Žáci užitím jednoduchých nástrojů programu GeoGebra efektivně a přesně konstruují graf inverzní funkce k dané funkci a objevují souvislosti s vlastnostmi původní funkce. Pomocí inverzní funkce k funkci s podmínkou zobrazí graf funkce druhá (případně třetí) odmocnina.
Cíl výuky
Žák/žákyně
provádí konstrukce grafů funkcí ve specializovaném programu
názornost sestrojených grafů využívá k objevování matematických souvislostí
aplikuje zobrazení osová souměrnost
aktivně a efektivně využívá nástroj Osová souměrnost a funkci Kdyz(Podmínka,Pak) programu GeoGebra
zapíše do algebraického okna předpis funkce s podmínkou
Na základě přesně zkonstruovaných grafů porozumění pojmu inverzní funkce a objevení souvislostí s vlastnostmi původní funkce; aplikace poznatků při sestrojení grafů funkcí druhá a třetí odmocnina.
Pomůcky, hardware, software
Učitel/ka: PC s připojením na internet a dataprojektor
Žák/yně: PC s připojením na internet nebo tablet s nainstalovanou aplikací programu GeoGebra
znalost definice funkce reálné proměnné, znalost osové souměrnosti
znalost grafu lineární, kvadratické funkce, případně funkce třetí mocniny
schopnost stanovit definiční obor a obor hodnot z grafu funkce
porozumění pojmu prostá funkce a jeho souvislosti s monotonií funkce v množině
Digitální
základní ovládání programu GeoGebra (zápis do algebraického okna, změna nastavení vlastností objektu, zobrazení a skrytí objektu, z konstrukčních nástrojů Osová souměrnost)
Přínos využití digitálních technologií
Rychlé, přesné a efektivní sestrojení grafů funkcí a jejich osově souměrných obrazů.
Metodická poznámka
Sestrojit osu prvního a třetího kvadrantu v nákresně programu GeoGebra lze několika způsoby. Můžeme do algebraického okna zapsat přímo předpis této lineární funkce \\[ y=x \\], nebo využijeme konstrukčního nástroje Osa úhlu (myšleno souřadnicových os), případně sestrojíme přímku procházející dvěma různými body se stejnými x-ovými a y-ovými souřadnicemi.
Po vypracování úlohy 1 by mělo následovat zavedení pojmu inverzní funkce a jejího značení, včetně zápisu do sešitu. Upozorníme žáky, že program označí (pojmenuje) obraz geometrického útvaru v osové souměrnosti znakem \\[ {f}´ \\], nikoli \\[ {f}^{-1} \\] .
V případě, že nemá vyučující možnost realizovat výuku ve dvou navazujících hodinách matematiky u počítače, doporučujeme body 1–5 z úkolu 1 vypracovat se žáky ručně do sešitu, zavést inverzní funkci a její značení, a v další hodině pokračovat bodem 6 v programu GeoGebra.
Cílem druhé úlohy je objevit souvislost mezi vlastností prostá funkce a existencí inverzní funkce k této funkci. Doporučujeme závěr zjištění zapsat do sešitu. (Ke kvadratické funkci neexistuje funkce inverzní. Inverzní funkci definujeme pouze pro funkci prostou.)
Při odvozování předpisu funkce druhá odmocnina (v úkolu 3) nezapomeneme žákům připomenout, že ryze kvadratická rovnice \\[ y^2=x \\] má v množině reálných čísel dvě řešení. Ale vzhledem k podmínce \\[ D({f^{-1}})=H(f)=\\langle0;\\infty) \\] uvažujeme pouze jedno řešení \\[ y=\\sqrt{x} \\] . Můžeme žákům ukázat také odvození grafu funkce \\[ y=-\\sqrt{x} \\] jako inverzní funkci.
Předpokládáme, že úlohu 4 žáci řeší samostatně.
Následuje shrnutí všech zjištěných poznatků o existenci inverzní funkce k dané funkci.
Se šikovnými žáky a žáky zvyklými pracovat s GeoGebrou zvládneme aktivity v jedné vyučovací hodině.
Popis vzdělávací aktivity
Úloha 1 - Symetrické grafy lineárních funkcí
Sestrojte v programu GeoGebra graf funkce\\[ f:y=2x+1 \\].
Sestrojte přímku, která je osou prvního a třetího kvadrantu, styl čáry vyberte čárkovaný.
Užitím nástroje Osová souměrnost sestrojte obraz grafu funkce\\[ f \\] v osové souměrnosti podle přímky, která je osou prvního a třetího kvadrantu.
V algebraickém okně je zapsáno jedno z ekvivalentních vyjádření nové přímky, přímky označené \\[ {f}´ \\]. Zapište do sešitu vyjádření proměnné \\[ x \\] z tohoto zápisu a porovnejte s předpisem původní funkce \\[ f \\]. Co zajímavého pozorujete?
