Různé způsoby odhadování výsledků početní operace se zlomky, s ohledem na přesnost odhadu a na problémy, kterým žáci při vzdělávání čelí

• základní vzdělávání
• Matematika a její aplikace
• 2. stupeň
• Matematika a její aplikace
• Číslo a proměnná
• zaokrouhluje a provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor
• Člověk a svět práce
• 2. stupeň
• Člověk a svět práce
• Práce s technickými materiály
• provádí jednoduché práce s technickými materiály a dodržuje technologickou kázeň

Rubrika

Odborný článek

Typ článku

Praktický

Stupeň vzdělávání

Základní vzdělávání

Druh interaktivity

Kombinované

Cílová skupina

Učitel

Věková skupina

12–15 let

Týká se jazyka

Čeština

Velikost skupiny

Celá třída, Skupina žáků

Využití v rámci vyučovací hodiny

Procvičování, Motivace, Nové učivo

Organizace řízení výuky

Skupinová

Organizace prostorová

Specializovaná učebna, Školní třída

Nutné pomůcky

STL soubory kruhových výsečí jednotkových zlomků s různými jmenovateli v podobě dílků skládačky puzzle ve třech variantách pro snadné spojování. 3D tiskárna typu FDM (FFF), 3D pero, 3D struny – filament různých barev, hadřík z přírodního materiálu / silikonový náprstek – tyčinkové lepidlo – miska s teplou vodou, papír s naneseným lepidlem pro 3D tisk zlomků a kalkulačky.

Navrhovaný způsob umožňuje míru přesnosti odhadu na desetinné místo a zároveň v žácích zachovává vizuální vjem zlomku jako poměrného čísla, či podílu vůči celku. 

Navržená didaktická pomůcka senzoricky (různý počet a různý tvar dílků) zvýrazňuje odlišné vlastnosti čitatele a jmenovatele zlomku a zároveň vizuálně (barevně) zvýrazňuje jejich komplexitu ve vztahu k jiným zlomkům.

Tím navržená metoda snižuje obvyklá nepochopení a omyly, kterých se žáci při práci se zlomky s různými jmenovateli dopouštějí.

Základní požadavky na didaktické pomůcky

Obecně lze říci, že existuje řada způsobů, jak odhadovat výsledky matematických operací se zlomky (sčítání, odečítání).

Které pedagog vybere, závisí na tom, jak velkou míru přesnosti chce zvolit, jaký druh didaktického zjednodušení chce akceptovat a jakou míru „pokřivení“, či zamlžení důležité matematické znalosti (vzdělávacího poznatku), chce tolerovat. 

Didaktické zjednodušení nesmí pokřivit matematický pojem (představu) a jednotlivé znalosti nemohou být představovány tak, aby v budoucnu vyžadovaly nutnost jejich „přeučení“ (zcela nový výklad)¹. 

Naopak didaktická učební pomůcka by měla podnítit a nasměrovat vytváření správného obrazu žáka o probírané matematické vědomosti/znalosti, a to na základě senzorického vnímání, a měla by umět zprostředkovat porozumění obsahu daného látky¹. 

Další aspekt (princip), který by měl pedagog při výběru didaktické pomůcky či způsobu odhadu výsledků zohlednit, je princip uvědomování (awareness). 

Měl by totiž učit žáka nejen jak postupovat při řešení matematického úkolu, ale učit je i proč postupovat tímto směrem¹.

Problémy při početních operacích se zlomky²

S jakými problémy se žáci při početních operacích se zlomky potýkají, kde dělají nejčastěji chyby? 

a) žáci mají problém pochopit smysl zlomku, takže ke zlomkům přistupují stejně, jako by to byla celá čísla (Whole number bias)². 

b) žáci chápou čitatel a jmenovatel ve zlomku odděleně.

Nejlépe se to pozná při sčítání (odečítání) zlomků s různými jmenovateli, kdy sečtou (odečtou) zvlášť čitatele a zvlášť jmenovatele. Dále např. nechápou, proč je tento postup při násobení správný a při sčítání chybný.

c) žáci nechápou smysl jmenovatele (zejména při početních operacích se zlomky s různými jmenovateli).

Způsoby odhadování výsledků početních operací

K odhadování výsledku při početních operacích (součet či rozdíl) zlomků s různými jmenovateli se používá několik přístupů, které se liší v přesnosti (míře odhadu) a v didaktičnosti toho, jakým způsobem řeší převod zlomků na společného jmenovatele. Neboli, jak názorně vysvětlují žákům vlastnosti zlomků jako části celku, resp. jak tuto charakteristiku vybrané metody naopak „rozostřují“.

