Výuková aktivita obsahuje tři úlohy, ve kterých žáci rozvíjí své představy o velkých a malých číslech, zapisují je ve vědeckém formátu (Scientific), porovnávají je a procvičují počítání s nimi s využitím tabulkového procesoru (např. MS Excel nebo LO Calc) a kalkulátoru. Pracují s reálnými údaji hmotností, které si vyhledají. To vše na pozadí historického dogmatu sedmi planet a sedmi kovů. Výuková aktivita svým námětem přesahuje do předmětů dějepis, chemie, fyzika.
Cíl výuky
Žák/žákyně
vyhledá potřebná data a informace o hmotnostech objektů na internetu,
sestaví tabulku přehledu hmotností v tabulkovém procesoru, využije jeho nástroje k seřazení číselných hodnot podle velikosti,
umí zapsat čísla ve vědeckém formátu do tabulkového procesoru a do kalkulátoru,
aktivně využívá tvorbu vzorce v tabulkovém procesoru ke zjištění dalších požadovaných hodnot,
ověřuje správnost svých výpočtů v tabulkovém procesoru pomocí kalkulátoru,
rozvíjí svoji představu o malých a velkých číslech, porovnává je mezi sebou, k výpočtům efektivně využívá digitální prostředky,
vyhodnotí jako účelné zavedení veličiny relativní atomová hmotnost.
MIKULČÁK, Jiří. Matematické, fyzikální a chemické tabulky a vzorce pro střední školy. Praha: Prometheus, 2023. ISBN 987-80-7196-560-2.
Potřebné vstupní znalosti a dovednosti
Oborové
Znalost vědeckého způsobu zápisu čísla.
Porozumění pojmu relativní atomová hmotnost (pro poslední úlohu).
Digitální
Základní práce s tabulkovým procesorem (zápis čísla v „E-formě“, formátování tabulky, tvorba vzorce).
Zadávání čísla ve vědeckém formátu do kalkulačky.
Přínos využití digitálních technologií
Zdroj dat a informací, efektivní nástroje pro počítání s extrémně velkými a malými čísly.
Metodická poznámka
Žáky důsledně vedeme k používání vědeckého zápisu čísla v tzv. „E-formě“. Při zapisování do tabulkového procesoru není nutné použít velké písmeno, software si ho sám přepíše. Je rozumné se předem domluvit na počtu platných desetinných míst v zápisech čísel.
Vyhledat na internetu hodnoty atomových hmotností prvků v kilogramech není úplně jednoduché. Pokud vyučující nechce ztrácet čas, doporučí např. vyhledávač Wolfram Alpha, v anglické verzi stačí zadat kupříkladu „atomic mass of Hg“ a mezi nabízenými údaji se také zobrazí hmotnost atomu rtuti v kilogramech (obr. 1, pro zvětšení klikněte na obrázek).
Obrázek 1 – Vyhledání atomové hmotnosti rtuti ve Wolfram Alpha
V první hodině žáci řeší pouze úlohu 1 a vypracování si uloží pro další použití. Druhá ani třetí hodina nemusí bezprostředně navazovat na předchozí. Je možné je zrealizovat i s odstupem. Lze se domluvit s vyučujícím chemie a třetí úlohu řešit v rámci hodiny chemie. Zadání pro žáky je obsaženo v příloze, kterou je možné vytisknout.
K uspořádání číselných hodnot podle velikosti využíváme nástrojů tabulkového procesoru.
Po každém uspořádání čísel podle velikosti necháme žáky ústně vysvětlit, jak se mění mantisa seřazených čísel a jak exponent.
Při řešení druhého úkolu můžeme žáky rozdělit na dvě skupiny A, B. Jedna se bude zabývat otázkami s lichým označením, druhá s označením sudým. Od žáků požadujeme kontrolu výpočtů v tabulkovém procesoru užitím kalkulátoru. Upozorníme žáky, že je také vhodné předem zkusit odhadnout výsledek.
