Tento materiál pochází ze staršího archivu rvp.cz a už není součástí aktuální nabídky. Uchováváme ho, aby na něj dál vedly původní odkazy.
Odborný článek
Druháci a matematika VII. Násobení a dělení
3,0 (3 hodnocení)
Tento materiál navazuje na téma Opakujeme sčítání, odčítání do 20 s přechodem přes základ kolekce Druháci a matematika. Je zaměřen na seznámení žáků s operací násobení a dělení.
Seznámit žáky s násobením a dělením ještě v období, kdy počítají pouze do 20, je důležité proto, že při počítání do dvaceti je možné pracovat s drobným materiálem, a tak získávat konkrétní představy o násobení a dělení. V této fázi se po žácích nepožaduje pamětné osvojení probíraných příkladů násobení a dělení. Úkolem je naučit žáky ke konkrétním situacím a schématům sestavovat znázorněné příklady násobení a dělení a naopak příklady násobení a dělení i znázorňovat.
Hlavním schématem, o něž se zde násobení a dělení opírá, je čtvercová síť a řazení drobného materiálu do řad a sloupců, protože se tak poměrně snadno objasní komutativnost násobení i souvislost mezi násobením a dělením (viz prezentace snímek 7). Jeho výhodou je i to, že do tohoto schématu je možno zaznamenat všechna tři čísla, tj. oba činitele a součin, dělence, dělitele a podíl, což znázorňováním několika množin (souborů) po daném počtu prvků nelze.
Pomocí manipulativních činností s knoflíky, které žáci kladou na hromádky po daném počtu knoflíků, nebo je rozdělují na daný počet hromádek o stejném počtu knoflíků, poznávají, že i takové situace je možno znázornit řazením knoflíků do řad a sloupců.
Kartézský součin dvou množin je zde v plném rozsahu (tj. i se záznamem uspořádaných dvojic do tabulky) využíván při objasňování násobeni a dělení 1 a 0 (viz prezentace snímek 15) a při řešení aplikačních úloh, např.: Dvě čtyřčlenná družstva soutěžila v přetahování. Každý z červeného družstva se přetahoval s každým z modrého družstva. Kolik soubojů sehráli (viz prezentace snímek 29)?
Pravoúhelníková schémata jsou pak i oporou při řešení jednoduchých rovnic na základě poznaných souvislostí mezi násobením a dělením (viz prezentace snímek 19). Jejich využívání ke znázorňování násobení a dělení má význam také proto, že v něm není vždy nutné vyznačovat všechny prvky, ale stačí v něm zaznamenat jen jednotlivá čísla s tím, že schéma vyjadřuje vztahy mezi nimi, což má pak velký význam pří znázorňování násobení a dělení do 100.
Cíl výuky
Žák sestaví příklady násobení a dělení (v oboru přirozených čísel do 20) znázorněné daným schématem nebo konkrétní situací. Dovede i dané příklady násobení a dělení znázornit konkrétní situací, schématem, a na základě znázornění je i vyřešit.
Seznamování žáků s násobením je vhodné připravit např. při tělesné výchově, kdy žáci cvičí v řadách o stejném počtu žáků. Žákům je možno klást otázky: V kolika řadách cvičíte? Kolik žáků je v každé řadě? V kolika zástupech cvičíte? Kolik žáků cvičí?
Při objasňování násobení se na tuto situaci naváže a žáci dostanou za úkol seřadit knoflíky tak, jak byli seřazeni žáci při tělesné výchově, ukázka např. v prezentaci, snímek 3. Vyučující následně klade otázky: V kolika řadách jsou knoflíky seřazeny? (4) Kolik knoflíků je v každé řadě? (5) V kolika jsou sloupečkách (zástupech)? (5) Kolik je všech knoflíků? Jak to vypočítáme? Žáci budou pravděpodobně počítat 5 + 5 + 5 + 5 nebo 4 + 4 + 4 + 4 + 4. Vyučující pak žákům vysvětlí, že je možno počet všech knoflíků vypočítat násobením, tj. 4 . 5 = 20 nebo 5 . 4 = 20.
Tato činnost se pak shrne promítnutím snímku na tabuli a řešením cv. 1 v pracovních listech: Vyznačte, jak děti stojí na hřišti. V kolika řadách stojí? (4 řady) V kolika stojí zástupech? (3 zástupy) Kolik je všech dětí na hřišti? Jak to vypočítáme? Čtyři řady po třech, čtyřikrát tři. Píšeme 4 . 3 = 12, nebo také 3 zástupy po čtyřech, 3krát čtyři píšeme 3 . 4 = 12.