V článku² citovaná literatura uvádí tyto dva způsoby odhadu výsledku:

A) Transformace zlomků na společného jmenovatele se řeší přiřazením jednotlivých zlomků k předem definované srovnávací hodnotě.

 Obr. 2. Znázornění metody odhadu početní operce se zlomky přiřazením zlomků k předem definované srovnávací hodnotě³

V tomto případě probíhá transformace zlomků na společný jmenovatel tak, že žáci posoudí velikost čitatele vůči jmenovateli a porovnají výsledek se srovnávacími hodnotami (0, 1/2 a 1).

Pokud je čitatel mnohem menší než jmenovatel, přiřadí zlomku srovnávací hodnotu 0, pokud je hodnota čitatele téměř stejně velká jako jmenovatele, přiřadí zlomku 1, a pokud je jeho hodnota něco mezi tím, přiřadí zlomku 1/2.

Tím získají racionální čísla, se kterými již provedou příslušnou početní operaci.

B) Transformace zlomků na společného jmenovatele se provádí graficky jako počet dílů na číselných osách.

 Obr. 3. Znázornění metody odhadu početní operce se zlomky grafickým sčítáním na číselné ose

Žáci nakreslí úsečky stejné velikosti a rozdělí je na stejně velké díly v počtech shodujících se s hodnotami zlomků ve jmenovatelích. Na takto vytvořených číselných osách vyznačí tolik dílků, jaké jsou hodnoty zlomků v čitatelích.

Grafickým sečtením/odečtením takto zkonstruovaných úseček získají odhad výsledku.

K těmto dvěma metodám nabízíme použití didaktické pomůcky vytvořené na 3D tiskárně.

C) Transformace zlomků na společného jmenovatele je řešena tak, že je ztvárněn jako plocha kruhové výseče o stejném poloměru, ale odlišné velikosti úhlů.

 Obr. 4. Didaktická pomůcka pro odhad výsledku početní operce se zlomky (verze – desetinná čísla)

Vlastnost jmenovatele zlomku je interpretována přirovnáním k obsahu (množství jídla) v dílku pizzy.

Podstatou didaktické pomůcky jsou vytištěné různé kruhové výseče (ve formě puzzle), kdy plocha vyjadřuje podíl neboli zlomek z obsahu kruhu.

Převod na společný jmenovatel je řešen tím, že všechny kruhové výseče mají stejný poloměr, takže úhel, který ramena svírají, je u různých jmenovatelů různý.

Prostým poskládáním jednotkových výsečí dohromady se získají příslušné zlomky a jejich přiřazením vedle sebe (sčítání), či přes sebe (odečítání) se odečte výsledná pozice všech kruhových výsečí na ciferníku.

Cíle kognitivní

Pochopit vlastnost čitatele zlomku tím, že žák musí vyhledat příslušný počet jednotkových kruhových výsečí a pospojovat je dohromady. Kdy čím je číslo v čitateli větší, tím je výsledná kruhová výseč větší (má větší obsah). Dosažení kognitivního poznatku je podpořeno jak vizuálně, tak hapticky. 

Pochopit vlastnosti jmenovatele zlomku na základě vizuálního rozeznání odlišných velikostí obsahů díky tomu, že kruhové výseče zlomků s různým jmenovatelem (při stejném poloměru) svírají jiný úhel.

Tedy čím je číslo ve jmenovateli větší, tím je obsah jednotkového zlomku menší.

Odlišení zlomků s různými jmenovateli je podpořeno i barevným vjemem tím, že jednotkové zlomky různých jmenovatelů jsou vytištěny (v limonkové verzi vyplněny) plastem s jinou barvou.

Dosažení kognitivního poznatku je podpořeno vizuálně. 

Pomůcky:

Pedagog má k dispozici STL soubory kruhových výsečí jednotkových zlomků s různými jmenovateli v podobě dílků skládačky puzzle pro snadné spojování.

Obr. 5 Sada jednotkových zlomků různých jmenovatelů vyrobených klasickým 3D tiskem

STL soubory jsou ve variantě pro tisk na 3D tiskárně celých dílků, nebo v litmonkové verzi pro 3D tisk šablon na papír s jejich následným vyplněním 3D perem a sejmutím z podkladu ponořením litmonek do teplé vody (videonávod na postup při výrobě litmonky naleznete na https://youtu.be/d4daeRTNkPM nebo na https://youtu.be/rlwi4euYTlw).

Obr. 6. Sada jednotkových zlomků různých jmenovatelů vyrobených limonkovou metodou 3D tisku pro začátečníky

Pedagog může s žáky vyrobit i sadu konkrétních zlomků vyplněním příslušných polí litmonkové mřížky.

