Vzájemná odchylka vektorů gravitační a tíhové síly

První moje odpověď byla taková, která se opírá o 12letou praxi a fyzikální zkušenost: „Velmi malý.“ Jak jsem doufal, žák mou odpověď vzal jako sice správnou, ale spíše humornou odpověď. „To je mi jasné, ale dalo by se to nějak spočítat,“ ptal se dál. „Nevím, ale můžeme to zkusit vymyslet, ne?“ odpověděl jsem a neměl naprosto žádnou představu o tom, co a jak vyjde.

Vyznačili jsme si do obrázku, který na tabuli ještě zůstal, hledaný úhel a já v ten okamžik už věděl, že bez sinové věty se nám řešení nalézt nepodaří. Proto jsem řekl, že pravděpodobně budu muset prozradit něco z matematiky, co ještě neprobírali. Ale i to žáci jsou zvyklí akceptovat: Když přijde nestandardní dotaz, většinou je zapotřebí se ponořit hlouběji buď do fyziky, nebo matematiky, chceme-li se dobrat nějakého výsledku. A tak jsme postupně začali odvozovat a upravovat vztahy, které vyplynuly z fyzikálního rozboru situace a jejího matematického popisu.

Nakonec jsme dospěli k výrazu, který nebylo možné dále upravit. Nicméně to byl výraz, který jsme hledali: Na jeho levé straně byla funkce hledaného úhlu (a tento úhel bylo možné lehce vyjádřit) a na pravé straně řada konstant popisujících náš problém – včetně zeměpisné šířky, v závislosti na které jsme hledaný úhel odvozovali.

Spustil jsem tedy na počítači programový systém Mathematica, na který má škola neomezenou licenci i pro všechny žáky, odvozený vztah přepsal jako funkci, kterou jsem nechal vykreslit. A výsledek byl hotov. Pochopitelně následovala diskuze nad věrohodností grafu, zda je kvalitativně dobře, zda odpovídá dané fyzikální situaci… Současně s tím jsem žáky upozornil na to, aby si uvědomili, jak jsou gravitační síla, tíhová síla a setrvačná odstředivá síla zakreslovány v této souvislosti v učebnicích a studijních textech. Aby bylo možné tíhovou a gravitační sílu od sebe rozumně odlišit, je velikost odstředivé síly v nepoměru s velikostí gravitační síly. Ale málokterý text, v němž se obrázek s těmito třemi silami vyskytuje, upozorní na fakt, že obrázek není nakreslen ve správném poměru.

Právě popsaný výpočet spolu s diskuzí trval dohromady asi 20 až 25 minut a je pravda, že byl přerušen koncem hodiny. Do další hodiny fyziky, kterou jsem v dané třídě měl, jsem si doma ověřil, že výpočet povede ke zdárnému konci i jak bude vypadat graf. Vzhledem k tomu, že v programovém systému Mathematica již nějakou dobu pracuji, doma vytvořený notebook jsem si do školy nebral, protože těch pár řádek kódu jsem chtěl cíleně napsat před žáky přímo ve třídě a komentovat tak, co právě píšu a jak to souvisí s naším výpočtem.

O několik týdnů později jsem pak tuto úlohu předložil žákům čtvrtých ročníků jak v předmětu Fyzika, tak v předmětu Aplikovaná matematika, který už několik let v rámci volitelného předmětu ve čtvrtém ročníku učím. Doba na výpočet byla zhruba stejná jako se žáky v prvním ročníku, protože občas bylo nutné vzpomenout na některé vztahy z již dříve probírané goniometrie nebo z fyziky prvního ročníku.

Jsem přesvědčen, že tato úloha má svůj význam a smysl, protože propojuje nenásilným způsobem matematiku a fyziku a ukazuje provázanost obou těchto disciplín. Navíc takové úlohy obohacují i mě, protože mě nutí podívat se na známá fakta novým způsobem. Nemluvě o tom, že diskuzí nad podobnými úlohami se většinou zúčastňují i ti žáci, kteří za běžných podmínek k těm aktivním nepatří. Při řešení této úlohy jsme společně se žáky zopakovali (resp. k výpočtu použili) tato témata:

1. odstředivá síla, gravitační síla, tíhová síla;
2. závislost odstředivé síly na zeměpisné šířce;
3. algebraické úpravy výrazů;
4. goniometrie (vlastnosti funkce sinus, sinová věta, vztah pro sinus součtu dvou úhlů);
5. definiční obor funkcí (lineárně lomená funkce, funkce kotangens, cyklometrické funkce);
6. graf funkce, jeho vlastnosti a fyzikální interpretace. 

Fyzikální rozbor a vlastní řešení úlohy, jejíž zadání bylo sestaveno na základě dotazu žáka prvního ročníku Střední průmyslové školy sdělovací techniky v Panské ulici v Praze, je uvedeno v příloze. Tuto formu publikace příspěvku jsem zvolil proto, že ve vytvořeném souboru bylo možné používat zápis rovnic, číslování obrázků a matematických vztahů a je zaručeno, že se všem uživatelům zobrazí text správně.

Druhou přílohou je notebook programového systému Mathematica (soubor se zdrojovým kódem), v němž jsou uvedeny příkazy vedoucí k vykreslení grafu funkce, jejíž předpis je v první příloze odvozen.

Použití systému Mathematica má také tu výhodu, že lze velmi snadno modifikovat původní úlohu a po drobných změnách ve zdrojovém kódu opět rychle získat řešení upravené úlohy.

Literatura a použité zdroje

REICHL, Jaroslav. Mathematica – fórum [online]. [cit. 2011-07-20]. Dostupné z: http://mathematica-forum.cz/.