Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek

Použití ukázky je velice jednoduché, na posuvníku Number 1 zvolíte první číslo, na posuvníku Number 2 druhé. Program sám grafickou formou znázorní postup rozkladu na prvočísla, červeně označí společné faktory a vypočte největšího společného dělitele.

V této ukázce lze zadávat čísla od jedné do tisíce, výpočet je prováděn takřka okamžitě.

Obdobným způsobem jako je počítán největší společný dělitel, lze počítat i nejmenší společný násobek dvou čísel. Jediný rozdíl je v tom, že z každého prvočíselného rozkladu vybíráme do nejmenšího společného násobku ten faktor, ve kterém se nachází příslušné prvočíslo v nejvyšší mocnině. Tento postup je možné opět demonstrovat interaktivní ukázkou:

Finding the Least Common Multiple of Two Numbers by Factoring – obrázek 2 (http://demonstrations.wolfram.com/FindingTheLeastCommonMultipleOfTwoNumbersByFactoring/).

Obě interaktivní ukázky lze použít při využití interaktivní tabule, nebo pouze s pomocí počítače a dataprojektoru. Pokud to vybavení školy umožňuje, je možné dát žákům prostor, aby si sami několik úloh s pomocí těchto ukázek vypočítali. Odkazy na ukázky je také možné zveřejnit na webových stránkách školy a žáci mohou obě ukázky používat pro procvičení probírané látky a při počítání domácích úkolů.

Pokud vám přijde zadávání čísel pomocí posuvníku nepřesné nebo málo citlivé, můžete klepnutím na malé plus za posuvníkem rozbalit menu na podrobnější zadávání, které umožňuje i zadat číslo přímo z klávesnice (viz obrázek 3).

Doporučené aktivity

Využití 1 – Výklad – rozklad na prvočísla

Ukázka 1 je využita pro výklad a procvičování rozkladu čísla na prvočísla. Učitel demonstruje v průběhu výkladu rozklad čísla na prvočísla tak, že druhé číslo (Number 2) je nastaveno na nulu a nastavuje pouze první číslo. Učitel může vyzvat žáky, aby sami zadávali čísla, jejichž rozklad je následně demonstrován s pomocí interaktivní ukázky. V dalším kroku je ukázka 1 využita pro kontrolu výsledků úloh, které učitel zadává žákům.

Využití 2 – Netradiční úlohy spojené s rozkladem na prvočísla

Tato aktivita opět využívá ukázku 1 tak, že druhé číslo je nastavené na nulu. V průběhu této aktivity je vhodné, aby žáci pracovali přímo s počítačem. Učitel postupně zadává žákům úlohy typu:

a)    Nalezněte trojmístné číslo, které má alespoň tři různé dělitele.
b)    Nalezněte trojmístné číslo, které má právě tři různé prvočíselné dělitele.
c)    Nalezněte trojmístné číslo, které je součinem tří různých prvočísel.

U každé z těchto úloh je možné zadání modifikovat jak změnou počtu dělitelů, tak upřesněním intervalu, ve kterém se má požadované číslo nacházet – např. nalezněte číslo v intervalu <200,300>, které je součinem právě čtyř různých prvočísel.

Správný výsledek je třídě vždy demonstrován pomocí dataprojektoru. Žáci mohou být vyzváni, aby hledali další řešení, případně soutěžit, kdo nalezne v předem daném časovém intervalu nejvíce správných řešení.

Cílem této aktivity je přivést žáky k poznání, že požadované čísla lze sestrojit pomocí vhodné volby dělitelů. Proto je vhodné, zkusit následně žákům zadat stejné, nebo obdobné úlohy bez možnosti využít počítač.

Využití 3 – Výklad – hledání největšího společného dělitele

Ukázka 1 je využita v průběhu výkladu algoritmu hledání největšího společného dělitele. Vizualizace celého procesu umožňuje lepší pochopení a zapamatování. Využití výpočetní techniky také zvyšuje pozornost žáků. Interaktivní ukázku lze také použít pro okamžité nalezení NSD u dvojic čísel, které zadávají přímo žáci a pro kontrolu řešení úloh, zadaných vyučujícím.