Znaménko násobení . tečka nebo také ×, to bývá na kalkulátoru. Tečka na kalkulátoru znamená něco jiného, není to znaménko početního výkonu. Čteme: násobeno – tři násobeno čtyřmi, nebo také krát – třikrát čtyři.
Znázorňování příkladů násobení se provádí řazením knoflíků do řad a sloupců a doplňováním schémat na tabuli nebo stíracím fixem na folii. Vyučující žákům říká příklady násobení, nebo je ukazuje na kartách, popř. zapsané na tabuli; žáci je znázorňují a říkají, zapisují výsledek.
Cvičení
Žáci řadí knoflíky do řad a sloupců podle pokynů vyučujícího např.: Položte knoflíky do tří řad po dvou, do dvou řad po čtyřech a vypočítejte kolik knoflíků jste tak seřadili. Mohou dostat za úkol schematicky zaznamenat, jak knoflíky seřadili.
Tabule – prezentace, snímek 2, pracovní listy, cv. 1: Žáci schematicky zaznamenávají rozestavení dětí na hřišti a sestavují takto znázorněné příklady násobení.
Vyučující odsouvá kuličky, krychličky na počítadle, např. na 3 drátech po pěti, na 2 drátech po osmi apod., žáci sestavují, říkají, nebo zapisují takto znázorněné příklady násobení.
Tabule – prezentace, snímek 3, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 2, 3: Sestavování příkladů násobení znázorněných stavbami z krychlí, kroužky ve schématech.
Tabule – prezentace, snímek 4, cv. 1, pracovní listy, cv. 4: Žáci kladou knoflíky na hromádky po daném počtu knoflíků podle pokynů vyučujícího, např.: Položte na lavici 5 hromádek po dvou, 6 hromádek po třech apod. Seřaďte je do řad a sloupečků. Řekněte, zapište takto znázorněné příklady násobení. Po těchto činnostech žáci řeší úkoly na tabuli a v pracovních listech.
Tabule – prezentace, snímek 4, cv. 2, pracovní listy, cv. 5: Žáci pracují s hrací dráhou. Počítají, kolik skoků udělá figurka, jestliže hráči padne dvakrát po šesti, po třech apod., na které číslo figurka postoupí. Pak řeší úkoly na tabuli a v pracovních listech.
Znázorňování násobení. Žáci znázorňují příklady násobení řazením knoflíků do řad a sloupců, nebo doplňováním čísel do pravoúhlého schématu. Na základě znázornění pak říkají, nebo zapisují součin.
Tabule – prezentace, snímek 5, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 6, 7: Znázorňování příkladů na násobení pravoúhelníkovými schématy.
Tabule – prezentace, snímek 6, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 8, 9, 10: Aplikační úlohy: dvoukoruny, pětikoruny žáci řeší jednak sčítáním sobě rovných sčítanců, tak násobením. V pracovních listech ve cv. 10 žáci zapisují příklady sčítání sobě rovných sčítanců násobením.
2. Dělení
Žáci dostanou za úkol rozdělit 15 knoflíků do 3 řad a vypočítat, kolik knoflíků je v každé řadě. Žáci pokládají knoflíky po jednom do tří řad, což se graficky zaznamená pravoúhelníkovým diagramem. Pod vedením učitele počítají: 15 jsme rozdělili do 3 řad. To zapíšeme 15 : 3. Dvě tečky (dvojtečka) jsou znaménkem dělení, čteme 15 děleno třemi, počítáme 15 : 3 = 5.
Vyučující vede žáky k sestavení i druhého příkladu dělení. Patnáct knoflíků jsme rozdělili do řad po pěti. Do kolika řad jsme knoflíky rozdělili? Jak to vypočítáme? Tak žáci pod vedením vyučujícího sestaví příklad 15 : 5 = 3. Vyučující postupně dovede žáky k závěru, že dané schéma, diagram znázorňuje i příklady násobení. Žáci sestaví i příklady 3 . 5 = 15, 5 . 3 = 15.
Žáci si připomenou, že k jednomu diagramu, dominové kartě sestavovali dva příklady sčítání a dva příklady odčítání.
Vyučující odsouvá kuličky, krychličky na počítadle, např. na 4 drátech odsune po pěti kuličkách, krychličkách, a žáci říkají, popř. zapisují čtyři příklady na násobení a dělení, tj. 4 . 5 = 20, 5 . 4 = 20, 20 : 5 = 4, 20 : 4 = 5.
