Využití Wolfram|Alpha v gymnaziální výuce matematiky

Asi největší a nejpropracovanější možnosti ale nabízí matematická funkcionalita tohoto systému. Ostatně za jeho vývojem stojí společnost, která produkuje jeden z nejlepších a nejznámějších matematických programů Mathematica. V následujícím příspěvku se proto pokusíme naznačit základní přehled funkcí a seznámíme se i se syntaxí a sémantikou. Wolfram|Alpha lze totiž poměrně efektivně využívat jak pro osobní výpočty, tak pro výuku.

Wolfram|Alpha nenabízí jen provedení výpočtu, ale také dodá velké množství zajímavých informací, které se dané matematické operace týkají. Pokud budete například integrovat, tak se mimo výsledku dozvíte také jak vypadá graf výsledné funkce (pokud je výsledkem integrálu funkce), rozložení výsledku do řady, významné dosazení mezí nebo alternativní možnosti výsledku – například nahrazení goniometrických funkcí exponencielami atp.

Výpočty se s náročností zadaných operací zpomalují, ale pro běžné gymnasiální, ale i základní univerzitní využití se nejedná o nic závažného. Nepříjemnou novinkou je omezený čas na výpočty, takže již nelze Wolfram|Alpha využívat na počítaní velmi složitých úloh. Pokud byste takové úlohy potřebovali řešit, je nutné využít užít nějaký instalovaný CAS (Computer Algebra systém).

Matematické operace

Tím, bez čeho se především v počátcích neobejdete je seznam příkladů toho, co umí aplikace spočítat či vyhledat. Nejde jen o prostý výčet, ale o praktické ukázky, které jsou důležité také pro zjištění sémantiky a syntaxe daných úkonů. U matematických operací navíc uživatelé jistě ocení možnost vyexportovat stránku do PDF či LaTeXu. Lze tak například pro studenty poměrně snadno sestavit jednoduchou ilustrovanou učebnici, která se bude týkat například tvaru některých vybraných funkcí.

Syntaxe je poměrně jednoduchá; u většiny operací stačí zadat název operace v angličtině a požadovaná data. Komplikace nastávají snad jen v případech, kdy není z logiky čistého rozumu jasné, zda závorkovat nebo čárkovat. I přesto doporučuji si projít výše uvedené příklady. Nyní si projdeme některé základní okruhy, u kterých uvedeme vždy nějaký konkrétní příklad a přehled funkcí.

Elementární matematika

Zde asi není potřeba nijak zdůrazňovat, že Wolfram|Alpha si bez potíží poradí se základními aritmetickými operacemi a že jej lze užít i jako obyčejnou kalkulačku. Příklad sčítání, odčítání, násobení a dělení je zcela triviální:

`(6+3+2*(2+3*2-1))/e`

Samozřejmě si ale poradí také se zlomky, které automaticky převádí na základní tvar zlomeku, pakliže je to možné. Bez potíží počítá s konstantami a poradí si se substitucemi. U výsledků s nekonečným desetinným rozvojem (jako je náš příklad) nabízí jak aproximativní odhad (na stovky desetinných míst) nebo rozvoj přibližného výsledku do řady (např. Taylorův rozvoj) atp. Tato paleta možností může být jistě využita i při výuce, ve chvíli, kdy bude řeč o aproximacích a přibližných metodách řešení.

Práce s čísly

Ve školním prostředí je poměrně obtížně nějak zajímavě uvést vůbec význam čísel a číselných soustav a toto téma se obecně velice často přechází téměř nedotknuté. Zde může být Wolfram|Alpha poměrně dobrým pomocníkem. Mimo převody mezi číselnými soustavami umožňuje také nahradit čísla ve výpočtech slovními výrazy v angličtině (pěkná ilustrace toho jak čísla usnadňují výpočty i zápis), nabízí i zajímavou možnost ukázat čísla v různých starých číselných soustavách – mimo klasických arabských a římských číslic, můžete ukázat jak vypadala čísla v Řecku, Babylonii u Mayů nebo Japonců. Zajímavou úlohou může také být naučit studenty počítat základní operace také v některé z těchto „cizokrajných“ číselných soustavách.

Jako příklad uvádíme převod čísla 36 do mayského číselného systému.

Vykreslování grafů funkcí

Další zajímavou funkcionalitou je možnost vykreslování grafů funkcí. Výhodou je, že můžete pracovat s kartézskými i polárními souřadnicemi, kreslit parametricky zadané objekty nebo tvořit 3D grafy. Aplikace si poradí i s nerovnicemi. Pro jednoduché účely tak lze Wolfram|Alpha doporučit i místo specializovaných nástrojů jako je gnuplot či KmPlot. Jako ukázku nabízíme vykreslení funkce zadané parametricky pomocí dvou rovnic:

`x = sin t *cos^3 t`

`y= sin^3 t/6`

Derivování, integrování

Wolfram|Alpha si bez potíží poradí také s integrováním a derivováním. Jak v případě zadaných mezí, tak i v obecném případě. K dispozici je poměrně bohatá databáze tabulkových integrálů, což zvyšuje použitelnost systému. K provedené operaci opět nechybí balík informací navíc. Jako příklad je možné uvést dvojný integrál: `intint sin x dx dx`.

