Tento materiál pochází ze staršího archivu rvp.cz a už není součástí aktuální nabídky. Uchováváme ho, aby na něj dál vedly původní odkazy.
Odborný článek
Příklady z finanční matematiky v základních a středních školách
5,0 (1 hodnocení)
V posledních letech je ve školství stále více kladen důraz na finanční gramotnost žáků základních a středních škol. Základy finanční matematiky jsou postupně implementovány do programu nejen škol ekonomicky zaměřených. Výběr úloh, jejich formulace i způsob řešení je na jednotlivých stupních silně ovlivněn úrovní znalostí matematiky, stupněm abstraktního myšlení i možnostmi numerických výpočtů (kalkulačka, PC).
Řešení úloh v základních školách
V základních školách jsou především řešeny příklady týkající se procentového počtu [2, 5]. Kromě jednoduchých úloh na výpočet původní ceny zboží (procentového základu) je možno použít i komplikovanější zadání.
Příklad 1.
Cena jednoho kilogramu rýže je 25 Kč. Tato cena byla snížena o 5 %. Poté byla cena rýže zvýšena o 8 %. O kolik procent se po těchto úpravách změnila původní cena rýže? Je koncová cena vyšší nebo nižší než cena původní?
původní cena 100 % ... 25 Kč výsledná cena x % ... 25,65 Kč x = (25,65 · 100) : 25 = 102,6 (%)
Původní cena rýže se změnila o 2,6 %. Koncová cena rýže je vyšší o 2,6 % než cena původní.
Dalším typem úloh je výpočet úroku připsaného za jeden rok, s případným zdaněním úroku. Setkáme se i úlohami, kdy se vklad nechá úročit i dva roky [3, 5].
Do banky uložíme na počátku roku částku 8 000 Kč. Jaký úrok nám vyplatí banka na konci druhého úrokovacího období při 2% úrokové míře, která zůstává po celou dobu neměnná?
Během celé doby žádné peníze nevybíráme ani další nevkládáme. Úrok je zdaněn 15 % a banka úročí jednou ročně. Úrok je za první rok se po zdanění přičítá ke vložené částce a spolu s ní se dále úročí (jedná se tedy o složené úročení) .
Rozdíl stavu na konci druhého roku a vkladu: (8 274,312 - 8 000) Kč = 274, 312 Kč
Banka nám vyplatí za 2 roky úrok v částce (po zaokrouhlení na celé koruny) 274 Kč.
Řešení úloh je většinou popisné, názorné, odpovídá "matematické zručnosti" žáků. Avšak již i na této úrovni se setkáme hledáním „obecného řešení“ reprezentovaného vzorci, minimálně jsou příslušné vzorce pro hledání úroku uvedeny v učebnici.
Řešení úloh ve středních školách
Ve středních školách jsou již žáci schopni abstraktnějších úvah, takže Příklad 1. může být přeformulován na Příklad 1a.
Příklad 1a.
Cena rýže byla snížena o 5 %. Poté byla cena rýže zvýšena o 8 %. O kolik procent se po těchto úpravách změnila původní cena rýže? Je koncová cena vyšší nebo nižší než cena původní?
Řešení:
původní cena ......... c0 cena po zlevnění ..... c1 = c0 - 0,05 c0 = 0,95 c0 cena po zdražení ..... c2 = c1 + 0,08 c1 = 1,08 c1 = 1,08 · 0,95 c0 = 1,026 c0
Původní cena rýže se změnila o 2,6 %. Koncová cena rýže je vyšší o 2,6 % než cena původní.
Žáci se mohou přesvědčit, že procentové zvýšení či snížení ceny nezávisí na počáteční ceně. Mohou si tak sami odvodit obecný vzorec
Praxe z působení v SŠ a z opravy podobných úloh z přijímacích testů ukazuje, že počítání s neznámou vstupní hodnotou činí velké většině žáků potíže, pokud se nejedná jen o dosazení do vzorce.
Úlohy spojené s finanční matematikou se objevují jako úlohy demonstrující praktické využití geometrické posloupnosti. Jedná se opět o úlohy na složené úročení, případně rozšířené o započítání daně z úroku. Žáci pak řeší Příklad 2. rychleji, přičemž se opět snaží najít obecný algoritmus výpočtu.
Příklad 2 a. (SŠ) Složené úročení
Do banky uložíme na počátku roku částku 8 000 Kč. Jaký úrok nám vyplatí banka na konci druhého úrokovacího období při 2% úrokové míře, která zůstává po celou dobu neměnná?
