Chceme zvyšovat úroveň vyučování matematice?

U nás se o těchto problémech vyučování matematice v odborných kruzích také diskutovalo. Již počátkem šedesátých let, kdy byly zavedeny nové osnovy a učebnice matematiky, bylo zřejmé, že se snížením náročnosti osnov a učebnic podcenily možnosti žáků. Ve Výzkumném ústavu pedagogickém se prováděla analýza obsahu vyučování a byl zahájen výzkum intenzifikace výchovně vzdělávacího procesu.

Ve dnech 5. a 6. listopadu 1964 uspořádala Jednota československých matematiků a fyziků (JČMF) a Pedagogický ústav J. A. Komenského při ČSAV informativní konferenci o modernizaci školské matematiky. Na této konferenci byly vymezeny i základní úkoly výzkumu vyučování matematice. Požadovalo se zkoumat „co je možné z učiva matematiky připravit již v nižších ročnících", usilovat o rozvoj schopnosti abstraktního a logického myšlení, vést žáky k správné formulaci problémů. Hlavním úkolem bylo nalézt „jednotící princip ve výuce matematiky", na němž by bylo možno žákům vysvětlovat jednotlivé poznatky. [1] V té době byl ve Výzkumném ústavu pedagogickém zahájen výzkum pod vedením Dr. J. Kabele, který měl být dokončen v roce 1968. Výzkum probíhal etapovitě a to: v  r.1964 první sondy, v  r. 1965/66 v 1., 2. a 7. ročníku (předběžně ve 3. ročníku), v  r. 1966/67 v 3., 4. a 8. ročníku [2]. V průběhu výzkumu se stále prohlubovala práce i v nižších ročnících tak, že v r. 1968 byly připraveny k širšímu ověření pracovní sešity a metodický text k vyučování matematice v 1. ročníku. Didaktický materiál, tj. metodické příručky, učebnice a pracovní sešity, byl vytvářen souběžně a postupně pro jednotlivé ročníky. Problémy, které se vyskytly při přípravě učebních materiálů, byly řešeny v úzké spolupráci s experimentálními školami např. tak, že se daná partie odučila v paralelních třídách různými způsoby. Vyučovací hodiny byly podrobně zapsány, popř. natočeny na magnetofon, a pak byl po konzultaci s učiteli zvolen některý z daných postupů. Takto ve velmi úzké spolupráci byly postupně vytvářeny další didaktické materiály.

Ze situace, která u nás byla v letech 1968 - 69, bylo zřejmé, že se ve stanovené době tj. v r. 1970 k zavádění nových osnov matematiky do praxe nepřistoupí. Tehdy dokonce hrozilo, že bude i veškerý výzkum vyučování matematice zastaven neboť „množiny jsou výmyslem kapitalistických vědců“. Ve výzkumu bylo možno pokračovat uvedeným směrem díky návštěvě profesora Markuševiče, který byl ministrem školství v tehdejším Sovětském svazu a pod jeho redakcí byly vydávány pokusné učebnice matematiky [3, 4, 5, 6]. Ten hodnotil naše pokusné učební materiály na ministerstvu školství velice kladně. Díky tomu bylo možno dotvářet koncepci vyučování matematiky. Při této práci, při zdůvodňování i obhajobě koncepce zpracované pod vedením Dr. Kabeleho se vycházelo i ze srovnávací studie a analýzy zahraničních učebnic. Kromě sovětských učebnic, učebnic NDR a dalších to byly do značné míry i francouzské pokusné osnovy a učební texty, které jsme získali díky osobní návštěvě N. Picard ve Výzkumném ústavu pedagogickém v Praze, která byla pracovnicí oddělení matematiky Národního pedagogického institutu v Paříži. (Byla manželkou francouzského partyzána, který bojoval na našem území a byl významným účastníkem Slovenského národního povstání.) Naše a její pokusné učební materiály si byly velice blízké. Byl to především obdobný přístup k využívání tzv. množinových diagramů – schémas, [7, 8, 9] využívání šipek k vyjadřování vztahu „je před“. Rozhovory s ní a materiály, které jsme od ní získali, byly velice inspirativní. Sešit „Machines I“ nás inspiroval k formě záznamů operátorů tzv. řetězy a šipkovými diagramy (obr. 1).

V roce 1965 analyzovalo vědecké kolegium matematiky ČSAV současné vzdělání z hlediska dalších perspektiv a došlo k závěru, že rozpor v pojetí školské matematiky a potřeb společnosti nelze odstranit naráz, a doporučilo tento problém řešit ve dvou etapách (viz. ČSAV, vědecké kolegium matematiky: Dopis ze dne 22. X. 1965 řediteli VÚP).