Před třetí úlohou se žáky krátce diskutujeme o jejich představě o velikosti takových čísel a jejich úspěšnosti v odhadech. Diskuse se stává motivací k poslední úloze.
V případě potřeby žáci vyhledají na internetu informace o způsobu výpočtu relativní atomové hmotnosti.
K porovnání hodnot relativních atomových hmotností je rychlejší mít u sebe papírovou verzi periodické tabulky prvků.
Pozor, relativní atomová hmotnost je bezrozměrná veličina.
Popis vzdělávací aktivity
Aktivita obsahuje tři úlohy. První a druhá úloha cílí na zápis velkých a malých čísel a jednoduché počítání s nimi s využitím digitálních technologií. V poslední úloze žáci pracují výhradně s malými čísly, vyjadřujícími atomové hmotnosti vybraných kovů v kilogramech, hodnoty přepočítávají na relativní atomové hmotnosti a porovnávají s tabelovanými. Vzorová řešení jsou vytvořena v prostředí MS Excel.
Motivace
Už v helénistickém období se v Egyptě začalo formulovat dogma sedmi planet a sedmi kovů, jakási harmonická souvislost mezi kovem (zlato, stříbro, měď, železo, cín, olovo a rtuť) a planetou. To však způsobilo, že alchymisté nepřipouštěli po dobu dlouhých téměř 2 000 let existenci jiného kovu, přesto, že odpradávna byly používány např. zinek, bismut nebo antimon. V době vzniku dogmatu bylo známo pouze pět skutečných planet (Venuše, Mars, Jupiter, Saturn, Merkur) a k nim přidány Slunce a Měsíc (za centrum celého vesmíru byla považována Země), obr. 2. Také my nadále budeme hovořit o těchto objektech jako o „sedmi planetách“. Slunce, díky své žluté barvě, bylo spojováno se zlatem, Měsíc se stříbrem, Venuši byla přiřazena měď, Marsu železo, Jupiteru cín, Saturnu olovo a Merkuru rtuť. Podívejme se, jakými čísly můžeme vyjádřit jejich hmotnosti, jak je v digitálním prostředí zapisujeme a jak s nimi užitím digitálních prostředků počítáme.
Obrázek 2 - „Sedm planet“
Úloha 1 – Vědecký zápis velkých a malých čísel
Vytvořte v tabulkovém procesoru tabulku přehledu sedmi planet a jim odpovídajících kovů.
Vyhledejte hodnoty průměrných hmotností planet a atomových hmotností kovů (v obou případech v kilogramech) a zapište do tabulky.
Tabulku nejdříve uspořádejte podle rostoucí hmotnosti planety. Která z „planet“ je „nejlehčí“?
Určete, který z kovů má nejmenší atomovou hmotnost. Své tvrzení ověřte užitím nástroje tabulkového procesoru.
Vytvořený soubor uložte k dalšímu použití.
Řešení
K seřazení číselných hodnot podle velikosti využijeme například formát údajů v podobě tabulky, jejíž jeden z nástrojů toto umožňuje.
Obrázek 3 – Seřazení podle hmotností planet
Obrázek 4 – Seřazení podle atomových hmotností prvků
Nejmenší hmotnost mezi „sedmi planetami“ má Měsíc. K ověření nejmenší hodnoty atomové hmotnosti železa postačí opět využít nástroj procesoru sestupné seřazení hodnot.
Úloha 2 – Počítání s velkými a malými čísly
K odpovědím na dané otázky využijte údaje zapsané v tabulce z úkolu č. 1 a tvorbu vzorců v tabulkovém procesoru. Správnost výsledků výpočtů ověřte ještě pomocí svého kalkulátoru.
Vyjádřete přibližný poměr hmotností Saturnu a Jupiteru.
Je správné tvrzení, že Mars je přibližně dvakrát těžší než Merkur?
O kolik kilogramů bychom museli snížit hmotnost Jupiteru, abychom získali číselnou hodnotu hmotnosti Marsu?
Kolikrát je Venuše těžší než atom mědi?
O kolik kilogramů se liší hmotnost atomu železa a hmotnost atomu rtuti?