Žáci se podívají na znaménko dělení i na kalkulátoru. Mohou zkusit vypočítat některé příklady dělení i na kalkulátoru.
Znázorňování příkladů dělení se provádí řazením daného počtu knoflíků do daného počtu řad nebo sloupců. Příklad 15 : 3 žáci znázorní tak, že si vezmou 15 knoflíků a po jednom je postupně kladou do tří řad (sloupců) až napočítají 15. Výsledkem je počet knoflíků v každé řadě (sloupci). Obdobně znázorňují příklady dělení na počítadle. Znázorňování se provádí i doplňováním schémat na tabuli, nebo stíracím fixem na folii. Vyučující žákům říká příklady dělení, nebo je ukazuje na kartách, popř. zapsané na tabuli, a žáci je znázorňují a říkají, zapisují výsledek .
Cvičení
9. Tabule – prezentace, snímek 7, pracovní listy, cv. 11: Žáci vyznačí, jak se 12 dětí rozestavilo do 4 řad a počítají, kolik dětí je v každé řadě. Sestaví i druhý příklad dělení a pak takto znázorněné příklady násobení.
10. Vyučující nebo některý z žáků odsouvá krychličky, kuličky na počítadle a žáci sestavují znázorněné příklady dělení.
11. Tabule – prezentace, snímek 8, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 12, 13: Žáci zapisují znázorněné příklady dělení a násobení.
12. Tabule – prezentace, snímek 9, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 14, 15: Žáci nejdříve rozdělují 15 knoflíků na tři hromádky, a pak je z těchto hromádek kladou do tří řad. Sestaví takto znázorněné příklady dělení a násobení. Potom rozdělují 15 knoflíků na hromádky po třech knoflíkách a počítají, na kolik hromádek knoflíky takto rozdělili. Pak je řadí do sloupečků po třech a počítají, do kolika sloupečků je sestavili. Utvoří příklady dělení i násobení takto znázorněné.
13. Pracovní listy, cv. 16: Násobky 2, 3. Žáci odsouvají kuličky po dvou (třech) a počítají, pak zapisují počty kroužků v pracovních listech.
14. Znázorňování příkladů dělení provádějí žáci jak řazením daného počtu knoflíků do daného počtu řad (sloupců), tak na počítadle.
15. Tabule – prezentace, snímek 10, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 17, 18: Znázorňování příkladů dělení schématy.
16. Tabule – prezentace, snímek 11, pracovní listy, cv. 19, 20: Násobilka 2, sestavování příkladů násobení, dělení ke kuličkám odsouvaným na počítadle po dvou kuličkách.
17. Tabule – prezentace, snímek 12, pracovní listy, cv. 21: Aplikační úloha navazuje na skutečnost, kdy žáci šli na vycházku ve dvojicích a počítali se po dvou. Žáci formulují úlohu podle obrázku a stručného záznamu.
18. Tabule – prezentace, snímek 13, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 22, 23: Sestavování příkladů násobení a dělení.
3. Násobení 0, 1
Vlastnosti čísel 0 a 1 vzhledem k násobení je vhodné žákům objasnit pomocí uspořádaných dvojic – kartézského součinu dvou množin. S uspořádanými dvojicemi je možno žáky seznámit i v hodině českého jazyka, nebo při psaní, kdy tvoří, zapisují otevřené slabiky (souhláska – samohláska), popř. při praktických činnostech, kdy vystřihují z barevných papírů různé tvary a dvojici tvoří barva a tvar (červený trojúhelník, červený čtverec) nebo při matematice sestavováním dvouciferných čísel s číslicí 1 na prvním místě ve dvojici.
V hodině matematiky se na tyto zkušenosti naváže zadáním úlohy: Kolik otevřených slabik (souhláska + samohláska) je možno utvořit ze 4 souhlásek, např. m, l, p, s, a pěti samohlásek? To se znázorní schématem (diagramem) viz prezentace, snímek 14, pracovní listy cv. 24. Vyučující doplní úlohu i otázkami: V tabulce je zapsáno 20 slabik, které tvoří 4 souhlásky a samohlásky. Jak vypočítáme, kolik samohlásek je tvoří? (20 : 4 = 5) V tabulce je zapsáno 20 slabik, které tvoří souhlásky a 5 samohlásek. Jak vypočítáme, kolik souhlásek je tvoří? (20 : 5 = 4) Žáci mohou také dostat za úkol vypočítat, kolik dvouciferných čísel je možno zapsat číslicemi 1, 2 na místě desítek a číslicemi 0 až 9 na místě jednotek.