 Obr. 7. Sada mřížkových šablon pro výrobu konkrétních zlomků různých jmenovatelů

Po vyplnění litmonek a po odstranění z podložky zbývající nevyplněné části mřížky odpadnou.

Obr. 8. Zlomky vyrobené limonkovou metodou 3D tisku pro začátečníky

Dále je k dispozici STL soubor pro výrobu ciferníků (viz obr. 1, 4 a 9)

Postup práce s didaktickou pomůckou

Žák před realizací početní operace provede odhad výsledku tím, že vybere z připravené sady jednotkových zlomků daného jmenovatele tolik kusů, které odpovídají číslu v čitateli zlomku prvního sčítance/menšence. Dílky skládačky spojí dohromady tak, že jako první puzzle použije dílek, který má oko. V případě použití sady s konkrétními zlomky v podobě kruhových výsečí (viz obr. 7 a 8) vybere konkrétní výseč.

Skládačku žák navlékne na hrot uprostřed ciferníku.

Stejným postupem poskládá i zlomky dalších sčítanců/menšitele. V případě sčítání žák pospojuje jednotlivé skládačky dohromady za sebe.

Obr. 9. Odhad výsledku početní operace sčítání zlomků (limonková verze)

V případě odečítání zlomků tyto skládačky položí na sebe a společně je natočí tak, aby krajní rameno vrchního zlomku s menší kruhovou výsečí (menšitele) bylo v počátku (odečítá se pouze obsah spodní kruhové výseče menšence, která není zakrytá).

Obr. 10. Odhad výsledku početní operace odečítání zlomků (verze z klasického 3D tisku)

Výsledný odhad žák odečte podle pozice hrany posledního jednotkového zlomku menšence na ciferníku.

Po odečtení hodnoty získá žák představu o řádu budoucího výsledného čísla a zároveň může tento odhad zpětně porovnat s vypočteným zlomkem tak, že výsledek převede na kalkulačce na desetinné číslo. Přibližná shoda těchto čísel zakládá vysokou pravděpodobnost správnosti výpočtu.

Bez tohoto ověření musí žák spoléhat na názor pedagoga, či většinový názor svých spolužáků (tzv. „mně to vyšlo taky“).

Kritérium hodnocení

Žák dokáže převést hodnotu čitatele ve zlomku na počet jednotkových kruhových výsečí.

Podle hodnoty zlomku ve jmenovateli dokáže žák vybrat správnou sadu jednotkových zlomků.

Poskládáním kruhových výsečí – znázorňujících jednotkové hodnoty zlomků vedle sebe dokáže žák vizuálním srovnáním porovnat celkové velikosti jejich obsahů a rozhodnout, který zlomek je větší.

Poskládáním kruhových výsečí za sebe dokáže žák opticky sečíst jejich úhly a současně odečíst na ciferníku přibližný součet/rozdíl – odhadnout výsledek s danou přesností.

Chápe, že teprve poté, co převede zlomky na stejného jmenovatele – obsahy kruhových výsečí o stejném poloměru –, může zlomky s různými jmenovateli sčítat či odčítat. A na základě příkladu sčítání/odečítání obsahů kruhových výsečí dokáže vysvětlit proč.

Reflexe

Barevná vizualizace kruhových výsečí jednotkových zlomků s různým jmenovatelem (při 3D tisku jednotlivých dílků se zlomky o různých jmenovatelích se použijí materiály různých barev / v limonkové verzi se vyplňují 3D perem s filamentem různé barvy) se ukáže jako významná zejména při početní operaci odečítání zlomků, kdy se skládačky na ciferníku překrývají.

Žák zpětně hodnotí, zda zapamatování si vizuálního tvaru kruhové výseče daného zlomku mu pomohlo pochopit odlišné vlastnosti čitatele a jmenovatele ve zlomku, a tudíž smysluplnost pravidla převedení zlomků na stejného jmenovatele před požadovanou početní operací.

Literatura a použité zdroje

BLAŽKOVÁ, Růžena. Didactics of mathematics I. [online]. 2013. [cit. 2019-10-17]. Dostupné z: https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwi2sqDn4vbkAhWoMewKHX0pC50QFjAAegQIAhAJ&url=https%3A%2F%2Fwww.ped.muni.cz%2Fwmath%2Finterma%2Fblazkova_en.doc&u.

SCHUMACHER, Robin; MALONE, Amelia. Error Patterns with Fraction Calculations at Fourth Grade as a Function of Students' Mathematics Achievement Status. [online]. 2017. [cit. 2019-10-17]. Dostupné z: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC5690543/.

Estimating Fractions [online]. 2010. [cit. 2019-10-17]. Dostupné z: https://youtu.be/Q3yiWwyuYiM.