Kalkulátor je dnes běžně dostupnou a využívanou didaktickou pomůckou digitálních technologií. Aktivita prezentuje efektivní práci s nástrojem Tabulka hodnot a jeho užití při ručním sestrojení grafů funkcí.
Cíl výuky
Žák/Žákyně
správně zařadí zadanou funkci do příslušné skupiny a ví, jak bude přibližně vypadat graf,
vybere a nastaví správný režim práce kalkulátoru,
aktivně pracuje s nástrojem Tabulka hodnot (zadá předpis funkce s užitím zápisu s proměnnou, zapíše rozsah intervalu, vhodně zvolí krok dělení intervalu, operativně podle potřeby změní v tabulce funkční parametr),
výpočty na kalkulátoru využije k sestrojení grafu funkce,
intuitivně posoudí, v případě potřeby navrhne a zadá další užitečné hodnoty argumentu.
Archivní diskuze převzatá z rvp.cz. Přidávání nových komentářů není k dispozici.
Václav Votruba2. 4. 2025
Ano, hezké. Ale u maturity se tento kalkulaček používat nesmí, tudíž aby žáci měli dva typy kalkulaček.
Hana Mahnelová2. 4. 2025
Dobrý den,
Přikládám citaci z https://maturita.cermat.cz/menu/maturitni-zkouska/zkousky-spolecne-casti/matematika
„Kalkulačka by měla naopak zvládat všechny početní (aritmetické) operace (sčítání, odčítání, násobení dělení, umocňování a odmocňování), měla by počítat hodnoty elementárních funkcí (sinus, kosinus a tangens, logaritmus) a k hodnotám těchto funkcí nalézt argument (resp. hodnoty inverzních funkcí). Toleruje se mnoho dalších funkcí kalkulaček, např. práce se zlomky, částečné odmocňování (tedy úpravy aritmetických výrazů pouze s čísly), převody úhlů, výpočet faktoriálů a kombinačních čísel, statistické funkce apod.“
Na zadní straně obálky středoškolských matematických, fyzikálních a chemických tabulek od nakladatelství Prometheus je použitý kalkulátor přímo označen jako doporučený k maturitě.
Časová dotace:
Výuka: 10 min společné práce + čas k samostatnému řešení podle počtu zadaných funkcí
Příprava: 10 min
Očekávané výstupy
efektivní využívání nástroje Tabulka hodnot na kalkulátoru např. při náčrtcích grafů funkcí
Pomůcky, hardware, software
Učitel: kalkulátor s nástrojem Tabulka hodnot
Žák: kalkulátor s nástrojem Tabulka hodnot, trojúhelník s ryskou, tužka, případně podle volby funkcí šablona jejich grafů
Potřebné vstupní znalosti a dovednosti
Oborové
kategorizace a vlastnosti elementárních funkcí zadaných předpisem a znalost podoby jejich grafu
dělení dvojčlenu dvojčlenem (pro lineární lomenou funkci)
Digitální
základní ovládání kalkulátoru – výběr z nabídky výpočtového režimu (Menu-SETUP, Mode), zadávání výrazů, formát čísel
Přínos využití digitálních technologií
Ukázka efektivního použití nástroje kalkulátoru (povoleného ke státní maturitní zkoušce) k rychlému stanovení souřadnic bodů náležících grafu příslušné funkce a jejich využití při ruční konstrukci grafu.
Metodická poznámka
Žák by měl z předpisu funkce poznat, do které skupiny zadaná funkce patří a jaká křivka tvoří její graf.
Využití nástroje kalkulátoru Tabulka hodnot lze zařadit již do hodin s tématy elementárních funkcí, např. při probírání kvadratické funkce. Při vhodném zadání funkce je přínosné zkontrolovat výsledný graf pomocí šablony funkcí.
V současné době jsou nejrozšířenější kalkulátory značky Casio. Aktivita je popsána pro užití typu Casio fx-82CE X. (Pokud kalkulátor firmy Casio nemá zakončení CE, nemá režim češtiny.) I na starších modelech kalkulátorů (např. Casio fx-350ES PLUS)existuje nástroj Table (v angličtině). Zdroje obsahují také dokumenty s návodem na užití kalkulátorů typu Sharp, Canon.
První úlohu provádíme společně, druhá je příkladem pro samostatnou práci žáků.