Úkolem první etapy (předpokládaná realizace na počátku 70 let) bylo vytvořit předpoklady k zásadním změnám struktury matematického učiva. Proto bylo doporučeno:

• Odstranit izolovanost složek školské matematiky i jednotlivých poznatků tím, že se učivo pojme důsledně na základě poznatků o množinách.
• Tradiční didaktický systém  dát do souladu se současným stavem teorie, seznamovat žáky s nejjednoduššími prvky logiky.  
• Prohloubit výchovu  k tvořivému myšlení, zvýšit náročnost učiva, zvýšit úroveň abstrakce a zobecňování, rozvíjet kombinační schopnosti žáků.
• Zvýraznit odborný jazyk a symboliku již od 1. ročníku.
• Zajistit jednotnou  koncepci přírodovědného a matematického vzdělání.
• Prohloubit výchovné  působení a modernizovat metody.  

Úkolem 2. etapy (předpokládaná realizace v letech 80) bylo připravit zásadní hlubokou změnu pojetí obsahu a metod vyučování matematice s ohledem na očekávaný rozvoj techniky a perspektivy matematiky. Vedoucím pracovištěm na úkolech této etapy byl Kabinet modernizace vyučování matematice.

Na úkolech první etapy se pracovalo ve Výzkumném ústavu pedagogickém. Byla zde připravena a zpracována anketa o obsahu vzdělání na základní devítileté škole [10]. Výsledků ankety bylo využito při zpracování obsahu nového pojetí vyučování matematice. O celkové charakteristice připravovaného pojetí vyučování matematiky a prvních výsledcích výzkumů informovali pracovníci VÚP účastníky mezinárodního semináře „Moderní pojetí základního všeobecného vzdělání" (22. – 25. 3. 1966). V matematicko-fyzikální sekci byly přijaty závěry, které byly východiskem k další práci [11]. V podstatě odpovídaly požadavkům vysloveným v  r. 1965 kolegiem ČSAV. Při tom zde bylo také požadováno: „ Při modernizaci vyučování využít všeho z  práce akademika E. Čecha, co může matematickou výuku obohatit.“ (viz např. Čísla a početní výkony, SNTL, Praha 1954).
Pozn. Pod patronací akademika E. Čecha byly zpracovány učebnice matematiky vydávané v padesátých letech, které znamenaly velký krok kupředu ve vyučování matematiky.

Na základě těchto závěrů a prováděných výzkumů bylo postupně vypracováno celkové pojetí vyučování matematiky na základní škole. Rámcově bylo objasněno v článku Nové pojetí matematiky a rýsování na ZDŠ [12], který byl zároveň výzvou k diskusi.

Obsah, hlavní myšlenky i některé výsledky základního výzkumu (2. etapa modernizace) byly publikovány v článku Hruša K.: O stavu a perspektivách modernizačního pokusu na národní škole [13] a v sérii článků z pracovní konference „O využití výsledků pokusného vyučování v  tradičním učivu“ (Samopše 23.- 25. 4. 1968). Na této konferenci se diskutovalo hlavně o tom, co je možno převzít ze základního výzkumu již do realizace 1. etapy modernizace vyučování matematiky [14].

Soustavně vyložil Dr. J. Kabele základní myšlenky pojetí vyučování matematiky zpracovaného ve VÚP v práci Nové pojetí počtů, matematiky a rýsování na ZDŠ [11] , kterou předložil v roce 1967/68 v rámci soutěže vyhlášené v  r. 1966 ministerstvem školství. Tato práce prošla rozsáhlou recenzí a diskusí odborné komise pro matematiku a rýsování při MŠ ČSR [15, 16]. Obsažnou zprávu o pojetí obsahu a návrhu učebního plánu a osnov matematiky pro 1. – 9. ročník pak projednalo vědecké kolegium ČSAV [17]. Po těchto jednáních byla práce Nové pojetí počtů, matematiky a rýsování na ZDŠ přijata jako výchozí materiál ke zpracování pokusných osnov a učebních textů k širokému ověření. Přitom se dále diskutovalo a zvažovaly se možnosti využití i výsledků základního výzkumu.