Vlastnost čísla 1 vzhledem k násobení se žákům objasní úlohou vypočítat, kolik otevřených slabik (souhláska + samohláska) mohou utvořit se souhláskou m a samohláskami a, e, i, o, u. Slabiky se opět zapíší schématem uspořádaných dvojic, k němuž se sestaví příklady násobení a dělení 1 . 5 = 5, 5 . 1 = 5, 5 : 5 = 1, 5 : 1 = 5.
Žáci mohou dostat za úkol vypočítat, kolik dvouciferných čísel je možno zapsat číslicí 1 na místě desítek a číslicemi 0 až 9 na místě jednotek. To se zaznamená schématem uspořádaných dvojic, k němuž se utvoří příklady násobení a dělení. 1 . 10 = 10, 10 . 1 = 10, 10 : 1 = 10, 10 : 10 = 1.
Pomocí vhodně volených otázek přivede vyučující žáky k závěru: Číslo se nezmění násobíme-li je číslem 1, dělíme-li je číslem 1. Jestliže číslo dělíme stejným číslem, pak je výsledek 1.
Obdobně se objasní i vlastnost čísla 0. Žáci dostanou za úkol vypočítat, kolik otevřených slabik (souhláska + samohláska) zapíše ten, kdo umí zapsat pouze samohlásky, a nedovede napsat žádnou souhlásku. To se opět zaznamená schématem (viz prezentace snímek 14).
Při sestavování příkladů na násobení a dělení znázorněných schématem vyučující dovede žáky k závěru: Násobíme-li číslo nulou je vždy výsledkem číslo 0. Dělíme-li číslo 0 jakýmkoli číslem je výsledek vždy 0, což je vhodné doplnit i příklady: V sáčku nejsou již žádné bonbony. Kolik bonbonů dostane každé ze tří dětí?
Nakonec je třeba žákům zdůraznit, že nulou nedělíme.
20. Tabule – prezentace, snímek 15, pracovní listy, cv. 28: Aplikační úloha: Žáci v pracovních listech podtrhnou v textu úlohy údaje, které by zapsali do stručného záznamu. Úlohy znázorní diagramy a vysloví odpověď.
21. Tabule – prezentace, snímek 16, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 27, 29: Sestavování příkladů násobení a dělení znázorněných diagramy. Znázorňování příkladů násobení a dělení.
22. Vyučující říká, ukazuje příklady násobení dělení na kartách, žáci ukazují výsledky kartami s čísly, popř. je zapisují.
23. Tabule – prezentace, snímek 17, cv. 1, 2, 3, snímek 18, pracovní listy, cv. 30, 31, 32: Dosazování za proměnnou ve výraze, doplňování tabulek. Aplikační úloha.
4. Rovnice
Žáci dovedou řešit rovnice sčítáním a odčítáním na základě souvislostí mezi sčítáním a odčítáním. Obdobně se žáci seznámí s řešením rovnic násobením a dělením.
Na tabuli jsou připraveny dva digramy. Jeden je znázorněním rovnice 6 + n = 18, druhý je znázorněním rovnice 6 . n = 18 (obr. 1). Žáci sestaví a vyřeší rovnici 6 + n = 18. Pak uvažují o tom, kterou rovnici znázorňuje obdélníkový diagram, co se má vypočítat (kolik prvků, křížků má být v každém řádku). Žáci sestaví všechny znázorněné rovnice tj. 6 . n = 18, n . 6 = 18, 18 : n = 6, 18 : 6 = n, a rozhodnou, která rovnice je nejvhodnější k řešení a rovnici vyřeší.
Žáci sestavují a řeší rovnice znázorněné diagramy, a pak rovnice i znázorňují, doplňují do připravených diagramů čísla a neznámou. Rovnice využívají i při řešení aplikačních úloh.
Autor díla: Marie Janků
Cvičení
24. Tabule – prezentace, snímek 19, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 33: Sestavování a řešení rovnic znázorněných diagramy .
25. Tabule – prezentace, snímek 20, pracovní listy, cv. 34: Číslo 0 v rovnicích. Rovnice 0 . n = 6 nemá řešení. Součin čísla 0 a každého čísla je 0.
26. Tabule – prezentace, snímek 21, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 35, 36: Znázorňování rovnic, řešení nerovnic typu 3 . 2 > n.
