Článek přináší inspirace pro hledání souvislostí mezi rozvojem matematické gramotnosti a výtvarnými díly. Obsahuje tři konkrétní (v praxi ověřené) aktivity pro žáky základních škol včetně pracovních listů.
Využití výtvarných objektů pro rozvíjení matematické gramotnosti žáků nebývá příliš obvyklé. Důvodem mohou být zvýšené nároky, které jsou v tomto případě kladeny na učitele. Jestliže si učitel vybere vhodný umělecký objekt, musí si v první řadě promyslet, zda s žáky bude pracovat přímo v prostorách, kde je objekt umístěn (galerie, park, atrium nákupního střediska apod.), nebo zda objekt vyfotografuje a matematické úkoly bude s žáky řešit ve třídě. V obou případech musí učitel zvolit vhodnou formu výuky a pro žáky připravit pracovní listy. Vynaložené úsilí však může pomoci snížit obavu a strach z matematiky.
V článku Běžte všichni do muzea, který byl na Metodickém portálu RVP.CZ publikován v březnu tohoto roku, bylo krátce představeno možné využití expozice Muzea moderního umění v Olomouci pro rozvoj geometrické představivosti žáků základní školy. Nyní si vám dovolujeme předložit náměty na využití tří uměleckých děl (Neúplná otevřená krychle – autor Solomon Sol LeWitt, ZIG ZAG – autor Petr Kvíčala a Socha v kvádru
Otevřené vzdělávací zdroje označené klíčovým slovem Otevřené vzdělávací zdroje IPs Kurikulum prošly odborným posouzením v rámci projektu IPs Podpora kurikulární práce škol. U každého z nich byl vyhodnocen soulad s revidovaným RVP. Stanovisko hodnotitele ve formě recenzního komentáře je uvedeno přímo u daného materiálu.
Pro zobrazení všech dostupných vzdělávacích zdrojů zadejte klíčové slovo Otevřené vzdělávací zdroje IPs Kurikulum. Databázi lze dále upřesnit pomocí filtrů, například podle stupně vzdělávání, vzdělávací oblasti, očekávaného výsledku učení, klíčové kompetence, průřezového tématu nebo základní gramotnosti.
– autor neuveden), které jsme pro vás sesbírali doslova po celém světě (USA, Česká republika, Slovinsko). Pro práci s žáky druhého stupně základní školy a nižšího stupně gymnázia byly připraveny pracovní listy a navržené aktivity byly ověřeny ve výuce.
Poděkování patří RNDr. H. Liškové (VOŠP a SPgŠ Litomyšl), Mgr. J. Plíškové (ZŠ J. Ressla Pardubice), Mgr. J. Strupkové (Gymnázium Budějovická Praha), Mgr. J. Topičové (ZŠ a MŠ Regionu karlovarský venkov Sadov) a Mgr. J. Vaňkové (gymnázium FXŠ Liberec), které na základě zkušeností z pilotování pomohly upravit zadání aktivit, přispěly metodickými radami k využití pracovních listů a poskytly zajímavá žákovská řešení. Pracovní listy výše uvedených aktivit naleznete v přílohách tohoto článku.
Neúplná otevřená krychle
Inspirací pro hledání souvislostí mezi rozvojem matematické gramotnosti a výtvarnými díly byl článek Matematika a uměníSol LeWitta (autoři T. McKeny a J. Caniglia) v americkém časopisu Mathematics Teacher (No. 9, May 2012), ve kterém byly uveřejněny sochy ze série Neúplná otevřená krychle.
Obr. č. 1 Krychle s pěti hranami. By rocor [CC BY-NC 2.0]. Via Flickr.
Sochy jsou tvořeny pouze „hranami" krychle, které nesmí ležet všechny v jedné rovině. Socha musí mít nejméně 3 a nejvíce 11 hran. Sochy o stejném počtu hran jsou shodné, jestliže lze jednu na druhou převést otáčením v prostoru.
Pro lepší pochopení byly v pracovním listu připraveny tři fotografie (po jedné možnosti ze soch s pěti, osmi a devíti hranami) a zakresleny všechny různé sochy pro tři a čtyři hrany.
Krychle se třemi a čtyřmi hranami
Úkolem žáků bylo zakreslit všechny různé sochy pro 10 hran, případně určit, kolik existuje všech neúplných otevřených krychlí, které lze podle daných pravidel vytvořit.
Ověřování aktivity v praxi potvrdilo, že cvičení se zapojením prostorové představivosti je pro žáky často velmi obtížné. Jestliže byla úloha žákům předložena bez doplňujícího vysvětlení a žáci byli ponecháni „osudu“, nedovedli se v podmínkách uvedených v textu správně zorientovat. Mátlo je „dvojí“ zobrazení soch (schematický obrázek a fotografie). Lepšího výsledku bylo dosaženo, když žáci pracovali ve skupině a mohli využívat různé podpůrné prostředky (drátěný model krychle, čtverečkovaný papír, připravenou tabulku s předkreslenými krychlemi). Jako nejúčinnější se ukázala možnost využití plastelíny a sady špejlí.