Před začátkem aktivity doporučujeme sjednotit se žáky nastavení vstupního a výstupního formátu čísel na kalkulátoru.
Popis vzdělávací aktivity
Zadané úlohy jsou cíleny na rychlé a efektivní numerické počítání funkčních hodnot dané funkce a následné užití při ručním sestrojení grafu funkce. Žáci potřebují trojúhelník s ryskou a tužku na zakreslení souřadných os a zjištěných bodů grafu do sešitu nebo na papír. Ze zadaného předpisu funkce nejdříve určí další pomocné charakteristiky funkce potřebné k sestrojení jejího grafu (typ funkce a druh křivky tvořící graf, průsečíky s osami, asymptoty apod.). Následně pracují s kalkulátorem, z něhož získají souřadnice dalších pomocných bodů pro sestrojení grafu funkce.
Úloha 1 Praktické seznámení s nástrojem Tabulka hodnot
Nastavte na kalkulátoru režim Tabulka hodnot a s jeho užitím
určete funkční hodnoty funkce\\[ f:y=3-5x \\] v každém celočíselném bodě intervalu \\[ \\left<-5; 1\\right> \\], zjistěte \\[ f(3{,}1) \\];
u téže funkce ponechte stejný interval a nastavte krokování na hodnotu \\[ 0{,}5 \\]; sledujte, jak se rozdělil zadaný interval; přidejte novou hodnotu argumentu, např.\\[ x=25{,} 6 \\].
Řešení úlohy
a. Režim nastavíme podle návodu práce s kalkulátorem. Na kalkulátoru značky Casiofx-82CE X zvolíme v nabídce Menu ikonu 3 a potvrdíme rovnítkem. Na displeji se objeví značení \\[ f(x)= \\] , do kterého zapíšeme předpis naší funkce. Zápis proměnné\\[ x \\] provedeme pomocí červeného tlačítka \\[ \\color{red}\\textrm{Alpha} \\] a volbou červeného symbolu \\[ \\color{red} x \\]. Potvrdíme rovnítkem. Ukáže se nabídka další funkce,\\[ g(x)= \\] , kterou zatím budeme ignorovat (umožňuje zadání dvou funkcí současně, avšak ve stejném intervalu a při stejném krokování). Opět potvrdíme rovnítkem. Doplníme požadované hodnoty mezí zadaného intervalu a ponecháme nabízené krokování na jedničce. Po stisknutí tlačítka „=“ se na displeji ukáže tabulka se třemi sloupečky a v pravém dolním rohu číslo, které odpovídá hodnotě argumentu označeného kurzorem (obr. 1). Přirozená čísla v prvním sloupci určují pořadí a celkový počet hodnot argumentů odpovídající rozsahu intervalu, a délce kroku jeho dělení (v našem případě 1-7). Druhý sloupec udává číselnou hodnotu argumentu \\[ x \\] a třetí jeho funkční hodnotu \\[ f(x) \\] V tabulce se ve druhém a třetím sloupci pohybujeme pomocí šipek určujících směry doprava, doleva, nahoru, dolů. Pokud například chceme změnit hodnotu argumentu \\[ x=-3 \\] na novou \\[ x=-3{,}1 \\] , stačí kurzorem najet na příslušné číslo v tabulce a přepsat na nové. Funkční hodnota se přepíše na \\[ -14{,}3 \\] . Rovnítko zde plní funkci klávesy Enter.
Tabulka funkčních hodnot na kalkulátoru. Autor díla: Hana Mahnelová
Získali jsme tak šestici uspořádaných dvojic souřadnic bodů ležících na grafu funkce\\[ f \\]. To je možné zapsat do sešitu v podobě tabulky nebo množinou bodů.
b. Využijme tlačítko AC, kterým se vrátíme k původnímu zadání funkce. Nové krokování je dvakrát menší, proto počet argumentů a současně vypočtených funkčních hodnot bude\\[ 13 \\]. Někdy se operativně hodí zjistit funkční hodnotu izolovaného argumentu mimo zadaný interval. Tlačítkem + přidáme další řádek tabulky s dalším argumentem odpovídající krokování. Pro naši potřebu zapíšeme přímo novou hodnotu \\[ 25{,}6 \\] a po potvrzení rovnítkem se v tabulce zobrazí funkční hodnota \\[ -125 \\].
