wxMaxima a její využití v gymnaziální výuce

CAS (Computer algebra system) jsou programy, které umožňují provádět nejrůznější algebraické (ale nejen ty) početní operace a to na velmi vysoké úrovni. Samozřejmostí je schopnost symbolických výpočtů, podpora numerických řešení nebo práce s grafy. Tyto nástroje se postupně staly všedním pomocníkem jak matematiků, tak také fyziků či informatiků, kteří s jejich pomocí dokáží velmi efektivně a rychle řešit velké množství úloh, které by jim jinak zabraly množství hodin nebo dní.

Pro většinu lidí je také potěšitelný kvalitní grafický výstup, který je možné téměř hned přenést do publikovatelné podoby. Asi nejznámějším zástupcem těchto programů je Maple, který je svými možnostmi pro školní prostředí nedostižný, ale mimo něj existuje řada alternativních aplikací, které zvládnou podobné úkoly a jsou k dispozici zdarma. Jedním z nich je také dvojice Maxima a wxMaxima, kterým bychom věnovali větší pozornost v druhé části článku.

Když se o těchto nástrojích mluví, je učitelská veřejnost rozdělena na dva nesmiřitelné tábory. První představuje odpůrce CAS ve výuce a argumentuje tím, že hlavní přínos matematiky na středních školách není jen v získání schopností vyřešit určité příklady, ale především v rozvoji určitého myšlení, které je silně racionální, abstraktní a do jisté míry konzistentní. Pokud je výuka vedena kvalitně, jsou matematické teorie budovány jako promyšlený systém úvah a jejich osvojení žáky má velkou cenu. Tito lidé upozorňují na to, že nasazení CAS do jisté míry sníží motivaci žáků k této pracné a soustavné činnosti, protože se k výsledkům dostanou rychle, snadno a bez námahy a čas věnovaný CAS by bylo možné dát na více matematická témata.

Druhá část učitelů (a ze svých účastí na různých konferencích odhaduji, že se jedná o přibližně polovinu pedagogů) argumentuje tak, že žáci si stejně sami cestu k CAS najdou, když nebudou chtít doma počítat a že jejich používání nejen nemusí znamenat nutný úpadek vzdělanosti, ale především nabídne žákům možnost se seznámit s „vyšší matematikou” a podívat se na to, jakým způsobem se dnes řada věcí řeší. Myslím, že důležitý je také mezipředmětový přesah, kdy je možné ukázat jejich využití ve fyzice či informatice, například na problémech, které jsou buď analyticky neřešitelné nebo řešitelné jen s užitím matematiky, která jim není ještě k dispozici.

To, co je jistě na tomto přístupu užitečné, je, že se žáci seznámí s širšími možnostmi matematiky než jen v rámci základního gymnaziálního kurzu a mohou sami hledat zajímavé matematické aplikace té či oné „podivné” (tedy pro ně neznámé) funkce nebo  je vést k úvahám, jak mohou podobné programy pracovat. Pokud se žáci seznámí se základy algoritmizace operací jako je integrace, derivace a další, bude to mít pro jejich informatické či matematické dovednosti jistě velice pozitivní dopad.

My se nyní podíváme podrobněji na aplikaci xwMaxima, která je zdarma dostupná jak pro Linux, tak také pro Windows či MAC OS, je lokalizovaná do češtiny a nabízí mimořádně příjemné a jednoduché ovládání, které by měli bez potíží gymnazisté zvládnout. Program je zdarma dostupný a ve školách (opět dle ohlasu z konferencí, kterých jsem měl možnost se zúčastnit) relativně hojně užívaný. V neposlední řadě je možné za výhodu považovat poněkud nižší hardwarové nároky. CAS je samozřejmě více a záleží na konkrétních preferencích vyučujících, který nástroj do své výuky zvolí.

wxMaxima: seznámení

Aplikace Maxima nabízí tytéž funkce jako wxMaxima, jen bez pohodlného grafického prostředí. Na druhou stranu je k dispozici pěkně udělaná nápověda s řadou příkladů, a pokud se budete napřed sami seznamovat s touto aplikací, pak doporučuji Maximu použít jednak v začátcích a poté při nejpokročilejších funkcích, neboť máte dokonalý přehled o tom, jak aplikace přesně počítá. Pro žáky je ale zřejmě schůdnější grafická nástavba wxMaxima, která sice nenabízí tak dokonalou kontrolu, ale zato pěkný design a možnost většinu věcí si jednoduše „naklikat“. Samozřejmě, že textové příkazy podporuje také a je jistě užitečné s nimi žáky seznámit – nikoli ve smyslu, že by je měli znát, ale aby získali základní povědomí o tom, jak vše pracuje.

wxMaxima

Samotná instalace probíhá ve všech operačních systémech, které jsou podporovány stejně a naprosto bez potíží. Po prvním spuštění je možné si v menu nastavit některé detaily, jako je vhodné písmo nebo chování programu, potom je již možné se pustit do práce.

wxMaxima umožňuje zapnout si menu s názvy nejpoužívanějších činností do levého panelu, což může žákům urychlit orientaci a zjednodušit tak samotné ovládání celé aplikace. Těžiště funkcí ale nacházíme v horním roletovém menu, které je poměrně logicky rozčleněno podle jednotlivých matematických disciplín tak, aby hledání požadovaných funkcí bylo co nejsnazší.