Při řešení prvního úkolu žáci při modelování soch většinou používali metodu „bourání“ – postupného odebírání hran krychle. Důležité bylo, že s modelem žáci mohli manipulovat a otáčením zjistit, že stejnou sochu již objevili. Lépe tak pochopili, které sochy považujeme za identické. V následujícím autentickém řešení je na čtverečkovaném papíru zakreslena několikrát jedna a táž socha, kterou pro porovnání uvádíme i na fotografii.
Obr. č. 3 Krychle s deseti hranami. By nclave [CC BY 2.0]. Via Flickr.
Obr. č. 4 Autentické žákovské řešení s chybou
Řešení druhého úkolu je časově velmi náročné. Je vhodné, aby jednotlivé skupinky žáků řešily dílčí problém, a pak společně došly ke konečnému výsledku. Všech neúplných otevřených krychlí, které lze podle daných pravidel vytvořit, je 122.
Ověřování ve výuce potvrdilo, že žáci kreslí krychle vždy ve volném rovnoběžném promítání. Při hledání systému, který by umožnil zakreslit všechny krychle pro daný počet hran, však toto zakreslení není nejvhodnější. Překvapivé (nejen pro žáky, ale i pro učitele) může být zakreslení krychle, které je uvedeno níže:
Obr. č. 5 Krychle jako šestiúhelník
Pomocí tohoto schématu lze snadněji zakreslit všechny možné neúplné otevřené krychle:
Obr. č. 6 Všechny neúplné otevřené krychle
ZIG ZAG
Na výstavě, která byla koncipována speciálně pro White gallery v Osíku ve východních Čechách, představil Petr Kvíčala svou nejnovější plastiku Zig Zag, která je vyrobena z hliníku a je přes tři metry vysoká. Při realizaci této plastiky autor pracoval nejprve s papírovými modely, aby dokonale využil rozložení zvolených tvarů a vzorů v prostoru. Úkolem žáků bylo vytvořit obdobný papírový model.
Obr. č. 7 Papírový model plastiky
Při ověřování této aktivity učitelé uplatnili dva rozdílné způsoby práce. Při prvním žáci pracovali v malých týmech. Velmi rychle poznali, „co se po nich chce“, a jak situaci vyřešit. Vytvořili si zkušební model, aby zjistili optimální velikost. Ve většině týmů žáci jednu síť pláště jehlanu narýsovali, a poté ji použili jako šablonu pro další jehlany. Někteří žáci ve skupině vyráběli jehlany, jiní je zdobili proužky nebo je lepili dohromady.
Obr. č. 8 Autentické žákovské řešení
Při druhém způsobu práce žáci pracovali samostatně pod vedením učitele. Společně se domluvili na rozměrech jehlanu (zvítězila délka hrany 6 cm), na hustotě proužků i na barevném provedení. Žáci byli za svou práci klasifikováni – hodnotila se přesnost, dodržení zadání, čistota modelu i kvalita vybarvených pruhů. Dokončení modelu poté proběhlo v hodině výtvarné výchovy – model byl nalakován bezbarvým lakem a jako plastika vystaven v prostorách školy.
Závěry pilotování byly shodné pro oba způsoby práce s žáky: tvorba papírového modelu uměleckého díla je pro žáky mnohem atraktivnější, než výroba papírového modelu pravidelného čtyřbokého jehlanu.
Socha v kvádru
Nádvoří hradu na maďarsko slovinském pomezí zdobí zajímavá socha. Byla vytesána z jednoho kamenného bloku ve tvaru kvádru. Autorce článku se nepodařilo zjistit název ani autora tohoto uměleckého díla. Pro potřeby tohoto článku jsme zvolili název Socha v kvádru.
Na fotografiích v pracovním listu žáci vidí sochu ze čtyř stran.
Obr. č. 9 Socha v kvádru
Úkolem žáků bylo odhadnout, jaké procento z celkového objemu kamenného bloku musel autor sochy odsekat. Svůj odhad měli matematicky zdůvodnit.