Během celé doby žádné peníze nevybíráme ani další nevkládáme. Úrok je zdaněn 15 % a banka úročí jednou ročně. Úrok je za první rok se po zdanění přičítá ke vložené částce a spolu s ní se dále úročí (jedná se tedy o složené úročení).
Řešení:
1. rok
vklad K0 = 8 000 Kč
zůstatek na konci 1. roku po připsání zdaněného úroku
K1 = K0 + 0,02 K0 - 0,15 (0,02 K0) = 1,017 K0
2. rok
vklad K1 = 1,017 K0
zůstatek na konci 2. roku po připsání zdaněného úroku
Úrok vyplacený bankou za dva roky je (po zaokrouhlení na celé koruny) 274 Kč.
Žáci si tak sami odvodí vzorce pro kapitál Kna úrok Unpo n letech složeného úročení, kdy se předpokládá, že se po celou dobu žádné částky z vloženého kapitálu ani úroku nevybírají [1]:
(1) Kn= K0(1 + k i )n
(2) Un = K0 [(1 + k i )n -1]
kde k je zdaňovací koeficient vyjádřený desetinným číslem, i je úroková míra vyjádřená desetinným číslem, K0 je počáteční kapitál, n je počet let, po který se kapitál úročí. Vzorce (1) a (2) platí jen v případě, kdy úrokovací období je jeden rok.
Řešení složitějších úloh pro seminář
Úlohy z finanční matematiky zadávané v rámci výběrových seminářů se z hlediska matematiky příliš neliší od úloh řešených v klasických hodinách ve středních školách. Přirozeně se zde klade větší důraz na používání obecných vztahů. Příklady více kopírují praxi (např. úroková míra není během roku konstantní, může docházet v průběhu roku k výběrům, i ke vkladům), čímž se stávají složitějšími pro konkrétní numerické výpočty. Matematická gramotnost již žákům umožňuje vyjádřit libovolnou neznámou ze základních vzorců (1) a (2), takže se rozšiřuje i oblast řešených úloh. Důslednými úpravami obecných vztahů jsou žáci schopni rozlišit nutné a nadbytečné vstupní údaje pro konkrétní zadání.
Příklad 3.
Jaké čisté míry výnosnosti kapitálu dosáhne klient, jestliže uložil na počátku roku částku 100 000 Kč na šestiměsíční termínovaný vklad při 2% roční úrokové míře a v polovině roku kapitál včetně vyplacených úroků znovu okamžitě uložil na šestiměsíční termínovaný vklad při 2,5% roční úrokové míře? Úroky z vkladů podléhají dani z příjmů, vybírané srážkou ve výši 15 % [4].
Čistá míra výnosnosti je procentní zhodnocení kapitálu při započítání zdanění za dané období neboli o kolik procent se nám kapitál skutečně zhodnotí za dané období.
Z tohoto vztahu lze soudit, že pokud budeme počítat čistou míru výnosnosti, tak zjistíme, že tato veličina nezávisí na výši počátečního vkladu.
Závěr
Konkrétní způsob řešení identických úloh z finanční matematiky závisí na stupni matematické gramotnosti řešitele. Ze zkušenosti můžeme uvést fakt, že žáci z obchodních akademií obvykle nemají až takovou zručnost v úpravě algebraických výrazů. Zanedbatelnou také není příprava žáků ve středních školách v „inteligentním“ používání kalkulaček. Neustále se setkáváme s jejich potížemi kvalitně využívat kalkulačky při běžných výpočtech. Je s politováním, že nemají schopnost řešení složitějších výpočtů pomocí kalkulaček s jednoduchými funkcemi.
ustavil nově
Literatura a použité zdroje
ODVÁRKO, Oldřich. Posloupnosti a finanční matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2002. 123 s. ISBN 978-80-7196-239-7.
ODVÁRKO, Oldřich. Matematika [2] pro 7. ročník základní školy: Poměr Přímá a nepřímá úměrnost Procenta. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1999. 84 s. ISBN 80-7196-126-4.
ODVÁRKO, Oldřich. Matematika [3] pro 9. ročník základní školy: Jehlan, kužel, koule Finanční matematika. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2001. 80 s. ISBN 80-7196-212-0.
RADOVÁ, Jarmila; DVOŘÁK, Petr. Finanční matematika pro každého. 4. vyd. Praha: GRADA Publishing, 2003. 259 s. ISBN 80-247-0473-0.
ROSECKÁ, Zdena. Jak počítat s procenty. 1. vyd. Brno: NOVÁ ŠKOLA, 2008. 40 s. ISBN 80-85607-73-5.
