Aktivita ve formě pracovního listu sloužící ke zkoumání grafu kvadratické funkce pomocí aplikace GeoGebra. Úkolem žáků je vytvořit několik konkrétních modelů grafů kvadratické funkce a snažit se přijít na zobecnění v závislosti na daných parametrech. Zároveň v aplikaci zjišťují vrchol paraboly, průsečíky s osami x a y a nulové body.
Cíl výuky
Žák manipuluje s nákresnou aplikace GeoGebra při zkoumání grafů funkcí
Žák na základě experimentování zobecní závislost polohy grafu v souřadnicovém systému na koeficientech
Žák dle předpisu funkce určí, jak bude daná parabola vypadat
Žák určí pomocí matematického softwaru důležité body funkce
Žák v aplikaci GeoGebra vytvoří dynamický model se třemi parametry pomocí posuvníku
Učitel: PC s připojením na internet, dataprojektor
Žák: PC s připojením na internet, pracovní list
Potřebné vstupní znalosti a dovednosti
Oborové: kvadratická funkce a její předpis, kartézská soustava souřadnic
Digitální: základní znalost programu GeoGebra (nákresna, příkazový řádek, posuvník, důležité body), žák zadá předpis funkce do příkazového řádku, manipuluje s nákresnou, využívá tlačítka „důležité body“ a posuvníku
Přínos využití digitálních technologií
využití matematického softwaru k danému zkoumání, vizualizaci a prezentaci matematických konceptů
schopnost práce s daty v digitální podobě
Metodická poznámka
Aktivita je badatelská, učitel má ve třídě pozici průvodce. Tlačítko „důležité body“ lze využít pouze v aplikaci GeoGebra – Grafický kalkulátor.
Vzdělávací aktivita se skládá ze dvou úloh. K oběma úlohám je vytvořen pracovní list.
První úloha: Žáci si zvolí libovolnou kvadratickou funkci ve tvaru s konkrétními hodnotami\\[ a \\],\\[ m \\],\\[ n \\] a zadají ji do programu GeoGebra. Postupně začnou měnit jednotlivé parametry. Předpisy nových kvadratických funkcí budu zapisovat do připravených tabulek. Zároveň u každé nové kvadratické funkce pomocí tlačítka „důležité body“ určí vrchol paraboly, průsečíky s osami\\[ x \\] a\\[ y \\] a nulové body, navíc však zkoumají, v jakých případech průsečíky s osami\\[ x \\] a\\[ y \\] a nulové body existují vzhledem k prováděné transformaci grafu funkce. Dochází k tvorbě několika izolovaných modelů. Jakmile si žák vyzkouší dostatečný počet izolovaných modelů a dojde k tvorbě generického modelu, dokáže popsat, jak se mění tvar paraboly v závislosti na jednotlivých parametrech a určit vrchol paraboly z předpisu funkce.
Druhá úloha: Tvorba kvadratické funkce s posuvníky v GeoGebře, žák zkoumá zvláště speciální případy, kdy \\[ a=0 \\], \\[ b=0 \\], \\[ c=0 \\] .
Pracovní list
1. Úloha: Zvolte si libovolnou kvadratickou funkci ve tvaru \\[ f(x)=a{(x+m)}^{2}+n \\] (s konkrétními hodnotami\\[ a \\],\\[ m \\],\\[ n \\]) a zapište ji:
Funkci zadejte do programu GeoGebra. Nyní postupně zaměňujte dané parametry\\[ a \\],\\[ m \\],\\[ n \\]. Předpisy funkcí vždy zapisujte do tabulky. Pomocí tlačítka „důležité body“ zapisujte do tabulky také: vrchol paraboly, průsečíky s osami\\[ x \\] a\\[ y \\] a nulové body. Zkoumejte, jak se graf paraboly mění v závislosti na daných parametrech.
a) Zaměňujte parametr\\[ a \\]:
Předpis funkce
Vrchol paraboly
Průseříky s osami
Nulové body
Jak se mění graf paraboly v závislosti na parametru\\[ a \\]?
b) Zaměňujte parametr\\[ m \\]:
Předpis funkce
Vrchol paraboly
Průsečíky s osami
Nulové body
Jak se mění graf paraboly v závislosti na parametru\\[ m \\]?
c) Zaměňujte parametr\\[ n \\]:
Předpis funkce
Vrchol paraboly
Průsečíky s osami
Nulové body
Jak se mění graf paraboly v závislosti na parametru\\[ n \\]?
Co se děje s grafem funkce, pokud je parametr\\[ a \\] záporný?
2. Úloha: Vytvořte v programu GeoGebra kvadratickou funkci s předpisem \\[ f(x) =a{(x+m)}^{2}+m \\], kde\\[ a \\],\\[ m \\],\\[ n \\]. Zkoumejte, jak se mění graf kvadratické funkce v závislostech na parametrech\\[ a \\],\\[ m \\],\\[ n \\] speciálně pro nulové hodnoty.
Ukázka možného řešení v Geogebře:
Možné řešení. Autor díla: Veronika Procházková
Možné řešení. Autor díla: Veronika Procházková
Možné řešení. Autor díla: Veronika Procházková
Applet s posuvníky. Autor díla: Veronika Procházková
Pokud budeme měnit parametr\\[ a \\], parabola se bude uzavírat a otevírat; pokud budeme měnit parametr\\[ m \\], graf se bude posouvat ve směru osy\\[ x \\] proti znaménku; a pokud budeme měnit parametr \\[ n \\], graf se bude posouvat ve směru osy\\[ y \\] dle znaménka.
Před aktivitou doporučuji připomenout žákům tlačítko „důležité body“ a práci s posuvníky. Po skončení celé aktivity by žák měl být schopen určit z předpisu funkce, jak bude daná parabola vypadat. Doporučuji ponechat dostatek času k diskuzi ve dvojicích a poté aktivitu celkově shrnout u tabule. První aktivita je časově náročnější, je však možné, že ji někteří žáci stihnou rychleji – pro rychlejší žáky je připravena aktivita druhá. Jestliže druhou aktivitu žáci nestihnou, doporučuji využít výše zmíněný odkaz.
