Druháci a matematika II. Tvary věcí

Mozaikové stavebnice jsou obvykle tvořeny trojúhelníkovými, čtvercovými, obdélníkovými destičkami a destičkami tvaru rovnoběžníku, nejčastěji kosočtverce. Trojúhelníkové destičky mají obvykle tvar rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku a trojúhelníku rovnostranného. Na to je třeba pamatovat a při vyučování matematice ukazovat často i trojúhelníky různostranné a tupoúhlé. Dále v takových mozaikách nebývají destičky kruhové, s tím je třeba také počítat. 

Na počátku vyučování je účelné na tyto zkušenosti žáků navázat a dále je rozvíjet např. při praktických činnostech a výtvarné výchově. Při práci s papírem, kdy se žáci učí zacházet s nůžkami, mohou podle šablony nakreslit na barevné papíry trojúhelníky, kruhy apod. a tyto tvary pak vystřihovat a nalepovat z nich obrázky a ornamenty. Při skládání papíru je důležité mluvit a popisovat činnosti, např. čtvercový list papíru – čtverec přeložíme a vyznačíme tak trojúhelníky. Případně mohou lístky různých tvarů žákům připravit starší žáci.

Na tyto průpravné činnosti pak navazuje vyučování geometrie. Žáci mohou dostat za úkol z připravených nastříhaných lístků uvedených geometrických tvarů sestavovat a nalepovat ornamenty a obrázky, a to buď podle vlastní fantazie nebo podle předlohy nebo i v rámci jinak řízené činnosti – třeba podle diktátu. Je dobré, jestliže vyučující používá správné názvy tvarů lístků. Tak je možno vytvářet obrázky a ornamenty pouze z lístků jednoho tvaru, např. trojúhelníků (obr. 2), čtverců (obr. 3) nebo z tvarů různých.

Vyučující žákům poté promítne na tabuli různé geometrické útvary nebo může využít magnetickou tabuli s lístky, destičkami tvarů různých trojúhelníků, čtverců, kruhů a obdélníků. Je ideální, jestliže obdobnou sadu lístků mají i žáci. Takovou sadu jim mohou připravit starší žáci nebo si ji mohou připravit sami při pracovních činnostech při práci s papírem. Je důležité mezi připravenou sadu zařadit i lístky jiných tvarů, jejichž smyslem je, aby si žáci výrazněji názorně uvědomili vlastnosti uvedených geometrických útvarů. Při třídění takových lístků pak obvykle svými slovy zdůvodňují, proč ten či onen lístek nezařadili mezi trojúhelníky, čtverce apod. U nepravidelného čtyřúhelníku (viz prezentace, snímek 2, pracovní listy cv. 1) říkají: „To není trojúhelník, protože je takový uříznutý. To není čtverec (kosočtverec), protože je takový nakřivo.“

U čtverce je důležité, aby žáci často viděli model čtverce i v poloze „na koso“. Není-li tomu tak, pak se stává, že čtverec v uvedené poloze nepovažují za čtverec. Když se naučí názorně (zatím nemluvíme o stranách, vrcholech apod.) poznávat jednotlivé geometrické útvary, požaduje vyučující, aby jmenovali věci, které kolem sebe vidí nebo které znají a které mají tvary kruhu, čtverce, obdélníku, trojúhelníku. Např. tvar obdélníku má sešit, deska lavice, okno apod. Ve vzdělávací oblasti (oboru) Člověk a jeho svět, kdy se žáci učí bezpečně zvládnout cestu do školy, mohou třídit dopravní značky podle jejich tvarů a poznávat důležitost tvaru značky pro její význam. Trojúhelníkové značky jsou výstražné, říkají: Dej pozor, zatáčka, křižovatka, děti, železniční přejezd apod. Kruhové značky jsou zákazové a příkazové. Červené jsou zákazové, zákaz vjezdu autům, kolům, zákaz předjíždění, zákaz stání apod. Modré jsou příkazové, přikázaný směr jízdy, stezka pro cyklisty, rozsviť světla apod. Čtvercové a obdélníkové informují, oznamují hlavní silnice, slepá ulice, jednosměrný provoz, parkoviště, označení obcí, směrová tabule, příjezd na dálnici apod. Pak i při vycházkách žáci určují tvary značek a dalších věcí v okolí školy. Při té příležitosti je možné žáky upozornit na tvary kol dopravních prostředků a připomenout jim význam tvaru kruhu pro techniku.

