Druhá mocnina – výzkumný přístup

Někteří žáci mohou objevit a aplikovat postup znázorněný níže (obrázek 1), který je také správný a tedy ekvivalentní předešlému zavedení druhé mocniny.

Důkaz ekvivalence obou postupů lze provést umocněním dvojčlenu `(a+1)`. Výsledný výraz je součtem výrazů v předchozích buňkách tabulky získaným na základě postupu schematicky znázorněného v tabulce (obrázek 2):

^{`(a+1)^2=(a+1)(a+1)=a^2+a+a+1=a^2+a+(a+1)`}

Žákům nemá smysl důkaz uvádět, dokud nebudou mít osvojenu problematiku druhé mocniny algebraického výrazu. Pak se můžeme k jejich objevu (který zatím může viset na viditelném místě v učebně) vrátit a formálně dokázat jeho pravdivost.

Druhá mocnina vybraných přirozených čísel

V další části článku se zaměříme na zkoumání hodnot druhých mocnin takových přirozených čísel, která končí číslicí `5` . Žáci dostanou za úkol doplnit hodnoty druhých mocnin do souboru tabulek (tabulka 4). Určovat je budou na základě definovaného postupu.

Ve chvíli, kdy jsou tabulky kompletní, necháme žáky hledat „zákonitosti“. Níže jsou uvedeny tři poznatky vzešlé ze zkoumání, které proběhlo při práci v osmé třídě:

Poznatek 1: Všechny hodnoty druhých mocnin v tabulce končí dvojčíslím `25` .

Poznatek 2: Na pozici stovek v hodnotách druhých mocnin se stále opakuje sekvence `0` , `2` , `6` ,` 2` , `0` .

Poznatek 3: Počínaje druhou mocninou čísla `25` se na pozici tisíců a vyšší objevují číslice podle znázorněného pravidla (obrázek 3) – tedy vždy v pěticích se zvyšují hodnoty čísel o danou hodnotu a navíc v následující pětici pak vždy o hodnotu o `1` vyšší.

Následně mají žáci za úkol doplnit tabulku příslušnými hodnotami na základě poznatků, které sami objevili (tabulka 5). Poté správnost zkontrolují výpočtem na základě definice druhé mocniny přirozeného čísla a zjistí, že pro čísla obsažená v tabulce a hodnoty jejich druhých mocnin jsou všechny poznatky platné.

K jednotlivým poznatkům jsou níže uvedeny jejich matematické důkazy. Hloubka jejich představení žákům je na úvaze učitele. Ze zkušenosti vyplynulo, že ideu důkazu poznatku 1 jsou žáci zpravidla schopni odhalit sami a formální důkaz je možné uvést znovu po zvládnutí problematiky druhé mocniny algebraického výrazu. Důkazy pro poznatek 2 a poznatek 3, ač nejsou ideově složité, není vhodné ve výuce podrobně uvádět pro jejich technickou složitost.

Poznatek 1 – důkaz:

Přirozená čísla, jejichž poslední číslicí je `5` , můžeme zapsat v následujícím tvaru: `n` ·`10+5`, kde `n` je nějaké přirozené číslo. Pokud přirozené číslo zapsané v tomto tvaru umocňujeme, získáme jeho druhou mocninu ve tvaru:

`(n*10+5)^2 = n^2*100+2*n*10*5+5^2 = n^2*100+n*100+25 `

Nejnižší možný řád prvních dvou sčítanců vzniklého součtu je `100` (závisí na počtu cifer čísla `n`). Poslední dva řády (desítky a jednotky) hodnoty druhé mocniny nám tedy zřejmě obsadí dvojčíslí `25` .

Poznatek 2 + Poznatek 3 – důkaz:

Zbylé dva objevy budeme dokazovat společným důkazem, při němž využijeme tvar druhé mocniny, který jsme obdrželi v důkazu poznatku 1:

`n^2*100+n*100+25`

`(n^2+n)*100+25`

Druhá mocnina následujícího čísla končícího číslicí `5` má pak tvar:

`[(n+1)^2+(n+1)]*100+25,`

Dále nás bude zajímat jen výraz vyjadřující počet stovek:

`(n+1)^2+(n+1)` ,

který umocněním, vhodným sloučením a vytknutím před závorku upravíme:

`n^2+n+2*(n+1)`

Počet stovek hodnoty druhé mocniny následujícího čísla končícího číslicí `5` lze tedy získat tak, že k počtu stovek hodnoty druhé mocniny daného čísla končícího číslicí `5` přičteme dvojnásobek jeho počtu desítek zvětšeného o `1` , což můžeme pro prvních třináct čísel znázornit následující tabulkou (tabulka 6):  

ad Poznatek 2: Na základě odvozeného výrazu se v jednotlivých řádcích tabulky objevují součty, jejichž sčítance končí stejnými číslicemi (obarvené červeně) – snadno lze odvodit, že stejná situace nastane i pro další pětice čísel končících pětkou. Na pozici jednotek těchto součtů a tedy na pozici stovek druhých mocnin příslušných čísel se bude stále opakovat sekvence

,

,

,

,

.

ad Poznatek 3: Z pohledu na tabulku je zřejmé, že číslo udávající počet tisíců v hodnotě druhé mocniny získáme sečtením modře obarvených čísel a případným přenesením řádu ze součtu červeně obarvených čísel.

Řád se přenáší pouze v situaci `6+6` a `2+8` , což v prvních dvou řádcích tabulky způsobí zvýšení součtu modře obarvených čísel o `1` . Ve zbývajících třech řádcích tabulky nám samotný součet modře obarvených čísel odpovídá zákonitosti popsané v poznatku 3.

Analogická situace zřejmě nastane i pro další pětice čísel končících pětkou, jimiž by tabulka pokračovala.

Na závěr celku je vhodné demonstrovat jednoduché pravidlo, které žákům usnadní určování hodnot druhých mocnin čísel končících číslicí `5` – mohlo by znít například takto:

„Hodnotu druhé mocniny získáme tak, že počet desítek násobíme číslem o `1` větším, získáme tím počet stovek v hodnotě druhé mocniny, kterou ukončíme dvojčíslím `25` (viz poznatek 1).“

Důkaz:

Důkaz opět můžeme uvést po zvládnutí problematiky druhé mocniny algebraického výrazu. Při důkazu využijeme tvar druhé mocniny, který jsme obdrželi v důkazu poznatku 1:

`n*(n+1)*100+25`

Žáky necháme pravidlo ověřit na hodnotách, které mají spočtené v tabulkách z předchozích zkoumání.

Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích

V závěrečné aktivitě sloužící k upevnění pojmu a postupu výpočtu žáků představíme tvrzení, jehož důkaz formuloval na konci 18. století významný matematik J. L. Lagrange, po němž je také toto tvrzení pojmenováno:

VĚTA (tradiční znění): Každé přirozené číslo lze zapsat jako součet nejvýše čtyř čtverců.

Nejprve je třeba se se žáky dobrat pochopení obsahu věty – pokládat návodné otázky, kterými žáky dovedeme k odhalení identity čtverec = druhá mocnina přirozeného čísla. Následně větu přeformulujeme do jazyka moderní matematiky:

VĚTA (moderní znění): Pro každé přirozené číslo `n` existují nejvýše čtyři přirozená čísla `a` , `b` , `c` a `d` taková, že:

`n=a^2+b^2+c^2+d^2`

Necháme žáky ověřit platnost věty pro malá přirozená čísla. Pokud jsou žáci úspěšní, zpravidla sami žádají větší čísla, jejich motivaci můžeme ještě zvýšit soutěžním pojetím aktivity.

Například:                                                   `35=5^2+3^2+1^2`

U některých zadaných čísel se stane, že žáci naleznou jeho různé rozklady. To nám nabízí další variantu práce – nalézt všechny možné Lagrangeovy rozklady zadaného čísla:

Například:                                                `35=4^2+3^2+3^2+1^2`

Na závěr hodiny necháme žáky samotné zadat několik čísel, jejichž rozklad podle Lagrangeovy věty budou žáci hledat formou dobrovolné domácí práce. Ze zkušenosti vyplynulo, že je vhodné omezit se na maximálně trojciferná čísla, ačkoli někteří žáci dokázali nalézt rozklad letopočtu `2012:`

Například:                                                              `2012=43^2+9^2+9^2+1^2`

Literatura a použité zdroje

KOPKA, Jan. Hrozny problémů ve školské matematice. 1. vyd. Sv. 1. Ústí nad Labem: Univerzita Jana Evangelisty Purkyně, 1999. 194 s. ISBN 8070442476.

KOPKA, Jan. Výzkumný přístup při výuce matematiky. 1. vyd. Sv. 133. Ústí nad Labem: Univerzita Jana Evangelisty Purkyně, 2007. 169 s. ISBN 8070449268.