• Přístup k zavedení sčítání  a odčítání se v obou výzkumech v podstatě nelišil. Pod vlivem různých připomínek a požadavků zavést odčítání důsledněji jako inverzní operaci ke sčítání, bylo odčítání v pokusných textech [18] nakonec objasňováno pomocí řešení  rovnice 5 + €◊ =8. Tento přístup k objasnění odčítání působil na experimentálních  školách problémy, a proto bylo při dalších úpravách toto učivo zpracováno podle původního návrhu [19].
• Násobení a dělení bylo v původní koncepci VÚP zavedeno pomocí sjednocení několika stejně početných disjunktních množin a pomocí seřazení prvků tohoto sjednocení do stejně početných řad a sloupců. V základním výzkumu se důsledně vycházelo z kartézského součinu dvou množin. V diskusích se zvažovala všechna pro a proti obou přístupů. Nakonec byly ve VÚP metodicky zpracovány oba přístupy paralelně a v rozmnožené podobě předány experimentálním školám s tím, že si učitelé mají zvolit ten přístup, který považují za vhodnější. Učiteli byla jednoznačně přijata koncepce navrhovaná v základním výzkumu.
• V geometrii byl metodicky upraven obsah učiva 6. ročníku a rozložen do 1. – 6. ročníku. V původních pokusných textech byla geometrie zpracována jako geometrie rovinná. V průběhu výzkumu se však ukazovalo, že žáci chápou i rovinné geometrické útvary v prostoru. Např. v 1. i ve 3. ročníku žáci při řešení úkolu vyznačovat špejlemi trojúhelníky vymodelovali čtyřstěn. Ve 4. ročníku v úkolu jmenovat konvexní a nekonvexní geometrické útvary žáci uváděli trojrozměrné objekty. Např. jeden žák ukázal na strop na lampu a řekl: „Když myslím jen to sklo na lampě, tak to je nekonvexní útvar, ale když myslím všechno, i ten vzduch uvnitř, tak je ta lampa konvexní.“ Na základě těchto zkušeností z výzkumu a požadavku vysloveného v rámci diskuse, že je třeba žáky vést k tomu, aby si představovali i rovinné útvary v prostoru, bylo v učebních textech zpracováno učivo geometrie v trojrozměrném prostoru. 

Na základě výzkumu (v němž byly učební texty zatím jen cyklostylovány) a diskusí jak s vědeckými pracovišti tak s učiteli, byl v letech 1970 – 71 vypracován návrh pojetí a osnov matematiky [20]. Byly v něm využity i výsledky výzkumu zahájeného z podnětu JČMF Kabinetem pro modernizaci vyučování matematice při MÚ ČSAV. Tyto materiály projednala odborná komise pro národní školu Pedagogické rady ministerstva školství ČSSR a vyjadřovala se k ní pracovní skupina pro matematiku a odborná komise pro vyučování matematice na 2. stupni základní školy.

Pokusné učební texty (pracovní sešity, učebnice, metodické texty) zpracované podle uvedených osnov prošly velmi pečlivým recenzním řízením. Jedním z recenzentů učebních materiálů pro 1. ročník [18] byl prof. Hruša. Později se stal i spoluautorem pokusných učebních textů matematiky pro 2. ročník [21, 22, 23], protože v nich byla převzata koncepce násobení a dělení navrhovaná v základním výzkumu. Profesor Hruša měl v úmyslu podílet se na učebních textech i pro další ročníky, jeho smrt však úzkou spolupráci obou výzkumných pracovišť vážně narušila.

Pokusné učební texty byly ověřovány v širokém měřítku od r. 1971 na vzorku krajských experimentálních škol (asi 500 žáků v každém ročníku) a od r. 1972 na okresních experimentálních školách (asi 5 000 žáků v ročníku). Zpráva o ověřování těchto pokusných textů prošla dvojím oponentním řízením (r. 1975 - předběžná zpráva, 1976 – komplexní zpráva). [24]

Na základě výsledků ověřování pokusných učebních textů byly teprve zpracovány osnovy a učební texty, které byly v r. 1976 zavedeny do škol v rámci realizace projektu Dalšího rozvoje československé výchovně vzdělávací soustavy [27, 28]. V tomto projektu se počítalo se čtyřletým 1. stupněm základní školy. V průběhu ověřování i masového zavádění nových učebních osnov a učebnic byla publikována řada informativních článků i komplexních prací, v nichž byli čtenáři průběžně seznamováni, jak s celkovým pojetím vyučování matematice, tak s dílčími otázkami vyučování matematice v 1. – 4. ročníku ZŠ. Každý podnět a konstruktivní návrh na zkvalitnění didaktických materiálů byl pečlivě zvažován, a pokud to bylo možné, byl i realizován.

Již od konce padesátých let byla u nás věnována velká pozornost dalšímu vzdělávání učitelů. V okresech a krajích byly organizovány nejrůznější kurzy a semináře zaměřené na vzdělávání učitelů 1. stupně základní školy, jichž se učitelé aktivně zúčastňovali. V rámci těchto tendencí probíhaly ve Výzkumném ústavu pedagogickém semináře zaměřené na vyučování matematice, které tehdy vedl Dr. G. Kníže. Učitelé se seminářů zúčastňovali většinou z vlastní iniciativy. Na nich jsme také postupně informovali učitele o přípravách i průběhu výzkumu modernizace vyučování matematice. Od té doby se také zvýšil zájem učitelů o tyto semináře a mnozí z nich uplatňovali ve své pedagogické práci to, co se na seminářích dověděli. Tak se spontánně dostávaly do praxe některé ideje nového pojetí vyučování matematice.

Při přípravě realizace projektu Dalšího rozvoje československé výchovně vzdělávací soustavy se ukázala potřeba učitele na tuto změnu dobře připravit. Ministerstvo školství proto zavedlo počínaje školním rokem 1969/70 dvouleté studijní cykly matematiky (asi 80 hodin) pro učitele 1. až 4. ročníku. Ke studiu byly vydány i učební texty pro učitele, které připravil prof. K. Hruša a doc. J Kittler [25, 26].