Vypočtěte podíl hmotností atomů zlata a olova, výsledek vyjádřete celým číslem a vhodně zaokrouhlete. Jaký z toho vyplývá závěr o porovnání hmotností těchto kovů?
Řešení
Vzorce v tabulkovém procesoru jsou vlastně rovnice, které provádějí výpočty s číselnými hodnotami zadanými v buňkách listu. Zápis vzorce začneme tak, že do libovolné prázdné buňky zapíšeme „=“. Pak pokračujeme algebraickým zápisem, přičemž pro použití hodnoty zapsané v jiné buňce stačí na tuto buňku kliknout. Konečný výsledek získáme pomocí tlačítka Enter.
Na kalkulátoru používáme k zadávání formátu velkých a malých čísel tlačítka \\[ \\small\\fbox{$\\times 10^x$} \\], případně odpovídající \\[ \\small\\fbox{EXP} \\]. Obě jsou obvykle umístěna v poslední řadě tlačítek uprostřed (obr. 5). Pozor na rozlišení záporného znaménka \\[ \\small (-) \\] od znaménka pro označení operace odčítání \\[ \\small - \\] .
Obrázek 5 – Využívaná tlačítka na kalkulátoru
Výsledky:
\\[ \\small1:3 \\]
Ano.
O \\[ \\small 1,90 \\cdot 10^{27}\\ \\mathrm{kg} \\].
\\[ \\small 4,59\\cdot10^{49} \\]krát.
Podíl je \\[ \\small9,51\\cdot10^{-1}\\approx1 \\]. S určitou relativní chybou jsou si tyto hmotnosti rovny.
Úloha 3 – Relativní hmotnost atomu
Abychom si zjednodušili naše představy o tak malých číslech, kterými vyjadřujeme např. atomové nebo molekulové hmotnosti, byla zavedena veličina relativní atomová hmotnost, kterou znáte z chemie (fyziky). Její jednotkou je \\[ \\small1 \\ \\mathrm{Da}=1u\\doteq1,67\\cdot10^{-27}\\ \\mathrm{kg} \\]. Přidejte ke zformované tabulce v tabulkovém procesoru další sloupec – Relativní hmotnost atomu. Vytvořte v tabulkovém procesoru vzorec, s jeho užitím vypočítejte přibližné hodnoty relativních hmotností sedmi uvedených kovů a porovnejte své výsledky s tabelovanými údaji.
Řešení
V prvním řádku posledního sloupce definujeme vzorec pomocí odkazu na buňku s hodnotou hmotnosti atomu v kg např. takto \\[ \\small =\\mathrm{J9/1,67E-27} \\]. Dvojklikem na křížek v pravém dolním rohu buňky v posledním sloupci nebo jeho přetažením zkopírujeme definovaný vzorec do celého sloupce.
Obrázek 6 – Dopočítané relativní atomové hmotnosti
Reflexe
Žáky je potřeba v průběhu první hodiny procházet a sledovat jejich počiny, protože někteří důsledně nečetli motivační text a neměli v tabulce Slunce a Měsíc nebo zaznamenávali hmotnost atomu v jednotkách u místo v kilogramech. Pár jedinců zapisovalo velká a malá čísla s použitím \[ \small\times10^{x} \] po vzoru svých kalkulátorů. Nástroje Excelu využívali většinou správně, v případě potřeby si poradili navzájem. Na konci první hodiny byla provedena společná kontrola správných odpovědí a diskuse o využitých zdrojích a případných potížích při práci s tabulkovým procesorem.
Při řešení druhé úlohy jsme u některých žáků narazili na neschopnost vyjádřit poměr, několika málo jedincům činilo potíže zmatematizovat otázky typu „o kolik“, „kolikrát“.
Třetí úlohu žáci řešili v hodině chemie, potřebný čas byl asi 20 minut včetně porovnání s tabelovanými údaji. Ve třídě, kde žáci neměli moc zkušeností pracovat s tabulkovým procesorem, bylo třeba jim ukázat efektivní způsob zadání výpočtové funkce.
