na optimální úrovni).
Úloha na excelentní úrovni se zaměřuje na práci s číselným měřítkem mapy, u které došlo ke zmenšení či zvětšení. Cílem úlohy je, aby si žák uvědomil, že je vhodnější před zmenšováním či zvětšováním mapu opatřit grafickým měřítkem než potom, někdy velmi pracně, upravovat číselné měřítko do nové podoby, která nemusí mít nejlepší vypovídací schopnost (nevhodná podoba měřítkového čísla – např. 1 : 836 482). Žákům se tato dovednost může hodit při tvorbě prezentací, jejichž součástí jsou zmenšované či zvětšované mapy či výřezy z map.
Úlohu je možné obohatit o část, která bude zaměřena na tvorbu grafického měřítka na základě hodnoty měřítka číselného (opakování dovedností z předchozí úrovně úlohy). Snížení úrovně úlohy je možné zařazením nápovědy, ve které bude uveden modelový příklad s postupem. Naopak zvýšení úrovně úlohy je možné zařazením příkladu, že např. mapa byla zmenšena z formátu A4 na formát A5, … Znalost rozměrů základních formátů se v životě určitě neztratí. Úlohu je možné opět obohatit o diskusi, která se bude týkat konkrétních případů, ve kterých bychom mohli náhradu číselného měřítka grafickým či úpravu číselného měřítka použít.
Závěr
Téma zaměřené na práci s měřítkem mapy je typickým příkladem propojení přírodovědné (vzdálenostní poměry, čtení mapy, tvorba mapy, …) a matematické gramotnosti (poměr, dělení, procenta, trojčlenka, …). Vztah těchto dvou gramotností ze zadání a popisu výše uvedených úloh jednoznačně vyplývá. Pochopení významu měřítka a využívání základních dovedností s ním patří mezi věci, které by si měl žák osvojit tak, aby je byl schopen využít a uplatnit v běžném životě. Mapu nejčastěji využíváme jako zdroj informací nebo ji používáme pro prezentaci geografických informací.
Asi si lze těžko představit hodinu zeměpisu bez využití mapy, ať už se jedná o její podobu papírovou, elektronickou či jinou. Ne nadarmo se říká, že každý geografický jev lze vyjádřit dvěma způsoby: slovem a mapou. Výše uvedené úlohy je třeba brát jako inspiraci. Mají celou řadu variant, je možné je nejrůznějšími způsoby rozvíjet, a je jen na učiteli, jak kreativně k dané problematice přistoupí. Jedná se o geografické úlohy, které jsou však bez matematické podpory neřešitelné. Celou problematiku však můžeme vidět i obráceně. Může se jednat i o matematické úlohy, které můžeme s pomocí matematického aparátu vyřešit, ale bez geografické podpory je nelze pochopit.