Přes snahu autorů napsat co nejpopulárnější výklad se stalo, že vydané učební texty byly pro většinu učitelů příliš obtížné a postupně se projevovala nutnost tyto texty doplnit ukázkami metodického zpracování učiva popř. přímo pokusnými učebními texty. Tyto materiály zaujaly celou řadu učitelů natolik, že z vlastní iniciativy, neoficiálně začali vyučovat podle pokusných učebních textů a někteří dokázali získat i rodiče žáků natolik, že rozmnožili na vlastní náklady materiály i pro žáky (hlavně pracovní sešity). Tak se kromě učitelů experimentálních škol zapojili do ověřování pokusných učebních textů další učitelé.

Studijní cykly matematiky probíhaly o víkendech a o prázdninách. Někteří učitelé se díky aktivnímu zapojení do zpracování učebních materiálů stali recenzenty i spoluautory učebních materiálů. Příprava a zavádění nového pojetí vyučování matematiky si tak vyžádala velkou obětavost a pracovní nasazení odborných pracovníků, lektorů i učitelů. Učitelé se do této přípravy zapojili tvůrčím způsobem, např. na Hradecku se podíleli na ilustracích pokusných pracovních sešitů pro 1. ročník, jiní navrhovali nejrůznější pomůcky, např. polystyrénové aplikace pro magnetickou tabuli, krychličkové počitadlo apod. Díky tomuto velkému úsilí se v rámci realizace projektu Dalšího rozvoje československé výchovně vzdělávací soustavy podařilo zavést do všech škol v ČSSR modernizované vyučování matematice. V počátcích realizace nového pojetí vyučování matematice byly dobrými pomocníky učitelů programy v televizi a rozhlase.

Na závěr shrneme změny ve vyučování matematiky, ke kterým tak došlo:

• Při vyučování matematiky byly používány kromě učebnice i pracovní sešity. Díky jim se zvýšil podíl samostatné práce žáků ve vyučovacích hodinách a zvýšila se efektivnost vyučovacích hodin, neboť se      ušetřilo hodně času tím, že žáci nemuseli opisovat příklady a zadání úloh.     
• Systematicky se rozvíjela názornost při vyučování matematiky tak, že se při matematizaci přecházelo od praktických činností (manipulace s různými knoflíky, destičkami geometrických tvarů opatřených magnety – školy byly vybaveny žákovskými magnetickými tabulkami, aplikacemi pro demonstrační magnetickou tabuli ve tvarech různého ovoce, zeleniny), přes obrázky konkrétních situací, až k různým abstraktnějším modelům - schématům, množinovým diagramům a grafům. To příznivě ovlivnilo jak rozvoj logického myšlení žáků, tak i schopnost vyšší úrovně abstrakce. Žáci tak měli možnost pomocí různých znázornění - schémat odpovídat na otázku „proč“, mohli zdůvodňovat pravdivost svých tvrzení. Tak se např. při jedné hospitaci pracovníka Výzkumného ústavu pedagogického stalo, že na závěr hodiny, kdy žáci 1. ročníku vypočítali, že 4 + 7 = 11, žákům tvrdil: „To je špatně, 7+ 4 =12.“ Žáci se chvíli rozmýšleli a tvrdili, že 7 + 4 není 12, a když se návštěva nenechala přesvědčit, běželi k tabuli a nakreslili diagram sjednocení množiny sedmi čárek a množiny čtyř čárek (obr.2), spočítali všechny čárky po jedné  a doplnili číslo 11. Když se návštěva  nenechala přesvědčit a při počítání po jedné tvrdila, že je to dvanáct, tak se již žáci opravdu rozzlobili a volali: „Neumíte počítat ani po jedné, jednu čárku jste počítal dvakrát.“ Pak se spontánně dožadovali ještě dalších a dalších takových diskusí.