Úloha 2
Sestrojte do sešitu grafy následujících funkcí, vhodně využijte Tabulku funkčních hodnot na kalkulátoru. Tu přepište do sešitu.
\\[ f_1: y=e^x \\]
\\[ f_2:y=\\frac{2x-3}{2-3x} \\]
Řešení
a. Jedná se o rostoucí exponenciální funkci, její graf protne souřadné osy v bodě\\[ [0, 1] \\] . \\[ D(f_1)= \\mathbb{R} \\], \\[ H(f_1)=(0, \\infty) \\]. Např. při volbě intervalu \\[ \\langle{-2},{2}\\rangle \\] a krokování \\[ 0{,}5 \\] dostaneme z kalkulátoru tyto údaje:
\\[ x \\]
\\[ -2 \\]
\\[ -1{,}5 \\]
\\[ -1 \\]
\\[ -0{,}5 \\]
\\[ 0 \\]
\\[ 0{,}5 \\]
\\[ 1 \\]
\\[ 1{,}5 \\]
\\[ 2 \\]
\\[ f(x) \\]
\\[ 0{,}1353 \\]
\\[ 0{,}2231 \\]
\\[ 0{,}3678 \\]
\\[ 0{,}6065 \\]
\\[ 1 \\]
\\[ 1{,}6487 \\]
\\[ 2{,}7182 \\]
\\[ 4{,}4816 \\]
\\[ 7{,}389 \\]
Při sestrojení grafu s měřítkem 1 jednotka = 1 cm na obou osách využijeme obvykle jen přesnost čísla na jednu desetinu (obr. 2).
Ruční sestrojení grafu. Autor díla: Hana Mahnelová
b. Jedná se o lineární lomenou funkci, grafem bude hyperbola s rostoucími větvemi. Protože \\[ D(f_2)= \\mathbb{R}\\setminus\\begin{Bmatrix}-1{,}5\\end{Bmatrix} \\] má jedna asymptota rovnici \\[ x=-1{,}5 \\]. Po dělení dvojčlenů dostáváme ekvivalentní předpis funkce \\[ f(x)=1{,}5-\\frac{6{,}4}{2x+3} \\] a vidíme, že druhá asymptota je přímka o rovnici \\[ y=1{,}5 \\]. Další tabulka znázorňuje funkční hodnoty \\[ f(x) \\] pro \\[ x\\in\\langle-3,2\\rangle \\] a krokování \\[ 0{,}5 \\] :
\\[ x \\]
\\[ -3 \\]
\\[ -2{,}5 \\]
\\[ -2 \\]
\\[ -1{,}5 \\]
\\[ -1 \\]
\\[ -0{,}5 \\]
\\[ 0 \\]
\\[ 0{,}5 \\]
\\[ 1 \\]
\\[ 1{,}5 \\]
\\[ 2 \\]
\\[ f(x) \\]
\\[ 3{,}6666 \\]
\\[ 4{,}75 \\]
\\[ 8 \\]
ER
\\[ -5 \\]
\\[ -1{,}75 \\]
\\[ -0{,}666 \\]
\\[ -0{,}125 \\]
\\[ 0{,}2 \\]
\\[ 0{,}4166 \\]
\\[ 0{,}5714 \\]
Kalkulátor správně nepřiřadil žádnou funkční hodnotu argumentu, pro který není funkce definovaná. Při vlastním sestrojování grafu bude vhodné zjistit funkční hodnoty dalších bodů, jak je patrné z obrázku žákovského řešení (obr. 3).
Sestrojení grafu lineární lomené funkce. Autor díla: Hana Mahnelová
Reflexe
Osvědčilo se předem zjistit, jaké typy kalkulátorů žáci používají, a podle potřeby je rozdělit do dvojic. Stejně tak se osvědčilo i využití práce s nástrojem Tabulka hodnot při odvozování způsobu posunutí základního grafu elementární funkce.
S žáky se domluvíme na počtu desetinných míst formátu čísla v tabulce podle zvoleného měřítka na souřadných osách.
Žáci aktivitu uvítali jako „ulehčení“ své práce při sestrojování grafu do sešitu. Kontrolu zvládne vyučující v průběhu hodiny nebo žáci výsledky své práce nafotí na mobilní telefon a vloží do virtuální učebny.
Aktivitu je možné použít i při diferencované výuce, vyučující jen pozmění předpisy požadovaných funkcí podle úrovně žáků.