Další funkce

Tím výčet funkcí samozřejmě nekončí. Wolfram|Alpha je komplexní výpočetní nástroj, který zvládne i základní prokládání dat, statistické operace nebo kombinatoriku. Bez zajímavosti není ani práce s maticemi či řešení soustav rovnic. Přehled všech potřebných funkcí je možné najít v seznam jednotlivých příkladů.

Na závěr bych si dovolil upozornit na podporu partií informatiky, které bývají často na střední škole zcela vynechávány, a které s matematikou bezprostředně souvisejí. Především se jedná o funkcionální programování.

Funkcionální programovací paradigma umožní studentům získat zcela nový pohled na definice funkcí, schopnost lépe pracovat s nekonečnými datovými strukturami a mnoho dalšího. I když jeho běžné využití je poměrně malé, právě kvůli rozvoji matematického myšlení ho lze doporučit do výběrových seminářů. Pokud chcete ale studentům jen naznačit možnosti tohoto programovacího přístupu, je možné jako interpret příkazů užít právě Wolfram|Alpha. Jako inspiraci pro jednotlivé příklady z funkcionální programování je možné sáhnout po některých úlohách z Korespondenčního semináře z programování nebo po českém webu věnovaném přímo výuce Haskellu, který je ve výuce přímo dobře použitelný.

Celkový dojem s aplikace je vesměs pozitivní. Nabízí poměrně zajímavé možnosti pro výuku i výpočty a jistě nalezne uplatnění nejen v hodinách matematiky, ale také zeměpisu, ekonomické gramotnosti, dějepisu a dalších. Velkou výhodou oproti instalovaným CAS je online přístup odkudkoli, zdarma a jednoduše.

Oproti nim je ale hlavní výhodou pro školské využití právě komplexní přístup k informacím – téměř nikdy se nedozvíte jen výsledek, ale uvidíte i grafické znázornění, rozvinutí do řad či alternativní formy výsledků, což umožní studentům vidět matematické operace v širším kontextu a navíc ve vizuálně zajímavé formě. Export do LaTeX či PDF dává vyučujícím možnost snadného komponování i tématicky poměrně úzkých učebnic s designem, který bude studenty více přitahovat než odpuzovat.

Dalším příkladem využití aplikace může být výpočet příkladu krok po kroku – zde bude potřebný drobný zásah učitele, aby do materiálů nezařadil napřed výsledek a až po něm řešení. Aplikace umí rozepsat postup výpočtu řady příkladů tak, jako by jí měli řešit studenti – od algebraických úprav po název užité metody. Ke každému kroku je k dispozici také krátký komentář. Můžete tak například promítat postupně řešení nějakého příkladu, zatímco jej studenti sami počítají nebo na tuto aplikaci můžete upozornit ve chvíli, kdy potřebují studenti užít matematického aparátu na příklad ve fyzice a ještě se nejedná o probranou látku v matematice.

Možností je samozřejmě více a některé z nich si můžete prohlédnout některá videa, které se zabývají konkrétními možnostmi výuky za pomocí Wolfram|Alpha. Naleznete na nich jak praktické podměty pro výuku, tak také obecnější úvahy a podměty.

Učitelé jistě ocení také diskusní fórum, které je určené právě pro ně, a které nabízí řadu praktických podmětů pro výuku, případně web věnovaný učitelům, kteří se rozhodnou používat tuto aplikaci ve výuce. Na něm naleznete řadu připravených materiálů, které možné přímo požít (obvykle po překladu do češtiny). Právě ty jsou pěkným příkladem toho, jak by měla výuka s Wolfram|Alpha vypadat. Na počátku je obvykle naznačen problém a odkaz na starší související látku. Následuje řada ukázek ve Wolfram|Alpha na dané téma, shrnující teorie, příklady k procvičení a odkaz na animace na webu.

Konkrétním příkladem, jak by mohl takový materiál vypadat, je například část tématu Algebra I, která zavádí studenty k problematice práce s exponenty. Na začátku je popsaná motivace, uvedené příklady včetně výpočtu ve Wolfram|Alpha, zavedené příklady, ukázky grafů atp. Na základě pokusů s výpočty je zde snaha o formování pravidel pro práci s exponenty a krátce vyložená teorie. Na konci nalezneme krátké shrnutí a odkazy na online aplikace sloužící pro demonstraci jevů, u kterých se daná matematická dovednost používá.

Jistě je otázkou, zda by tak měla vypadat každá hodina matematiky, ale jako zajímavý doplněk je to jistě krok správným směrem. Ostatně již jen získaná schopnost používat CAS je něčím, co studenti pro další studium i praxi jistě ocení.