• Učivo matematiky bylo pojato na základě poznatků o množinách a ke znázorňování sčítání, odčítání, násobení a dělení se využívalo tzv. množinových diagramů. Těch se využívalo i při matematizaci různých aplikačních úloh.
• Číslo  0 bylo zavedeno od 1. ročníku jako počet prvků prázdné množiny.
• Při poznávání čísel byla od 1. ročníku věnována větší pozornost  nerovnostem a příslušným znakům =, <, >, ≠. Žáci zapisovali  jak rovnosti, např. 3 = 3, tak nerovnosti, jako 3 < 5, 5 > 3,  ale i 5 ≠ 3.
• Násobení  a dělení v oboru násobilek bylo opět rozloženo do 2. a 3. ročníku,  obdobně jako tomu bylo v učebnicích z padesátých let.
• Žáci se soustavně učili pracovat s číselnou osou. Nejdříve to byla řada čísel a poté, co se seznámili s polopřímkou, poznali i  poloosu přirozených čísel a učili se ji i využívat při řešení nerovnic  typu a < 98, 45 < n < 74 a později i při ilustraci početních výkonů.
• Inverzní   početní výkony byly objasňovány ve vzájemných souvislostech. Potom, co se žáci seznámili se sčítáním a pak odčítáním, sestavovali k témuž konkrétnímu obrázku nebo množinovému diagramu všechny čtyři znázorněné příklady sčítání a odčítání a obdobně i násobení a dělení (obr.  3, 4). Tento postup a to, že se učili k danému příkladu sestavit zbývající tři (jeden) odpovídající příklady, usnadňovalo žákům pamětné osvojení základních příkladů sčítání a odčítání i násobení a dělení. Vždyť je i mezi dospělými dost těch, kterým se při úkolu, kolik je např. 56 : 7 automaticky vybaví 8 × 7 = 56, proto je to 8. To pomáhalo často i bystrým žákům, kteří měli špatnou mechanickou paměť. Tak se také zkrátil čas potřebný k osvojení příkladů sčítání a odčítání, násobení a dělení, což umožnilo zařadit do výuky více látky, např. učivo geometrie.

• Sestavování čtveřic příkladů pomohlo žákům pochopit vztahy mezi inverzními početními výkony, a tak bylo možno žáky vést od počátku k řešení jednoduchých rovnic typu n + 3 = 12, 6 × x = 18 na základě vlastností inverzních početních výkonů, což dále umožnilo zobecňovat postupy výpočtů obvodů a obsahů pravoúhelníků pomocí vzorců.   
• Nové pojetí přijala většina učitelů kladně. Ředitel málotřídní školy v Zahrádkách na Českolipsku mi před odchodem do důchodu ze zdravotních důvodů v dopise ze dne 24. června 1977 napsal: “Jako spoluautorce nové učebnice pro 1. ročník bych Vám chtěl tímto způsobem pogratulovat, jelikož tak pěkně zpracovaná učebnice se mi za celých 32 roků nedostala do ruky. Dětem se pěkně a samostatně po celý školní rok pracovalo a všech 10 dětí dnes pěkně počítá s přechodem i bez přechodu přes desítku, umějí řešit rovnice i nerovnice, podle obrázků dovedou sestavit 3 slovní úlohy, zkrátka práce se mi podařila.“ Zval mě, abych se o tom přijela osobně přesvědčit. Do konce června jsem to bohužel nestihla a v následujícím školním roce na škole již nebyl, ale i v jeho nepřítomnosti jsem se přesvědčila, že o svých žácích mluvil pravdu.
• Od 1. ročníku se žáci učili pracovat s písmeny jako znaky proměnné např. 8 > n nebo později doplňovali tabulky, např. obr.5. 

• Od nejnižších ročníků byla věnována soustavná pozornost přípravě pojmu funkce, i když se s definicí tohoto pojmu žáci seznamovali až v nejvyšších ročnících základní školy. U žáků se vytvářely zkušenosti s tímto pojmem, aniž by se užívala příslušná terminologie proto, aby tento velmi abstraktní pojem dobře pochopili, aby v něm viděli určitým způsobem zjednodušené vyjádření proměnlivosti a dynamičnosti reálného světa. 
• Žáci se učili k téže reálné situaci formulovat tři navzájem související úlohy. Např. ve  2. ročníku se řešila úloha: 1. Tatínek pěstoval ve skleníku ředkvičky. Děti 6 ředkviček vytáhly a snědly. Ve skleníku zůstalo 93 ředkviček. Kolik ředkviček vyrostlo ve skleníku? Formulovat obrácené úlohy pak obvykle bývalo úkolem žáků s tím, že bylo stanoveno, k čemu se má vztahovat otázka, tedy: 2. Tatínek vypěstoval ve skleníku 99 ředkviček. Děti několik ředkviček vytáhly a snědly. Ve skleníku zůstalo 93 ředkviček. Kolik ředkviček děti snědly? 3. Tatínek vypěstoval ve skleníku 99 ředkviček. Děti 6 ředkviček vytáhly a snědly. Kolik ředkviček zůstalo ve skleníku? Tak se žáci učili úlohy nejen řešit, ale i formulovat. Zároveň tak byl vyřešen i problém tzv. úloh nepřímých, tj. takových úloh, v nichž se něco ubralo (snědly se ředkvičky) a úloha se neřeší odčítáním, k čemuž kdysi žáci spontánně směřovali, protože se jim odčítání objasňovalo pomocí ubírání a sčítání pomocí přidávání. 
• Při řešení úloh se žáci učili vybírat z textu úlohy potřebné údaje a doplňovat, popř. zapisovat stručný záznam úlohy.
• Od 2. ročníku byla soustavně vyučována geometrie, a to geometrie v trojrozměrném prostoru. 

