Součástí aktivity je práce s fyzickou pomůckou a následné modelování v programu GeoGebra. Žáci nejdříve vizualizují výšky v trojúhelníku s ryskou, poté vytvoří dynamický počítačový model, který využívají k modelování různých situací a ověřování vlastních hypotéz o vlastnostech výšek v trojúhelníku. Dynamické modelování usnadní žákům chápání výšky ve smyslu vzdálenosti.
Cíl výuky
Žák/žákyně
názorně pracuje s fyzickým modelem pravoúhlého trojúhelníku;
vytvoří počítačový dynamický model výšek v trojúhelníku;
na základě experimentování s dynamickým modelem odhalí odlišnosti výšek v různých typech trojúhelníků;
rozlišuje pojetí výšky jako kolmice (přímky) a vzdálenosti (délky úsečky);
objeví společný bod výšek – ortocentrum;
aktivně využívá měřicí (Vzdálenost, Úhel) a ověřovací (Vztah mezi objekty) nástroje programu GeoGebra;
dokáže změnit nastavení vlastností objektu (změna barvy, změna stylu čáry) zobrazit/skrýt objekt a aktivovat nástroj Stopa objektu.
Základní údaje
Stupeň vzdělávání: 2. stupeň ZŠ, odpovídající ročník víceletého gymnázia
k tvorbě počítačového dynamického modelu, k objevení ortocentra na základě experimentální práce s tímto modelem; k využívání ověřovacích nástrojů programu k potvrzení/vyvrácení vlastní hypotézy o výšce v trojúhelníku
Pomůcky, hardware, software
Žák/yně: PC nebo tablet s připojením na internet, trojúhelník s ryskou, další pravítko (může být i trojúhelník)
Učitel/ka: PC s připojením na internet, dataprojektor, velký trojúhelník s ryskou
praktické zkušenosti s použitím rysky k sestrojení kolmice
aktivní užívání označení trojúhelníků: ostroúhlý, pravoúhlý, tupoúhlý
Digitální
ovládání jednoduchých konstrukčních nástrojů programu GeoGebra (nástroje Mnohoúhelník, Kolmice, Průsečík, Nastavení vlastností objektu)
Přínos využití digitálních technologií
Modelování v počítačovém prostředí dynamické geometrie umožní názorně ukázat existenci a polohu ortocentra ve všech typech trojúhelníků.
Metodická poznámka
Výuku začneme modelováním s pravoúhlým trojúhelníkem s ryskou, aby žáci pochopili pojem výška jako nejkratší možnou vzdálenost vrcholu od protější strany (přímky).
Pak se pustíme do konstrukce v programu GeoGebra. V úloze 1 upevňujeme význam výšky jako kolmice ke straně a zkoumáme polohu těchto přímek v různých typech trojúhelníků kategorizovaných podle velikosti vnitřních úhlů.
Ve vytvořeném modelu v programu GeoGebra pokračujeme s řešením úlohy 2, ve které pracujeme s výškou především jako s délkou úsečky, a sice zatím jen v ostroúhlém trojúhelníku. Žáci využijí měřicí nástroje Vzdálenost ke stanovení velikosti výšky a Velikost úhlu k ověření, že sestrojili správně kolmici. Poté modelují různé případy trojúhelníků a zjišťují, co se děje s výškami (úsečkami). Úlohu je vhodné zakončit otázkou: „Dokážeme v programu GeoGebra provést konstrukci tak, aby se výšky jako úsečky zobrazovaly i v tupoúhlém trojúhelníku?“. Odpověď zní „ano“. Žáci si konstrukci samostatně vyzkouší ve třetí úloze. Můžeme žáky informovat, že existují i jiné typy geometrických dynamických programů a některé z nich výšky zobrazují u všech typů trojúhelníků (například Sketchometry).
V závěru hodiny je třeba zjištěné informace o výškách shrnout a stručně zapsat.
Popis vzdělávací aktivity
Hodinu začneme manipulací s trojúhelníkem s ryskou. Postavíme-li ho na lavici nejdelší stranou, jeden z vrcholů směřuje nahoru, nad rovinu lavice (stolu). Můžeme hovořit o tom, že zmíněný vrchol leží v určité „výšce“ nejen od pracovní desky, ale také od jedné (v našem případě nejdelší) strany trojúhelníku. Právě tuto vzdálenost nám prezentuje ryska. Vezmeme druhé pravítko a změříme její délku. Vychází asi 12,5 cm. K čemu rysku vyznačenou v trojúhelníku využíváme? Ke konstrukci kolmice. Nyní můžeme zavést pojem výška v trojúhelníku jako nejkratší možnou vzdálenost vrcholu od protější strany (přímky). Necháme žáky postavit trojúhelník tak, abychom viděli vzdálenost dalšího vrcholu trojúhelníku od protější strany, a opět vzdálenost změříme (přibližně 17,6 cm).
Úloha 1 - Výška jako kolmice
Užitím nástroje Mnohoúhelník sestrojte v programu GeoGebra ostroúhlý trojúhelník ABC.
Užitím nástroje Kolmice sestrojte všechny výšky jako přímky. Co zajímavého pozorujete?
Měňte polohu vrcholů trojúhelníku tak, abyste modelovali různé typy trojúhelníků (ostroúhlý, pravoúhlý – odhadem, tupoúhlý). Diskutujte o jednotlivých situacích z pohledu vlastností (poloha, společný bod) výšek trojúhelníku. Která z vypozorovaných vlastností výšek zůstává vždy zachována?
Ověřte užitím nástrojů Průsečík a Vztah mezi objekty, že se všechny výšky protínají v jediném bodě.
Řešení
Výšky zde chápeme jako přímky, které se vždy protínají v jednom bodě, tzv. ortocentru. Ověření provedeme sestrojením společného průsečíku dvou výšek a prostřednictvím nástroje Vztah mezi objekty se programu „zeptáme“, zda tento bod leží i na třetí výšce.
Úloha 2 - Výška jako vzdálenost
V obrázku sestrojeném v úloze 1 vymodelujte ostroúhlý trojúhelník a postupně sestrojte Průsečíky každé strany trojúhelníku s kolmicí. Pokud při konstrukci postupujeme v abecedním pořadí vrcholů (počínaje průsečíkem kolmice na stranu a), paty kolmic se všem pojmenují stejně (body D, E, F v obrázku 1). Obrázek 1 - Sestrojení pat kolmic
Kliknutím na „kolečko“ v algebraickém okně postupně skryjte všechny tři kolmice. Následně spojte úsečkou každý vrchol s protilehlou patou kolmice. Pokud postupujeme v abecedním pořadí vrcholů trojúhelníku, úsečky se označí všem uživatelům stejně (úsečky i, j, k). Navíc se v algebraickém okně zobrazí i jejich délka.
Užitím nástroje Vzdálenost „přeměřte“ v nákresně délku každé výšky (úsečky) a porovnejte s hodnotou v algebraickém okně.
Užitím nástroje Úhel prověřte velikost pravého úhlu u paty každé výšky, obr. 2. Obrázek 2 - Zobrazení pravých úhlů u pat výšek
Pohybem vrcholů modelujte různé trojúhelníky a sledujte změny. Co se stane na obrázku s výškami (úsečkami) v případě, že se jedná o tupoúhlý, nebo pravoúhlý trojúhelník? Vysvětlete.
Řešení
V případě pravoúhlého trojúhelníku výšky splynou s odvěsnami. Pokud je trojúhelník tupoúhlý, výšky (úsečky) zmizí.
Úloha 3 - Konstrukce výšek (samostatná práce)
Sestrojte tři různé body (neležící v jedné přímce) a každými dvěma proložte přímku tak, že vznikne trojúhelník.
Změňte styl čar z plných na čárkované.
Užitím nástroje Kolmice sestrojte všechny tři výšky jako přímky.
Pomocí nástroje Průsečík sestrojte paty kolmic.
Přímky výšek skryjte a každý vrchol trojúhelníku spojte úsečkou s protilehlou patou kolmice.
Výšky (úsečky) obarvěte červeně.
Trojúhelník ABC zvýrazněte užitím nástroje Mnohoúhelník.
Měňte polohu vrcholů trojúhelníku a sledujte zobrazení výšek (úseček).
Řešení
Viz obrázek 3.
Obrázek 3 - Výsledek samostatné konstrukce výšek trojúhelníku ABC
Reflexe
Žáci byli z modelování v programu dynamické geometrie nadšení, zaujalo je více, než ruční rýsování. Chválili možnost rychlé opravy (využití kroku zpět) v případě, kdy udělali chybu (nemuseli gumovat). Měli pocit, že stihnou splnit více úkolů, než kdyby rýsovali ručně. Někteří uvedli, že geometrie je pro ně oblíbenější při využívání programu GeoGebra. Novým poznatkům porozuměli správně.
