„Vzorečky“ ve fyzice na základní škole

Nebo jej můžeme formulovat elegantně stručným matematickým vztahem:

         F_vz = V . ρ_k .  g

V – objem ponořené části tělesa

ρ_k – hustota kapaliny

g – tíhové zrychlení       

Ačkoli myšlenka obsažená v Archimédově zákoně je triviální, její slovní formulace (pokud trváme na co nejpřesnějším vyjádření) působí poněkud komplikovaně, a i nadaní žáci, aby ji pochopili, potřebují přinejmenším několikanásobné opakované přečtení (zde vycházím z přímé zkušenosti učitele fyziky). Nepřekvapí nás, že při učení fyzikálních vztahů se bohužel stává to, co jistě není cílem žádného fyzikáře či fyzikářky, tedy že žáci rezignují na správné pochopení vztahu, a raději se text naučí nazpaměť pro účel úspěchu v testu. Pak je jistě efektivnější „nabiflovat se“ výrazově úspornější matematický vztah. Nicméně z hlediska vyšších vzdělávacích cílů jsou v tomto případě oba typy pamětného uchopení učiva stejně bezcenné.

Matematické vztahy mezi veličinami vyjádřené vzorci se do přírodních věd dostávaly postupně a pomalu. Je pravda, že už slavný Pythagoras ze Samu měl nápad využít matematiku jako abstraktní systém pravidel, který by mohl sloužit jako model fyzikálního světa (Mlodinow 2007, s. 10). Ovšem jinak řecký svět matematizaci pozemské fyziky příliš nepřál. Dokonalost matematiky se měla uplatňovat především pro popis dokonalého vesmíru nadlunárních sfér.

Když pomineme několik nesmělých středověkých pokusů, dostávají se matematické vztahy do fyziky až v 17. století. Propagátorem jejich využívání v přírodních vědách, a také důsledným zastáncem myšlenky, že fyzika je popsatelná „řečí matematiky“, byl Galileo Galilei (Okasha 2002, s. 5). Galilei byl (na rozdíl od mnoha současných studentů) nesmírně nadšen zjištěním, že výsledky z kvantitativních měření při provádění pokusů je možné shrnout do vzorce (například vztah pro výpočet dráhy u pohybu tělesa při volném pádu). Ale vzdělanci se učili tento nový přístup k přírodním vědám pozvolna. 

Ještě Galileův myšlenkový následovník Isaac Newton, jakkoli se právě on mimořádným způsobem zasloužil o zavádění popisu fyzikálních jevů matematickými prostředky, formuluje své pohybové zákony verbálně a geometricky. Pokud studujeme krkolomné formulace přírodních zákonitostí z období před fyzikálními vzorci, ukáže se, jak užitečným a zjednodušujícím nástrojem je matematický vztah. Jako příklad uvádím Mertonský akcelerační teorém, tedy jeden z prvních verbálně vyjádřených pokusů, kterým byl popsán rovnoměrně zrychlený pohyb, jak jej formuloval William Heytesbury v druhé polovině 14. století. Citaci jsem převzal z knihy Stevena Weinberga Jak vyložit svět:

„Jestliže se libovolné pohyblivé těleso zrychluje rovnoměrně z klidu do určitého stupně (rychlosti), pak za určitý časový úsek urazí polovinu vzdálenosti, kterou by urazilo za stejnou dobu, kdyby bylo posunuto rovnoměrnou rychlostí odpovídající konečné rychlosti při pohybu nerovnoměrném. A tedy tento pohyb jako celek bude odpovídat průměrné rychlosti, která je přesně jednou polovinou rychlosti konečné.“ (In Weinberg 2016 s. 152–153).

Jestliže jsou „vzorce“ tak důležité pro rozvoj fyziky právě pro svou schopnost jednoduše a jasně popsat matematické vztahy v rámci fyzikální teorie, není možné tuhle klíčovou oblast opomíjet v rámci vyučování. S odkazem na vlastní praxi učitele fyziky jsem dospěl k následující taxonomii úrovně pochopení fyzikálních vztahů u žáků, která má tři úrovně: nultou, aplikační a uvědomělou.

Na nulté úrovni je vedle případné neznalosti daného vztahu i naprosté nepochopení jeho významu. Žák se například vztah pamětně naučí, ale nemá tušení, co znamenají jednotlivé symboly a co má s daným vztahem dělat. Jako svoji trpkou zkušenost uvedu skutečný příklad z vyučování. Když jsem v jedné třídě probíral učivo „hustota látky“ a uvedl jsem příslušný matematický vztah, napůl žertem jsem žákům poskytl mnemotechnickou pomůcku, že daný vztah (s trochou fantazie) připomíná zmrzlinu: m v čitateli představuje kopečky zmrzliny a velké V ve jmenovateli zase kornoutek.

 Když jsem potom v testové otázce požadoval formulaci daného vztahu, dostalo se mi hned několika odpovědí následujícího tvaru:

S mnemotechnickými pomůckami je třeba nakládat mimořádně opatrně.

Na úrovni aplikace si žáci nejen pamatují vztah a dokáží pojmenovat jednotlivé veličiny ve vztahu (popřípadě k nim přiřadit příslušné jednotky), ale dokáží rovněž do proměnných ve vztahu (tedy veličin) dosadit číselné hodnoty a dopočítat se správného výsledku. V takovém případě už žák může v rámci předmětu fyzika dosáhnout značných úspěchů. Pokud ovšem pojímá daný vztah pouze jako jakousi „tajemnou formuli“, kterou sice umí správně použít, ale stále jí nerozumí, nemůžeme hovořit o tom, že by dosáhl nějaké hlubší fyzikální znalosti. Je v situaci, kdy na místo fyzikální analýzy hledá „správný vzorec“ (srv. Janás 1996 s. 46, 55).