Největším přínosem modernizace vyučování matematiky bylo, že žáci získali zájem o matematiku a že se matematika stala nejoblíbenějším předmětem od první až do šesté třídy (viz O matematice převážně vážně, M. Střída, Rudé Právo, 29. 3. 1982), což s potěšením konstatovali i mnozí rodiče. Tak nakonec ani rodičovská veřejnost neměla zásadní námitky. Rodiče měli však problémy s delší absencí svých dětí ve škole, jestliže bylo v takovém případě potřeba s dětmi doma dodělávat úkoly. Byl to především 1. ročník, kde nebyly úkoly zadávány psaným textem vzhledem ke čtenářské úrovni žáků, a protože neměli k dispozici metodické texty, nedokázali děti vést a úkol formulovat. Byly to někdy až úsměvné příhody vyplývající z nedorozumění, které někteří rodiče se svými dětmi prožili a kdy si nevěděli rady, jak dětem problém objasnit jako např. jedna žákyně 1. ročníku přišla domů smutná se slzami v očích s tím, že “dostala trojku přesto, že úkol splnila úplně přesně“. Měli za úkol na obrázku vyznačit množinu srnek a množinu jelenů. Protože byl na obrázku jelen pouze jeden, tak obtáhla obrys obrázku jelena a napsala k němu číslo 1.“ No přeci proto, aby tam nemohl nikdo nic přikreslit.“        

V letech 1980 a 1981 byla věnována soustavná pozornost připomínkám učitelů i rodičů v časopise Komenský od 10. čísla roč. 105 a v Učitelských novinách. Je samozřejmé, že se vyskytovaly nejrůznější připomínky ať již oprávněné nebo neoprávněné. Z řad učitelů to byly většinou různé návrhy na drobné úpravy metodického zpracování, návrhy vlastních pomůcek a požadavky na úpravu časových dotací věnovaných jednotlivým tématům. Rodiče měli nejčastěji výhrady k terminologii. Byl to např. vztah podmnožina množiny, který někteří rodiče a děti chápali ve smyslu předložky popř. předpony pod, tj. např. podložka, podstavec, a ne ve smyslu inkluze, termín konvexní – nekonvexní geometrický útvar, konvexní – nekonvexní úhel, který se jim zdál pro žáky 4. ročníku nepřijatelný.

Při realizaci nového pojetí vyučování matematiky se začaly projevovat problémy při přechodu žáků na 2. stupeň základní školy. Především se ukázalo, že se podcenila příprava učitelů matematiky na 2. stupni, kteří nebyli připraveni na to, že k nim přicházejí žáci o rok mladší, než na jaké byli zvyklí. Ti také byli zvyklí pracovat s pracovními sešity, kdežto na 2. stupni se již s pracovními sešity nepočítalo. Proto bylo také později rozhodnuto, že ve 4. ročníku žáci již nebudou mít k dispozici dva pracovní sešity, ale pouze jeden, a jeden pracovní sešit bude vypracován pro 5. ročník. V té době také odešel Dr. J. Kabele do důchodu. Tak se stalo, že nebyla dobře zajištěna návaznost v učebnicích matematiky pro 2. stupeň ZŠ na učebnice v nižších ročnících.

Snaha podchytit nadané žáky a dále je rozvíjet, vedla k zakládání víceletých gymnázií, kam přecházeli žáci po pátém ročníku základní školy. To znamenalo, že žáci procházeli jednou změnou při přechodu ze 4. do 5. ročníku na 2. stupeň základní školy a ti, kteří přecházeli po jednom dalším školním roce na gymnázium, procházeli další změnou. Proto byl 1. stupeň základní školy znovu prodloužen ze čtyř na pět let.

Tak, jak se v padesátých letech šířila vlna modernizace vyučování matematiky, začala se v koncem sedmdesátých let šířit vlna antimodernizační pod heslem Back to basics, kdy se odmítala teorie a prosazoval se prakticizmus. Prof. Hilton již v r. 1975 ve své přednášce v Praze vycházel ze zkušeností s modernizací vyučování matematiky a antimodernizačními tendencemi v USA a varoval před nebezpečím hrozícím z „ protireformace“. Upozorňoval na to, že „pohnutky protireformátorů nejsou vždy čisté“ a mimo jiné řekl: „Nelze však ani v nejmenším dopustit, aby se různé omyly staly záminkou k popření a opuštění významného pokroku, kterého se v tvorbě osnov za posledních dvacet let dosáhlo".

S antimodernizačními tendencemi u nás vystoupil  r. 1978 na své přednášce na matematicko fyzikální fakultě profesor Freudenthal. Ten svou přednášku zahájil patetickým „Žádné množiny, žádná logika do školské matematiky, ale pouze staré dobré počty“. V diskusi se pak ukázalo, že pracuje na osnovách a výzkumu obsahu vyučování matematiky na školách v dělnických čtvrtích, tj. nepočítá se s tím, že by žáci těchto škol pokračovali ve studiu, ale připravují se pro dělnická povolání.

