Řešení problému se čtvercem

Nedávno jsem se zúčastnila vzdělávacího kurzu Cesta k dokonalému porozumění elementární matematice.¹ Prof. RNDr. Vlastimil Dlab, DrSc., F.R.S.C., nám hned na úvod zadal za domácí cvičení vyřešit následující problém:

ABCD je čtverec (v obecné poloze), jehož strana je a a p₁, p₂ jsou dvě rovnoběžky ve vzdálenosti a. Dokažte, že součet obvodů trojúhelníků AB₁D₁ a CD₂B₂ je konstantní (nezávislý na poloze čtverce ABCD).

náčrt

Podívejme se společně na tři možná řešení tohoto problému a zamysleme se nad tím, jaké znalosti je třeba předpokládat u žáků, aby mohli danou úlohu takto řešit. V první ukázce vybereme speciální polohy čtverce tak, aby řešení bylo velmi jednoduché. V druhé a třetí ukázce se již budeme zabývat obecnou polohou čtverce.

Řešení pythagorejské
Řešení goniometrické²Řešení geometrické