27. Hra: Myslím si číslo. Vyučující říká: Myslím si číslo, když je násobím 2 je to 10 apod. Které číslo si myslím? Žáci ukazují výsledek kartami s čísly.
28. Tabule – prezentace, snímek 22, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 37, 38: Aplikační úloha. Žáci úlohu přečtou, doplní stručný záznam, úlohu znázorní a vyřeší.
29. Tabule – prezentace, snímek 23, pracovní listy, cv. 39: Aplikační úloha navazuje na poznatky žáků z dopravní výchovy. Žáci zopakují význam světelné signalizace a připomenou si, jak vypadá signalizace na přechodu a jak na křižovatce. Doplní stručný záznam a úlohu vyřeší.
30. Tabule – prezentace, snímek 24, pracovní listy, cv. 40: Aplikační úloha, kartézský součin. Je vhodné, jestliže žáci úlohu dramatizují, každý ze 3 žáků podá lístek každé ze dvou dívek a uvažují o tom, jak by zapsali všechny lístky pomocí jména odesílatele a jména příjemce. Pak doplní stručný záznam úlohy a uspořádané dvojice písmen, tj. odesílatel + příjemce.
31. Tabule – prezentace, snímek 25, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 41, 42: Žáci si v těchto cvičeních pomocí šipek výrazněji uvědomí, že násobení a dělení jsou početní výkony navzájem opačné. Aplikační úloha, dny a týdny.
33. Tabule – prezentace, snímek 27, cv. 1, 2, 3, pracovní listy, cv. 45, 46, 47: Znázorňování rovnic. Aplikační úlohu je vhodné uvést rozhovorem o tom, kolik tříd je v naší škole, kolik je v naší škole ročníků a kolik tříd je v jednotlivých ročnících. Doplňování znamének +, -, ., :.
34. Tabule – prezentace, snímek 28, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 48, 49: Aplikační úloha s tzv. nepřímou formulací. Děvčata se dělila o bonbony, úloha se řeší násobením. Doplňování znamének +, -, . , :.
35. Tabule – prezentace, snímek 29, pracovní listy, cv. 50: Aplikační úlohu o přetahování je vhodné předvést, schematicky znázornit čarami od každého člena červeného družstva ke každému členu modrého, a pak teprve diagramem uspořádaných dvojic.
36. Tabule – prezentace, snímek 30, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 51, 52: Závorky. nestandardní aplikační úloha. Úlohu je vhodné předvést, znázornit pomocí čar, a pak při doplňování tabulky přivést žáky k závěru, že tabulka nebude úplná, protože nezáleží na tom, jestli se přetahoval Adam s Borkem nebo Borek s Adamem, a že se nikdo nepřetahoval sám se sebou.
37. Tabule – prezentace, snímek 31, cv. 1, 2, pracovní listy, cv. 53, 54: Šipky, opačné početní výkony, doplňování operátorů, tj. čísel se znaménkem. Nestandardní aplikační úlohu je vhodné řešit nejdříve schematicky přikreslováním koleček k řídítkům. Žáci nejdříve uvažují o tom, kolik koleček by pan Novák spotřeboval, kdyby vyráběl jen koloběžky, a kolik koleček by mu zbylo. Zbylá kolečka přidá po jednom k řídítkům. To znamená, že vyrobí tolik tříkolek, kolik koleček by zbylo, kdyby vyráběl jen koloběžky.
38. Tabule – prezentace, snímek 32, pracovní listy, cv. 55: Složená aplikační úloha, kterou je vhodné připravit manipulačními činnostmi s knoflíky tak, že žáci dostanou za úkol vzít si např. 11 knoflíků a rozdělit je na dvě hromádky tak, aby na jedné bylo o 3 knoflíky více než na druhé. Vyučující postupně přivede žáky k závěru, že položí 3 knoflíky stranou a zbylé knoflíky dělí dvěma.
39. Tabule – prezentace, snímek 33, pracovní listy, cv. 56: Nestandardní zábavná úloha. Je vhodné ji připravit tím, že si žáci připomenou, kolik nožiček má různý hmyz a pavouci. Dále je vhodné nechat žáky pracovat samostatně, a pak jen výsledky společně překontrolovat.
40. Pracovní listy, cv. 57: Numerické příklady je možno použít k ověření toho, do jaké míry žáci ovládají násobení a dělení. Při hodnocení však hodnotit kladně. Pokud žák udělá více chyb, pak zatím nehodnotit.