Postoje některých našich matematiků a části veřejnosti k modernizaci vyučování matematiky byly bezpochyby ovlivněny touto antimodernizační tendencí ze zahraničí a zvláště pak to byl SSSR, kde proběhla diskuse vyvolaná dopisem akademika Pontrjagina a kde nejen, že nebylo zavedeno pojetí vyučování matematiky prosazované profesorem Markuševičem, ale i z učebnic pro vyšší ročníky bylo učivo o množinách vypuštěno, na což se mnozí odpůrci nového pojetí vyučování matematice odvolávali (viz např. čas. Komenský r. 1990, č. 9, str. 541). Byly to všechno výhrady, které byly v rozporu s objektivně zjišťovanými výsledky realizace nového pojetí vyučování matematiky v 1. – 4. ročníku základní školy (viz Učitelské noviny ze dne 16. 4. 1981) i s původními požadavky na modernizaci vyučování matematiky stanovenými kolegiem matematiky při ČSAV. Tak místo toho, aby se pracovalo na druhé etapě modernizace vyučování matematiky, jak se původně předpokládalo, byla nastartována cesta „Zpět k základům“.           

Je až paradoxní, že se po sametové revoluci u nás začalo klást rovnítko mezi množiny a totalitu. Tvrdilo se, že „množinová matematika“ byla zavedena do škol mocensky. Tak, jak se volalo Pryč s totalitou, začalo se volat i pryč s množinami (viz např. Rudé Právo 16. 4. 1991).

Tak se shodou nejrůznějších nepříznivých okolností stalo, že z učebnic matematiky vymizely nejen názorné poznatky o množinách, ale i celá řada dalších důležitých poznatků a způsobů zpracování učiva.          

Pravdou je, že díky těsné spolupráci odborníků matematiků, pedagogů a učitelů z praxe byla „množinová matematika“ zpracována natolik dobře, že žáci, kteří se učili podle těchto učebních materiálů byli úspěšní v mezinárodních srovnávacích testech a umísťovali se na předních místech.

V učebních materiálech vydávaných od devadesátých let do současné doby se do značné míry projevují tendence „zpět k základům“. Bylo v nich upuštěno nejen od množinového přístupu, ale i od celé řady dalších stránek metodického zpracování učiva matematiky na 1. stupni základní školy, což má svůj podíl na klesající úrovni výsledků vyučování matematiky, projevující se i v mezinárodních srovnávacích testech.

Snad by stálo za to, kdyby se odborníci i učitelé pokusili navázat na tu nitku z minulosti, která vedla k dobrým výsledkům a spřádali ji dál. Mezi nimi je i dost těch, kteří prošli „množinovou matematikou“ jako žáci a mohli by tak přispět svými zkušenostmi i ze zažitého žákovského pohledu.

Pokusila jsem se využít svých zkušeností z minulosti a zpracovala jsem učební materiály k vyučování matematiky (Prvňáci a matematika, Druháci a matematika, Třeťáci a matematika, Čtvrťáci a matematika), které jsou postupně vydávány na Metodickém portálu RVP.CZ. Bylo by ideální, kdyby se do této práce zapojili i učitelé, popř. další odborníci jak svými připomínkami, tak podílem na jejich zpracování. Byla by to cesta, která by díky vyspělé technice (počítače, internet) mohla bez velkých problémů přispět ke zvýšení úrovně vyučování matematiky.

Dále je třeba si ujasnit, jak by měly vypadat učební materiály tj. učebnice, pracovní sešity (listy), metodiky pro učitele, popř. prezentace. Při tom je potřeba zvažovat, zda tyto materiály mají být tištěné nebo zda mají být v elektronické podobě.

Mají-li se žáci naučit se učit, potřebují k tomu přehledné učebnice, tak aby měli kdykoli možnost se podívat na učivo, které si potřebují zopakovat nebo se je sami naučit, protože nebyli ve škole při jeho objasňování.

Pracovní sešity se osvědčily. Je však třeba je chápat jako spotřební materiál, proto by měly být co nejlevnější a rozhodně stačí, budou-li černobílé tak, aby v nich vynikla práce žáka, a aby žák měl možnost si obrázky a schémata vybarvovat.

Metodický průvodce ke konkrétním učebnicím a pracovním sešitům usnadní práci učitelům, při čemž je nesvazuje. Učitelé také potřebují obecné metodiky předmětu, v nichž by se seznamovali s různými možnými přístupy k objasňování daného učiva.

Prezentace - promítání na tabuli bezpochyby vyučování obohatí, může podpořit i zájem žáků o matematiku a učiteli umožní předvést na tabuli i to, co by jen s křídou nemohl.

Dále je třeba uvažovat i o různých pomůckách jak žákovských, tak demonstračních, popř. dalších doplňkových materiálech.