Ověřování pracovního listu v praxi ukázalo, že žáci pro zdůvodnění svých odhadů většinou rozdělili sochu na několik částí (např. 1. část – levá „krychličková“ část, 2. část – podstavec a 3. část – „zmačkaný koberec“) a objem jednotlivých částí odhadli pomocí „jednotkových“ krychliček naznačených na soše. Někteří žáci si doplňovali různé pomocné nákresy do fotografií, jiní se snažili situaci popsat slovy. Pro ilustraci uvádíme přepis jednoho autentického žákovského řešení:
Nejprve se pokusíme popsat tuto podivnou sochu. Vidíme, že její půdorys tvoří obdélník. Na levé straně sochy se nachází jakýsi zkroucený kvádr, v pravé části vidíme obrysy kvádru, trochu polorozbořeného. Tato část je rozšrafována do čtverečků. Budou mít rozměry dejme tomu 1 x 1 cm. Výška kvádru je tedy 4 cm, šířka kvádru 6 cm a délku je potřeba změřit. Vychází nám 9 cm. Z těchto údajů jsme schopni spočítat objem kvádru 216 cm3. Vše stojí na podstavci, který tvoří 25 % objemu původního kvádru (je vysoký 1 cm, zatímco původní 4 cm). Předpokládejme, že celá socha není z kamene, ale z modelíny, dá se tvarovat. Potom tedy můžeme „roztáhnout“ levou část sochy nad podstavcem, aby vznikl pravidelný kvádr. Tento kvádr rozšrafujeme jako pravou část. Délka vychází 13 cm, objem této části je 13 × 4 cm3 = 52 cm3. Pravou část tvoří pravidelný kvádr o objemu 32 cm3 a „poničená část“ o objemu cca 4 cm3. Sečteme všechny 4 části: 54 + 52 + 32 + 4 = 142.
100 % odpovídá 216 cm3 (objem celého kvádru), 142 cm3 (objem sochy) odpovídá 65,7 %. Sochař musel odsekat 34,3 %.
Závěr
Připravené pracovní listy byly žáky i učiteli hodnoceny kladně. Spojení matematiky s uměleckými díly je pro žáky nezvyklé, a proto přitažlivé. Aktivita Neúplná otevřená krychle pomáhá rozvíjet kombinatorické schopnosti žáků, jejich prostorovou představivost, vede je k systematické práci. Aktivita Zig Zag pomáhá upevňovat geometrické představy s prostorovými vztahy a rozvíjet pracovní návyky žáků. Aktivitu Socha v kvádru lze zařadit mezi nestandardní aplikační geometrické úlohy, při řešení žáci využívají své zkušenostiz praktického života. Všechny uvedené pracovní listy naleznete v příloze tohoto článku.
Literatura a použité zdroje
MCKENY, Timothy; CANIGLIA, Joanne. Mathematics Teacher, Mathematics and the Art of Sol LeWitt. 2012.
Jedná se o odborný článek doplněný o pracovní listy. Zaměření článku je rozmanité, ale úlohy jsou velmi zajímavé a mohou vyučujícího motivovat k podobným projektům i s trochu jiným zaměřením. V článku je uvedena ukázka využití výtvarných objektů pro rozvíjení matematické gramotnosti žáků, což není obvyklé, ale tento způsob výuky může pomoci snížit obavu a strach z matematiky. Po vhodném výběru lze výuku provádět přímo v prostorách, kde je objekt umístěn. Je možné využít kreativity žáků, kteří objekt objeví, vyfotografují a řeší úlohy doma nebo ve škole. Vhodná je také prezentace výsledků spolužákům.
V rámci rozvíjení Klíčové kompetence komunikační – vyjadřování – lze využít následující vzdělávací strategii učitele:
- při podpoře a hodnocení vyjadřování žáků se neorientuje pouze na obsah jejich sdělení, ale také na jeho výstižnost;
- během výuky pokládá dostatečné množství otevřených otázek, které podněcuje žáky k přemýšlení a hlubší argumentaci;
a žádoucí jsou tyto projevy aktivity žáka:
- formu i obsah vyjádření přizpůsobuje úrovni sdílených znalostí;
- využije otázky k formulování výzkumného problému;
- odhaduje odpovědi na výzkumné otázky na základě svých dosavadních znalostí, při formulaci využívá SMART kritéria;
lze využít následující vzdělávací strategii učitele:
- poskytuje příklady výzkumných otázek vyžadujících od žáků pozorování, měření a zkoumání;
- pomáhám žákům rozpoznat klíčové aspekty výzkumného problému a formulovat otázky a předpokládané odpovědi, které povedou ke smysluplnému bádání;
- pomáhat žákům formulovat předpokládané výsledky jejich bádání;
- nabízet ukázky praktických postupů, které mohou žákům pomoci efektivně řešit výzkumný problém;
- zajišťovat, aby měli žáci přístup k potřebným materiálům a zdrojům pro své bádání;
a žádoucí jsou tyto projevy aktivity žáka:
- formuluje výzkumný problém svými slovy tak, aby odrážel realitu;
- využije otázky k formulování výzkumného problému;
- odhaduje odpovědi na výzkumné otázky na základě svých dosavadních znalostí svých dosavadních znalostí.