Přemýšlejte: Je obrazem funkce \\[ f \\] (obrázek 1) zase funkce? Mají nějaké vlastnosti společné?
Grafy funkcí \\[ f \\] a \\[ {f}´ \\]skryjte. Omezíme definiční obor původní funkce. Do vstupního řádku v algebraickém okně zadejte novou funkci s podmínkou. Zapište: \\[ Kdyz(-2\\leq{x}\\leq3,2x+1) \\]. Grafem bude úsečka, obrázek 2.
Sestrojte obraz úsečky v osové souměrnosti podle osy prvního a třetího kvadrantu. Pro další práci bude vhodné zobrazit v nákresně také hlavní mřížku (pravé tlačítko myši, nabídka Zobrazit mřížku, výběr Hlavní mřížka).
Do sešitu zapište definiční obory a obory funkčních hodnot obou funkcí. Co pozorujete?
Řešení
Pro výraznější odlišení jsme označili původní funkci modrou barvu, její obraz červenou barvou. Kliknutím na obrázek jej zvětšíme.
Obrázek 1 - Zobrazení lineární funkce a k ní příslušné inverzní funkce
Pro \\[ x \\] z vyjádření osově souměrné přímky platí \\[ x=2y+1 \\]. V porovnání s původně zadanou funkcí došlo k záměně proměnných \\[ x, y \\] .
Obě přímky představují grafy funkcí, obě mají stejný definiční obor i obor hodnot, obě jsou rostoucí.
Obrázek 2 - Zobrazení inverzní funkce k lineární funkci s omezeným definičním oborem
Pokračujte v otevřeném okně programu GeoGebra. Skryjte zobrazení obou úseček.
Do algebraického okna zadejte kvadratickou funkci \\[ y=x^2 \\] a zobrazte její graf.
Zkonstruujte obraz paraboly v osové souměrnosti podle osy prvního a třetího kvadrantu. Zobrazenou křivkou je opět parabola, obrázek 3.
Přemýšlejte: Je zobrazená křivka grafem funkce? Zdůvodněte.
Řešení
Obrázek 3 - Osově souměrná parabola ke grafu funkce \\[ y=x^2 \\]
Parabola, která je obrazem kvadratické funkce \\[ y=x^2 \\] v osové souměrnosti podle osy prvního a třetího kvadrantu není grafem funkce. Nesplňuje základní kritérium, že pro každé \\[ x \\] existuje právě jedno \\[ y \\] takové, že \\[ y=f(x) \\].
Úloha 3 - Inverzní funkce k části kvadratické funkce
Skryjte zobrazení obou parabol.
Do algebraického okna zapište funkci s podmínkou: \\[ Kdyz(x\\geq0,x^2) \\], v nákresně se zobrazí polovina paraboly.
Zobrazte inverzní funkci k zadané funkci s podmínkou (obrázek 4), zapište její obor hodnot.
V sešitu odvoďte předpis inverzní funkce k funkci \\[ f:y=x^2\\land{x}\\in\\langle0;\\infty) \\].
Řešení
Obrázek 4 - Konstrukce grafu funkce druhá odmocnina
Obor funkčních hodnot funkce \\[ f:y=x^2\\land{x}\\in\\langle0;\\infty) \\] je interval \\[ \\langle0;\\infty) \\].
Inverzní funkce má předpis \\[ f^{-1}:y=\\sqrt{x}~\\land{x}\\in\\langle0;\\infty) \\].
Úloha 4 - Inverzní funkce k funkci třetí mocnina
Skryjte zobrazení obou částí parabol.
Sestrojte graf funkce \\[ f:y=x^3 \\]a určete monotonii funkce.
Zobrazte inverzní funkci k funkci třetí mocnina.
Najděte předpis této inverzní funkce.
Řešení
Funkce \\[ f:y=x^3 \\] je na celém svém definičním oboru rostoucí, je prostá, obrázek 5.
Inverzní funkce má předpis\\[ f^{-1}:y=\\sqrt[3]{x} \\].
Použití základních konstrukčních nástrojů zvládli žáci velmi dobře. Několik jednotlivců chybovalo při zápisu syntaxe příkazu Kdyz(Podmínka,Pak), do druhé části závorky zapisovali chybně „ \[ y= \]“. Někteří si vzájemně poradili, jak na klávesnici zapsat znak\[ \leq \] . Z grafů pak všichni správně vyčetli monotonii funkcí, definiční obor i obor hodnot.
Všechny úlohy jsme také vyzkoušeli s jinými žáky bez užití počítače, grafy jsme rýsovali pomocí pravítka a plastové šablony funkcí. Ač byli zvyklí šablonku často využívat například při sestrojování grafů kvadratických funkcí, činila některým žákům potíže správná orientace a umístění šablonky v souřadném systému při konstrukci osově souměrného grafu podle osy prvního a třetího kvadrantu.