Literatura

[1] Knichal V.: Cíle modernizace výuky matematiky z hlediska pokroku v matematice a z hlediska matematických aplikací. Matematika ve škole, r. XV., SPN, 1964/65

[2] Dr. Jiří Kabele, Dr. Gustav Kníže: Zpráva o výzkumu Modernizace vyučování matematice na ZDŠ v letech 1965/66 – 16/68, Výzkumný ústav pedagogický Praha 1969, str.77

[3] K.I.Něškov, A.M. Pyškalo: Matematika v načalnych klassach, časť I, Pod redakciej  prof. A.I. Markuševiča, Izdatělstvo Prosvěščenije, Moskva 1968, str. 190

[4] JU.N. Makaryčev, K.I. Něškov: Matematika v načalnych klassach, časť II, Pod redakciej prof. A.I. Markuševiča, Izdatělstvo Pedagogika , Moskva 1970, str. 167

[5] JU.N. Makaryčev, K.I. Něškov, A.M. Pyškalo: Matematika v načalnych klassach, časť III, Pod redakciej prof. A.I. Markuševiča, Izdatělstvo Pedagogika , Moskva 1971, str. 159

[6] Janků M.: Pokusná učebnice matematiky pro 1. ročník v SSSR. Matematika ve škole, 20, 1969/70, č.4, s. 152

[7] Nicole Picard: A la conquéte du nombre SCHÉMAS I, O.C.D.L. Paris 1967,   str. 48

[8] Janků M.: Učební texty k novým osnovám matematiky v 1. třídě francouzských pokusných škol. Matematika ve škole , 20, 1969/70. č. 5, s. 190

[9] Janků M.: Nové osnovy matematiky na francouzské národní škole. Matematika a fyzika ve škole. 2. 1971, č. 2, s. 86.

[10] Kabele J.: Anketa o obsahu vzdělání na ZDŠ, Matematika ve škole, 16, 1965/66, č. 7,      s. 404

[11] RNDr. Jiří Kabele.: Nové pojetí počtů, matematiky a rýsování na ZDŠ, Výzkumný ústav pedagogický, Praha 1967, str. 232

[12] Kabele J.: Nové pojetí matematiky a rýsování na ZDŠ, Matematika ve škole, r. XVIII, č. 10, SPN 1967/68

[13] Hruša K.: O stavu a perspektivách modernizačního pokusu na národní škole, Matematika ve škole r. XVI, SPN 1965/66

[14] Hruša K.: Zpráva o dosavadním průběhu pokusu a příslušná doporučení, Matematika ve škole, r. XIX, č. 2, SPN 1968/69

[15] Dušek F.: K návrhu nového pojetí matematiky a rýsování na ZDŠ, Matematika ve škole, XIX, SPN, 1968/69

[16] Dušek F.: Roční bilance příprav k modernizaci na ZDŠ, Matematika ve škole, r. XX, SPN 1969/70

[17] Novák J.: Výuka matematiky v nejbližších letech, Matematika ve škole , r. XIX, SPN Praha 1968/69

[18] Jiří Kabele, Marie Janků: Matematika pro 1.ročník základní devítileté školy.   Pokusná učebnice, I. část, Státní pedagogické nakladatelství, n.p., 1972 str.45

[19] Jiří Kabele, Marie Janků: Matematika pro 1.ročník ZŠ, I. část, Státní pedagogické nakladatelství, n.p., 1976, str.62

[20] Pojetí výchovy a vzdělávání dětí na 1. stupni školy ve čtyřech ročnících, MŠ ČSR, 1972, díl 1,2.

[21] Jiří Kabele, Marie Janků, Karel Hruša: Matematika pro 2. ročník základní devítileté školy. Pokusný učební text pro žáky, I. část, II. Část, III. Část str. 182, Státní pedagogické nakladatelství, Praha, 1973  

[22] Jiří Kabele, Marie Janků, Karel Hruša: Matematika pro 2. ročník základní devítileté školy. Pokusná učebnice str. 72, Státní pedagogické nakladatelství, Praha, 1973  

[23] Jiří Kabele, Marie Janků, Karel Hruša: Metodický text pro učitele k učebnici matematiky pro 2. ročník ZDŠ, pokusný text, Státní pedagogické nakladatelství, Praha, 1973 str. 228

[24] Marie Janků, RNDr. Jiří Kabele: Nové pojetí vyučování matematice na I. stupni základní školy, Zprávy Výzkumného ústavu pedagogického 36, Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1978, str.123

[25] prof. Dr. Karel Hruša: Základy moderní matematiky pro učitele 1. – 5. ročníku ZDŠ, I. Díl, Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1969, str.160

[26] Prof. Dr. Karel Hruša, doc. Dr. Josef Kittler: Základy moderní matematiky pro učitele 1. – 5. ročníku ZDŠ, II. Díl, vydání 2. Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1972, str.224).

[27,28] Ministerstvo školství České socialistické republiky, Ministerstvo školství Slovenské socialistické republiky: Další rozvoj československé výchovně vzdělávací soustavy, Projekt a důvodová zpráva str.62, Dílčí projekty str. 112, Státní pedagogické nakladatelství Praha 1976.