Na uvědomělé úrovni žák dokáže příslušný fyzikální vztah nejen použít, ale také dobře rozumí jeho matematickému smyslu. Z formálního zápisu vztahu rozpozná druh závislostí mezi jednotlivými proměnnými (veličinami). V ideálním případě pak dokáže načrtnout i tvar grafu příslušné závislosti.

V rámci fyziky na základní škole se žáci seznamují téměř výhradně se vztahy vyjadřujícími přímou nebo nepřímou úměrnost (jde vlastně o aplikaci funkcí přímé a nepřímé úměrnosti), což je také učivo matematiky druhého stupně základní školy. V rámci předmětu matematika se obvykle žáci seznamují s nejrozmanitějšími příklady aplikace těchto vztahů v běžném životě. Obávám se však, že není často kladen důraz na propojení tohoto učiva s fyzikou, jakkoli je právě toto učivo klíčové pro pochopení smyslu fyzikálních vztahů. Navíc je běžné, že s prvními fyzikálními vztahy se žáci v rámci fyziky seznámí dříve, než s přímou a nepřímou úměrností v matematice (například vztah pro výpočet hustoty je běžné zařazovat v rámci ŠVP do obsahu fyziky pro šestý ročník, zatímco přímá a nepřímá úměrnost se obvykle v matematice učí v sedmém ročníku a funkce až v ročníku devátém).

Jak mají tedy žáci k „vzorečkům“ přistupovat?

Můj názor je, že by se měli pokusit na fyzikální vztahy sami přijít. To je samozřejmě dost problematický požadavek, když připomenu, že první fyzikální vzorec se podařilo zformulovat až geniálnímu přírodovědci Galileimu. Ale myslím, že je třeba využít toho, že vztahy v základoškolské fyzice jsou si většinou dost podobné, a při opakovaném vysvětlování je třeba neustále zdůrazňovat, co platí pro přímou úměrnost: Tedy kolikrát se hodnota příslušné veličiny zvětší (zmenší), tolikrát se zvětší (zmenší) i hodnota vyjádřené (závislé) veličiny. Podobně přistupovat i k nepřímé úměrnosti. Nyní uvedu příklady dvou vztahů ve stejném matematickém tvaru:

Vztah pro výpočet hustoty se učiteli dobře uvádí, když si jako pomůcku vezme starou houbu na tabuli. Nejdříve učitel ukazuje houbu tak, jak je. Potom nechá houbu nasát vodou a znovu ji předvede žákům. Je zřejmé, že se zvětšila hmotnost houby, ale objem houby zůstal stejný (objem je konstanta). Žáci usoudí, že houba nasáklá vodou je „hustší“ než houba vyplněná jen vzduchem. Jestliže zvětšíme hmotnost tělesa při konstantním objemu, zvětší se také jeho hustota. Potom učitel předvede suchou houbu. Nejdříve ji ukáže tak, jak je, a potom ji stlačí. V tomto případě je konstantní hmotnost (samozřejmě pouze když zanedbáme hmotnost ušlého vzduchu). Žáci usoudí, že houba stlačená do malého objemu je „hustší“. Jestliže tedy zmenšíme objem tělesa při konstantní hmotnosti, zvětší se hustota tělesa. Tato komentovaná ukázka může pomoci k porozumění matematického vztahu:

Při konstantním objemu V platí, že kolikrát se zvětší (zmenší) čitatel (hmotnost m), tolikrát větší (menší) bude vyjádřená hustota ρ.

Při konstantní hmotnosti m platí, že kolikrát se zvětší (zmenší) jmenovatel V, tolikrát menší (větší) bude vyjádřená hustota ρ.

Příkladem dalšího „vzorce“ je jeden ze vztahů pro výpočet výkonu. Uvedení vzorce vychází z oblíbené analogie představy „výkonného zaměstnance“: Kolikrát víc práce za daný čas (čas je konstanta) vykoná, tolikrát je výkonnější. Nebo také: Kolikrát bude kratší čas, za který danou práci vykoná (práce je konstanta), tolikrát bude výkonnější.

Kolikrát se zvětší (zmenší) čitatel W, tolikrát se zvětší (zmenší) P.

Kolikrát se zvětší (zmenší) jmenovatel t, tolikrát se zmenší (zvětší) P.      

Jednoduchých fyzikálních vztahů, které mají stejný (nebo podobně jednoduchý) matematický tvar jako vztahy výše uvedené, je ve fyzice základní školy velké množství. Pro motivaci k pochopení užitečnosti „vzorečků“ možná není špatné čas od času předvést žákům matematickou závislost mezi veličinami verbální formou. Je důležité, aby fyzikální vztahy nebyly žáky vnímány jako nějaké tajemné formule, jejichž smysl je přístupný pouze „geniálním vědcům“, ale aby naopak dospěli k jasné představě jednoduchého matematického vztahu mezi veličinami.

Literatura a použité zdroje

WEINBERG, S. Jak vyložit svět (objevování moderní vědy). 1. vyd. Bratislava: Slovart, 2016. 430 s. ISBN 978-80-7529-008-3.

HAWKING, S. Stručná historie času. 2. vyd. Praha: Argo, 2007. ISBN 978-80-7203-946-3.

JANÁS, J. Kapitoly z didaktiky fyziky. Brno: Pedagogická fakulta MU, 1996. ISBN 80-210-1334-6.

OKASHA, S. Philosophy of science (A very short introduction). Oxford: Oxford university press, 2002. ISBN 10: 0-19-280283-6.

MLODINOW, L. Eukleidovo okno. Praha: Slovart, 2007. ISBN 978-80-7209-900.