Poznatky žáků o tvarech trojúhelníku, čtverce, obdélníku, popř. dalších mnohoúhelníků je možno prohlubovat propojením geometrie se vzdělávací oblastí (oborem) Člověk a svět práce, kde žáci pracují s modelovací hmotou a špejlemi, brčky. Při těchto činnostech mohou plnit úkoly – špejlemi vyznačit, vymodelovat trojúhelník, čtverec, obdélník, popř. jiný mnohoúhelník. Rozvoji geometrické představivosti a fantazie napomáhají i takové úkoly jako vyjmenovat věci, které mívají daný tvar např. kruhu, nebo řešení úlohy: Na stole byly čtyři věci tvaru kruhu, jedna tvaru čtverce a jedna tvaru obdélníka. Co na stole mohlo být? (Např. čtyři talíře, jeden složený ubrousek a knížka.)

Poznatky žáků o jednotlivých geometrických útvarech se prohlubují postupně. V různých cvičeních zařazovaných průběžně v hodinách geometrie až do 5. ročníku je možno žáky učit vidět dané geometrické útvary i ve složitějších situacích. Jsou to např. cvičení, v nichž žáci na sebe různým způsobem přikládají lístky (ideální je, jestliže jsou z průsvitné barevné fólie) tvaru trojúhelníku, čtverce, kruhu apod., a určují, jaký tvar má průnik – společná část dvou, popř. více daných geometrických útvarů. Na obrázcích promítnutých na tabuli mohou společnou část, v pracovních sešitech průnik, vybarvovat (např. obr. 4). Pak to jsou i poměrně složité obrázky, na nichž žáci určují počet trojúhelníků, čtverců apod. (obr. 4). Nebo to jsou cvičení, při nichž žáci dostávají za úkol rozdělit daný geometrický útvar na několik jiných geometrických útvarů, např. obdélník na trojúhelníky či obdélníky. Úkoly tohoto charakteru se vyskytují i v různých matematických soutěžích nebo testech.

Rovněž tak vytváření obrázků z různých mnohoúhelníků může být zajímavou činností rozvíjející představivost starších žáků a dospělých. Takovou činností je hra tangram, stará čínská hra, v níž je úkolem ze sedmi částí čtverce sestavovat figurky, lidské postavy, zvířata, věci. Odkazy na tangram jsou i na metodickém portále: Mgr. Lenka Říhová http://www.bosounohou.cz/tangram/?c=0 nebo http://kle.cz/tangram/.

Když se žáci naučí správně vyznačit stanovené části čtverce, mohou si sami dílky vyznačit na barevném lepicím papíru a vystříhat je. Při výtvarné výchově pak mohou sestavovat a nalepovat podle daných podmínek obrázky podle předlohy nebo vlastní fantazie. Také může být zajímavé zorganizovat soutěž o co největší počet takto sestavených různých obrázků nebo o co nejzajímavější či nejhezčí obrázek.

Cvičení

1. Tabule – prezentace, snímek 2, pracovní listy, cv. 1: Uklízíme lístky. Na tabuli je promítnuta sada lístků nejrůznějších geometrických tvarů. Je dobré, jestliže mají žáci obdobné sady i v lavicích (stačí i jedna sada pro skupinu žáků). Úkolem žáků je roztřídit lístky na ty, které jsou trojúhelníkové (čtvercové, kruhové, obdélníkové), a na ty, které daný tvar nemají, tj. dichotomické třídění. Nakonec zůstane skupina lístků, které nemají žádný z požadovaných tvarů. Vyučující pak ukazuje na jednotlivé zbylé lístky a klade žákům otázky: Proč jste tento lístek nezařadili mezi trojúhelníkové (čtvercové, obdélníkové, kruhové) lístky? Žáci pak vlastními slovy své rozhodnutí zdůvodňují. Např. Není to trojúhelník, protože má ulomenou špičku, je uříznutý apod. Není to čtverec, protože je takový nakřivo, je takový splácnutý. Není to kruh, protože je takový šišatý. Na tuto přípravu navazuje samostatná práce na pracovním listu.

2. Diktát: Žáci pracují se sadou lístků, které řadí podle diktátu. Kontrola se provádí na magnetické nebo dotykové tabuli. Nejdříve položte čtverec, pak kruh, ...

3. Poznávání geometrických tvarů hmatem. V sáčku jsou trojúhelníkové, kruhové, čtvercové, obdélníkové destičky. Úkolem žáků je hmatem vybrat daný tvar.

4. Tabule – prezentace, snímek 3, 4, pracovní listy, cv. 2, 3. Úkolem žáků je určit tvary jednotlivých částí domečku a tvary dopravních značek. Čárou spojují jednotlivé části domku, dopravní značky s názvem tvaru, např. dveře domku – obdélník, střecha – trojúhelník. Ve cv. 3 škrtají ten tvar, který se liší od ostatních tvarů v daném souboru.

5. Tabule – prezentace, snímek 5, pracovní listy, cv. 4: Vyučující promítne žákům na tabuli foto kostela sv. Václava na Smíchově. Na obrázku vyhledávají části, které mají daný tvar, a obtahují je. Na pracovním listě obtahují části, které mají daný tvar. Po vypnutí promítacího zařízení zůstanou na tabuli geometrické útvary v jejich čisté podobě.

6. Při vycházce do okolí školy je úkolem žáků se dobře dívat, ukazovat a jmenovat věci, které mají daný tvar.

7. Modelování v prostoru: Úkolem žáků je vyznačit trojúhelník pomocí tří špejlí, dřívek a kuliček z modelovací hmoty. Je možno položit i otázku: Kolik kousků modelovací hmoty budeme potřebovat? Dalším, náročnějším úkolem je vymodelovat dva trojúhelníky pomocí pěti dřívek (obr. 5). Formou soutěže je možno zadat úkol – vymodelovat co nejvíce trojúhelníků pomocí šesti špejlí. Někteří žáci vymodelují dva samostatné trojúhelníky. Ti s rozvinutější představivostí vymodelují čtyři trojúhelníky v prostoru, v podstatě čtyřstěn (obr. 6).

8. Tabule – prezentace, snímek 6, pracovní listy, cv. 5: Žáci dostávají úkoly: určit, kolik je na obrázku čtverců, trojúhelníků. Pomocí animace se postupně promítají jednotlivé tvary, což žákům usnadňuje vidět jednotlivé tvary.

9. Při práci s papírem žáci odstřihnou z obdélníkového listu papíru čtvercový tvar s tím, že jim vyučující předvede postup. Je vhodné žákům ukázat při překládání papíru, že každé dvě strany čtverce jsou shodné. Při dalším překládání žáci určují, kolik trojúhelníků přeložením vyznačili (obr.7). (Čtyři malé a čtyři větší tvořené vždy dvěma menšími.)

10. Hra: Ano, ne s pomůckou – sada destiček geometrických tvarů trojúhelníků, čtverců, obdélníků, kruhů ve dvou velikostech (velké, malé) a čtyřech barvách (červená, žlutá, zelená, modrá). Vyučující nebo žák vybere jednu destičku a uschová ji. Úkolem žáků je pomocí otázek uhodnout (Je červená atd.? Vyučující odpovídá pouze ano/ne.), která destička je ukrytá. 

2. Tvar krychle, kvádru, válce, koule, jehlanu, kužele

S modely těles se děti setkávají v předškolním věku při hrách se stavebnicemi, dřevěnými nebo umělohmotnými. Výbornou průpravou k poznávání těles jsou hry s klasickou dřevěnou stavebnicí, kterou tvoří krychle, kvádry, trojboké hranoly, válce a další kostky. Při hrách s míčem si dobře i hmatem osvojí tvar koule.

Takové dětské zkušenosti je dobré doplnit a obohatit při praktických činnostech, kdy žáci staví z kostek město nebo z krabiček různých tvarů vyrábějí malý nábytek, modelují byt apod. Je vhodné, jestliže vyučující používá správné geometrické názvy těles, s jejichž modely ve formě kostek a různých krabiček děti pracují.

