Jak propojit geometrický význam algebraického výrazu s jeho zápisem? Ideální je využití algebraických dlaždic, které nabízí širokou škálu využití od prvního stupně základní školy až po gymnázium. Článek nabízí několik tipů na úlohy, které lze v matematice využít.
V aplikaci Polypad ve složce Algebra pod záložkou Algebra Tiles najdeme algebraické dlaždice, které jsou nejvíce užitečné při výuce mnohočlenů a algebraických výrazů.
Algebraické dlaždice se skládají z šesti následujících dlaždic:
\\[ x^2 \\] – čtverec s délkou strany\\[ x \\]
\\[ y^2 \\] – čtverec s délkou strany\\[ y \\]
\\[ x \\] – obdélník s délkami stran \\[ x \\] a\\[ 1 \\]
\\[ y \\] – obdélník s délkami stran\\[ y \\] a\\[ 1 \\]
\\[ xy \\] – obdélník s délkami stran\\[ x \\] a\\[ y \\]
Využití algebraických dlaždic v digitální podobě má několik výhod. Dlaždic můžeme využít libovolné množství, práce se zápornými dlaždicemi je jednodušší a využít můžeme i psaného zápisu pomocí pera v aplikaci.
Z matematického hlediska využitím dlaždic cílíme na propojení představy algebraického výrazu s geometrickým významem. Při využití je však důležité žákům zdůraznit důležitost zápisu výrazu (buď pomocí pera v aplikaci, nebo tužkou na papír).
Pro začátek je dobré žáky nechat v aplikaci jen bádat, později můžeme začít zařazovat různé typy úloh od jednodušších po složitější. Článek nabízí několik tipů na využití dlaždic v matematice na základní škole. Mezi typovými úlohami najdete hledání dělitelů daného čísla, sčítání a odčítání mnohočlenů, rozklad mnohočlenu na součin a doplnění na čtverec (lze využít i na gymnáziu).
Úloha: Najděte všechny dělitele čísla\\[ 12 \\].
Komentář k úloze: Snažíme se vytvořit všechny možné obdélníky z dvanácti jednotek. Vytvořené obdélníky mají obsahy\\[ 1 \\cdot 12 \\],\\[ 2 \\cdot 6 \\],\\[ 3 \\cdot 4 \\]. Dělitelé čísla\\[ 12 \\] tedy jsou\\[ 1 \\],\\[ 2 \\],\\[ 3 \\],\\[ 4 \\],\\[ 5 \\],\\[ 6 \\],\\[ 12 \\].
Úloha: Sečtěte a odečtěte mnohočleny\\[ x^2+2xy+2 \\] a\\[ 2x^2-xy+3 \\] (v daném pořadí).
Komentář k úloze: Připravíme si potřebné dlaždice. Při sčítání se stačí podívat, kolik kterých dlaždic máme, v našem případě máme třikrát dlaždici\\[ x^2 \\], dvakrát dlaždici\\[ xy \\], ale jednu zápornou dlaždici\\[ xy \\] (tedy jedna z nich se odečte a zbude pouze\\[ xy \\]) a celkem pět jednotek.
Výsledek sčítání:\\[ 3x^2+xy+5 \\]
Při odčítání je potřeba změnit znaménka u dlaždic druhého mnohočlenu (v aplikaci Polypad změníme znaménko kliknutím na danou dlaždici a tlačítko Negate).
Výsledek odčítání:\\[ -x^2+3xy-1 \\]
Úloha: Rozložte na součin \\[ 4x^2+6x \\].
Komentář k úloze:
Připravíme si dané dlaždice:
Manipulujeme s dlaždicemi tak, abychom vytvořili obdélník:
Plocha vytvořeného obdélníku se dá zapsat jako\\[ 2x \\cdot (2x+3) \\], což je i hledaný rozklad na součin.
Úloha: Doplňte na čtverec \\[ x^2+2x \\] a upravte.
Komentář k úloze: Nejprve si připravíme potřebné dlaždice. Poté se snažíme z daných dlaždic vytvořit čtverec. Je zřejmé, že to nepůjde. Jedna dlaždice chybí, v tomto případě je nutné přidat jednotkovou dlaždici.
Chceme-li ještě výraz\\[ x^2+2x+1 \\] upravit na vzorec, stačí se podívat na délku strany čtverce, v tomto případě to je\\[ (x+1)^2 \\]. Ve výsledku nesmíme pak zapomenout odebrat přidanou jednotku. Celkové řešení je tedy:\\[ (x+1)^2-1 \\].
Pro ukázku ještě příklad doplnění na čtverec pro\\[ 4x^2+12x \\]:
