K seznámení s Thaletovou větou a k její vizualizaci lze využít program GeoGebra, který je součástí aktivity navržené pro výuku matematiky na druhém stupni základní školy. Tato aktivita je založena na matematickém zkoumání a následném ověření poznatků pomocí početních a konstrukčních úloh. Pro žáky je k dispozici pracovní list s pěti úlohami týkajícími se daného tématu.
Cíl výuky
Žák manipuluje s nákresnou v aplikaci GeoGebra při zkoumání Thaletovy kružnice.
Žák hledá závislost mezi polohou bodu a úhlu vzhledem ke kružnici prostřednictvím digitálních prostředků.
Žák řeší konstrukční a početní geometrické úlohy.
Žák vizualizuje a ověřuje matematické poznatky prostřednictvím digitálních technologií.
Žák na základě zkoumání v programu GeoGebra dokáže vyslovit Thaletovu větu.
Oborové: kružnice, pravoúhlý trojúhelník, úhel, výška
Digitální: základní znalost programu GeoGebra (nákresna, příkazový řádek, úsečka, úhel, bod)
Přínos využití digitálních technologií
Hlavním přínosem využití digitálních technologií je možnost vizualizace matematických konceptů. Díky digitálním technologiím žák může v krátkém čase zkoumat několik izolovaných modelů daného problému. Prostřednictvím digitálních technologií si žák může ověřit vlastní poznatky a zjistit správnost řešení úloh sloužících k ověření poznatků.
Metodická poznámka
Aktivita je badatelsky zaměřená, učitel má v hodině roli průvodce. Lze ji využít i při opakování a automatizaci učiva.
Popis vzdělávací aktivity
Aktivita určená do výuky matematiky na druhém stupni základní školy je rozdělena na dvě části. V první části se žáci seznamují s Thaletovou větou prostřednictvím bádání v programu GeoGebra a v druhé části řeší úlohy zaměřené na její využití.
Nejdříve mají žáci za úkol vytvořit v GeoGebře několik figur dle následujících pokynů:
Sestrojte v GeoGebře:
a) libovolnou úsečku\\[ AB \\]
b) střed úsečky\\[ AB \\] (ozn.\\[ C \\])
c) kružnici nad úsečkou\\[ AB \\] (kružnice se středem v bodě\\[ C \\] a poloměrem\\[ |AC| \\])
d) libovolný bod\\[ D \\] vně dané kružnice
e) úsečky\\[ AD \\] a\\[ BD \\]
f) úhel \\[ ADB \\]
Výsledek by měl vypadat následovně:
Následně mají žáci za úkol pohybovat s bodem\\[ D \\] po nákresně a zkoumat, jak se mění velikost úhlu\\[ ADB \\]. Zjištění by měla být taková, že pokud je bod\\[ D \\] vně dané kružnice, úhel je ostrý a trojúhelník\\[ ADB \\] je ostroúhlý. Naopak pokud pohybujeme s bodem\\[ D \\] uvnitř kružnice, úhel je tupý a trojúhelník tupoúhlý. Přibližováním bodu\\[ D \\] k obvodu kružnice se úhel\\[ ADB \\] blíží k\\[ 90° \\], na obvodu kružnice je úhel rovných\\[ 90° \\]. Pokud se žákům nepovede dospět k tomuto poznatku, doplní si dle dalších pokynů další izolované modely, díky kterým dojdou k danému cíli.
Sestrojte další body\\[ E, F, G, H \\] na obvodu kružnice a k nim i příslušné úhly\\[ AEB, AFB, AGB, AHB \\]. Pokuste se zformulovat, co platí pro vzniklé trojúhelníky.
Konstrukce v GeoGebře:
Po dokončení bádání by si měl žák všimnout, že všechny vytvořené trojúhelníky jsou pravoúhlé s přeponou jakožto průměrem dané kružnice. Na základě tohoto poznatku by žáci měli být schopni s pomocí učitele vyslovit Thaletovu větu.
Thaletova věta: Všechny trojúhelníky sestrojené nad průměrem kružnice jsou pravoúhlé.
Prostřednictvím dataprojektoru může učitel žákům nasdílet i následující odkaz s animací bodu D po kružnici: Thaletova kružnice.
K ověření získaného poznatku lze využít buď konstrukčních, nebo početních úloh – dle toho, na co se chceme v dané hodině zaměřit.
Konstrukční úloha: Je dána úsečka\\[ AB \\] a bod\\[ D \\]. Sestrojte pravoúhlý trojúhelník\\[ ABC \\] tak, aby výška na stranu\\[ AB \\] procházela daným bodem.
Úlohu lze řešit buď pomocí pravítka a kružítka na papíře, nebo opět pomocí programu GeoGebra. Úloha má právě jedno řešení. Žáci mohou začít buď Thaletovou kružnicí nad úsečkou\\[ AB \\] nebo kolmicí k úsečce\\[ AB \\] procházející bodem\\[ D \\]. Hledaný bod\\[ C \\] leží na průsečíku kolmice a Thaletovy kružnice.
Početní úloha: Je dán trojúhelník\\[ ABC \\] a úhel\\[ \\beta=35° \\]. Dopočítejte velikost úhlu alfa.
Při řešení úlohy by si žák měl uvědomit to, že trojúhelníky\\[ BCS \\] a\\[ ACS \\] jsou rovnoramenné. Z toho pak vyplývá nejjednodušší možné řešení – velikost úhlu\\[ BCS \\] je také\\[ 35° \\], tudíž\\[ \\alpha=90°-35°=55° \\].
Žáci zdatnější v práci s programem GeoGebra se mohou pokusit přenést zadání do nákresny. Problematické může být pro ně sestrojení úhlu\\[ 35° \\] – po kliknutí na tlačítko Úhel dané velikosti je potřeba změnit nastavení směru úhlu – ve směru hodin.
Úlohy lze volit buď jednodušší, nebo obtížnější, dle zdatnosti žáků. Na konci hodiny by žák měl být schopen 1) vyslovit Thaletovu větu, 2) využít ji s porozuměním při řešení různých úloh. Aktivita zdůrazňuje důležitost vizualizace matematických konceptů.
Reflexe
Při pilotáži se ukázalo, že výhodou aktivity je také to, že každý žák má možnost pracovat svým tempem. Někteří žáci stihli dokonce namodelovat úlohy k ověření v GeoGebře a následně je pomocí programu vyřešit. Ostatní realizovali řešení na papíře. U slabších žáků se ukázala potřeba podrobněji vysvětlit cíl zkoumání v první části aktivity a ilustrovat manipulaci s bodem\[ D \].