Při vyučování geometrii se přechází od obrazců (Termín obrazec není přesně vymezen, v každém případě se ve školské geometrii tak označují geometrické útvary dvourozměrné – rovinné. Později se mluví o obvodu či obsahu obrazce.) k tělesům tak, že žáci na hmotných modelech těles určují tvary stěn jednotlivých těles. Poznávají, že všechny stěny krychle jsou čtverce, stěnami hranolu bývají obdélníky, ale i trojúhelníky, válec má dvě stěny kruhové apod. Názvy těles žáci poznávají zpočátku pasivně. Především tak, že ukazují, pokládají jednotlivá tělesa podle diktátu učitele, nebo že při stavbě města z kostek nebo ze sady modelů těles staví podle pokynů vyučujícího. Např. „Vezměte kvádr a položte na něj trojboký hranol a tak postavte dům. Z válce a kužele postavte věž.“ Při dalším procvičování vyučující může žákům předvádět modely těles, pojmenovávat je a žáci ukazují, jmenují věci, které mají tvar daného tělesa. Např. tvar koule – míč, kulový kryt lampy, tvar kvádru – krabička od sirek, panelový dům s vodorovnou střechou, tvar válce – hrneček. Je důležité, aby si žáci uvědomili, že i třída, různé místnosti mají v podstatě tvar kvádru, pokud pomineme různé výklenky a otvory oken a dveří. Tady se přímo nabízí, aby se mluvilo i o vnitřku a vnějšku tělesa. Zabývat se podrobněji touto otázkou je však vhodné až později, až budou žáci vyznačovat body, které danému tělesu náleží, nenáleží. Výstavka krabiček uspořádaných podle tvarů může významně přispět k tomu, aby si žáci uvědomovali vlastnosti jednotlivých těles. Např. ve skupině válcových krabiček může být poměrně velká válcová krabice od „GRANKA“, nízká válcová krabička od trojúhelníkových sýrů a malá válcová krabička od léků.

Cvičení

11. Na modelech těles, krabičkách žáci ukazují stěny, části daného tvaru. Vyučující při tom uvádí názvy těles.

12. Úkolem žáků je řadit nebo klást na sebe modely těles podle diktátu učitele.

13. Učitel ukazuje žákům modely těles a říká jejich názvy. Úkolem žáků je ukázat jmenovat věci, které mají daný tvar.

14. Tabule – prezentace, snímek 7, pracovní listy, cv. 6: Uklízíme kostičky. Na tabuli je promítnuta sada těles, kostiček nejrůznějších geometrických tvarů. Úkolem žáků je roztřídit kostičky na krychle a kvádry, koule, válce, jehlany a na ty, které daný tvar nemají – dichotomické třídění. Nakonec zůstane skupina kostek – těles, které nemají žádný z požadovaných tvarů. Vyučující pak ukazuje na jednotlivé zbylé kostky a klade žákům otázky: Proč jste tuto kostku mezi krychle a kvádry (koule, válce, jehlany) nezařadili? Žáci pak vlastními slovy své rozhodnutí zdůvodňují. Např.: Není to koule, protože je to takové šišaté. Není to válec, protože je to špičaté (kužel).

15. Žáci přinesou nejrůznější krabičky, připraví ve třídě výstavku modelů těles a seskupí je podle tvarů. Vyučující jmenuje a ukazuje věci v okolí a žáci ukazují příslušný model tělesa. Např. panelový dům s vodorovnou střechou – kvádr, míč – koule, trubka – válec, naše učebna – kvádr.

16. Tabule – prezentace, snímek 8: Na tabuli jsou promítnuty rovinné obrazy těles a vedle jsou zapsány jejich názvy. Úkolem žáků je čárou spojit obrázek tělesa s jeho názvem.

17. Při práci s papírem mohou žáci dostat za úkol vystřihnout připravenou síť tělesa a model tělesa slepit. Z papírových modelů pak mohou vytvářet různé stavby.

18. Na poznatky žáků o tělesech mohou navazovat cvičení, v nichž žáci staví různé stavby z krychlí, a mohou tak uvažovat o různých pohledech na tyto stavby.

19. Vyučující má dvě sady modelů těles. Z jedné sady dá vyučující jeden model tělesa do sáčku tak, aby žáci neviděli, které těleso je v sáčku. Žák sáhne do sáčku, pouze hmatem poznává těleso a z druhé sady vybere model téhož tělesa, které nahmatal v sáčku.

20. Cvičením podporujícím geometrickou představivost jsou cvičení, v nichž žáci na plánech bytů, místností i na plánech obcí ukazují na jednotlivé obrazce a říkají, co ten či onen obrazec znamená. Např. obdélník, to je obývací pokoj, malý čtverec je kuchyň.