První zajímavá položka nese název rovnice a naleznete v ní nástroje na řešení rovnic (lineárních, kvadratických, kubických, ...), soustavy lineárních i algebraických rovnic, hledání kořenů polynomu, práci s počátečními podmínkami či možnost řešit rovnice vzhledem k nějaké neznámé, což je vhodné například při neúplně zadaném problému nebo hledání řešení jako funkce – výsledek nemusí být tedy nutně nějaké číslo, ale kupříkladu výraz obsahující další neznámé.

Druhá důležitá položka menu se jmenuje algebra a nabízí vše potřebné pro práci s maticemi, včetně tvorby transponované matice, hledání vlastních vektorů a vlastních hodnot, výpočet determinantu a mnoho dalšího. Podporovány jsou také řídké matice nebo je připravené velké množství nástrojů na testování vlastností matic.

Třetí skupina funkcí souvisí s matematickou analýzou. Naleznete zde nástroje sloužící pro výpočet derivací a integrálů – od základního integrování a derivování přes řešení integrálů v analytickém tvaru až po numerické metody řešení. Dále jsou k dispozici nástroje pro hledání limit, Laplaceovu transformaci, rozklad do řad, součet řady, hledání společných dělitelů, parciální zlomky, řešení diferenciálních rovnic a mnoho dalšího.

Dále je zde menu zjednodušit, které nabídne celou řadu nástrojů na zjednodušení výrazů a v neposlední řadě nástroje na numerické výpočty. Zajímavé také je, že aplikace nabízí pokročilé matematické funkce, základní počítání s grupami, práci s výpočty v polích a mnoho dalšího. Mimo to jsou podporovány také různé rozšiřující balíčky, které zavádějí různé další funkce – například finanční matematika, fraktály, pokročilé statistické zpracování dat a mnoho dalšího.

Nezanedbatelnou sadou funkcí spojených s wxMaximou je schopnost vykreslovat grafy – ať již 2D či 3D. Samozřejmostí je nastavení rozsahu os nebo podpora obecných funkcí. Grafy jsou udělány pomocí přehledného „klikátka”, takže se s nimi laikovi pracuje lépe než v čistém GnuPlot, který za vykreslováním technologicky stojí.

wxMaxima

Vzhledem ke kvalitě a rozsahu služeb poskytovaných wxMaximou se nabízí její dvě základní využití. Díky podpoře skriptů je možné ji efektivně nasadit na matematické programování a řešení složitých úloh, což by byla zřejmě záležitost především nějakých pokročilých seminářů. Druhou variantou je užití jako obyčejný CAS, ve kterém spočítáme to, co „v ruce” neumíme nebo by nám trvalo velmi dlouho. Osobně si myslím, že právě druhá oblast je tím, co bude v gymnaziálním prostředí spíše rozvíjeno. A každý ať posoudí sám, zda je lepší, aby žák uměl vyřešit tabulkový integrál v CAS, nebo složitě hledal tabulky a po sadě „tabulkových” operací došel k nějakému výsledku. Pokud navíc chcete žákům ukázat alespoň náčrt toho jak postupovat, když není analytické řešení nějakého problému, nabízí wxMaxima jednoduchou a schůdnou cestu.

Praktické příklady

V této třetí části si ukážeme některé praktické příklad toho, co wxMaxima umí. Nejedná se o nějaký vyčerpávající manuál (odkazy na ně naleznete na konci článku), ale skutečně spíše o ukázku základní struktury a možností wxMaximy. Většinu toho, co zde uvádíme v textové podobě, si lze „naklikat,” ale znalost základní syntaxe je důležitá pro konstrukci složitějších výrazů či hledání chyb.

Máme-li nějakou funkci, která vyžaduje více parametrů, pak jsou od sebe odděleny čárkou a všechny jsou uzavřené v kulatých závorkách. Jako například příkaz pro integrování:

První parametr vystupuje integrovaný výraz, druhým říkáme, podle které proměnné integrujeme, a třetí se čtvrtým nastavují meze integrálu. Jako parametry mohou vystupovat také funkce. Na co je dobré si dát pozor, je nevynechávání znaménka pro násobení v zápisu. Příkaz je ukončen středníkem.

Další užitečnou funkcí je užívání konstant. Pokud je nijak nespecifikujete, aplikace s nimi nakládá zcela obecně. Je ale samozřejmě možné si pomocí nich zjednodušit zapisování nějakého jiného, složitějšího příkazu:

V něm máme požadavek na výpočet derivace a nastavené dvě ze tří použitých konstant. Jednoduchá je také práce s maticemi:

Vkládání matice

Předchozí zápis vytvoří matici m, která má rozměr 3 × 3.

Závěr

Možnosti wxMaximy jsou velice bohaté a je možné říci, že značně převyšují možnosti jejího využití na středních školách. Pokud se ale rozhodnete ji žákům ukázat, dáte jim do rukou nástroj, ze kterého budou moci čerpat i během vysokoškolského studia. Jako příklad využití v mezipředmětovém přesahu je možné uvést řešení pohybových rovnic ve fyzice pomocí diferenciálních rovnic nebo řešení složitější elektrických okruhů. wxMaxima nabízí export do PDF či HTML souboru, což je užitečné pro prezentaci výsledků. Výpočtový sešit je možné si uložit a tak se k rozpočítaným úkolům vracet. 

Pokud máte o wxMaximu zájem, můžete využít některý z nabízejících se materiálů, jako například:

• Manuál tvůrců projektů (anglicky)
• FAQ (anglicky)
• Úvod do Maxima v 10 krocích (rychle, jednoduše a anglicky)
• Manuál s obrázky(slovensky)

Na úvod je možné se podívat na video jak řešit soustavu lineárních rovnic a případně si vyzkoušet interpret Maxima online

Zdroj obrázků [1],[2],[3]: autor článku Michal Černý.