Využití 4 – Netradiční úlohy spojené s NSD a NSN

Aktivita opět využívá ukázku 1 a ukázku 2. V průběhu aktivity je vhodné, aby žáci pracovali přímo s počítačem. Učitel postupně zadává žákům úlohy typu:

a)    Nalezněte dvě různá přirozená čísla menší než tisíc, jejichž největší společný dělitel je co největší.
b)    Nalezněte dvě různá čísla větší než 500, jejichž nejmenší násobek je co nejmenší.
c)    Nalezněte dvě různá čísla v intervalu <300,500>, jejichž největší společný dělitel je součinem tří různých prvočísel.
d)    Nalezněte dvě různá čísla v intervalu <300,500>, jejichž nejmenší společný násobek je součinem pěti různých prvočísel.

Správný výsledek je třídě vždy demonstrován pomocí dataprojektoru. Žáci mohou být opět vyzváni, aby hledali další řešení, případně soutěžili, kdo nalezne v předem daném časovém intervalu nejvíce správných řešení.

Euklidův algoritmus

Pro výpočet největšího společného dělitele lze kromě rozkladu na prvočísla použít také jeden z nejstarších algoritmů, které lidstvo zná – Euklidův algoritmus. Zařazení Euklidova algoritmu do výuky lze využít jak pro rozšíření tématu dělitelnosti, tak pro ukázání interdisciplinárních vazeb mezi matematikou a dalšími předměty – především vzdělávacími obory Dějepis a Zeměpis.

Euklidův algoritmus je pojmenován po řeckém filozofovi, matematikovi a geometrovi Euklidovi (řecky Εὐκλείδης, žil asi 325 př. n. l. – asi 260 př. n. l). Tento Řek s egyptskými kořeny žil v Alexandrii v Egyptě a do dějin matematiky se zapsal především svým třináctidílným pojednáním Základy, které shrnuje práci mnoha dřívějších matematiků a filozofů. Jde o zdaleka nejúspěšnější matematickou knihu všech dob, která se používala více než 2 000 let. Jejím hlavním přínosem je axiomatický pohled na matematiku. Euklides nejprve stanovil deset základních postulátů či axiomů geometrie a pak postupoval systémem „věta – důkaz” ke stále složitějším konstrukcím až po tzv. Platónská tělesa. (Na Euklidovu památku byl nazván kráter na měsíci a jedna malá planetka.)

Euklidův algoritmus nalezneme v sedmé knize a Euklides pomocí něj řeší úlohu, jak nalézt největší společnou „míru” dvou úseček.

Využití 5

Cílem aktivity je demonstrovat Euklidův postup hledání největšího společného dělitele pomocí řešení následující úlohy. Postup řešení demonstruje učitel.

Úloha

Potřebujeme oplotit zahradu obdélníkového tvaru o rozměrech 13 x 8 metrů. Naším cílem je rozmístit kůly po obvodu zahrady v pravidelných rozestupech tak, aby v každém rohu zahrady byl kůl. Cílem je nalézt co největší rozestup mezi kůly (a tedy nejmenší počet kůlů), který toto umožňuje.

Úloha je zaměřena na hledání největší společného dělitele délek stran zahrady. Kromě klasického rozkladu na prvočísla lze úlohu řešit geometricky.

V očekávaném řešení kůly vyjdou přesně do rohů zahrady. Musí se tedy nacházet i v rozích vyznačeného čtverce.

Nyní se kůly nacházejí v rozích vyznačeného čtverce, ale také v rozích nevyznačeného zbytku obdélníku.

Úvahu se čtvercovým pozemkem můžeme použít opakovaně a postupně dostáváme „zbylé” obdélníky o rozměrech 3 x 5 metrů, 3 x 2 metry a 1 x 2 metry.

Zahradu o rozměrech 2 x 1 metr lze dle požadavků oplotit kůly o vzdálenosti jeden metr. Tato vzdálenost je současně řešením i původní úlohy a zahradu o rozměrech 13 x 8 lze dle požadavků zadání oplotit kůly o vzdálenosti jeden metr a tato vzdálenost je největší možná. Což znamená, že NSD (13,8) = 1.

Následně učitel vyzve žáky, aby sami zadali dvojice čísel z intervalu 1 až 15 a demonstruje hledání největšího společného dělitele pomocí „dělení zahrady” s využitím interaktivní aplikace The Euclidean Algorithm (http://demonstrations.wolfram.com/TheEuclideanAlgorithm/). Postupné kroky se zadávají pomocí posuvníku Step In Algorithm.

Výsledky dosažené pomocí „dělení zahrady” mohou žáci porovnávat s výsledky dosaženými pomocí rozkladu na prvočísla.

Využití 6

Algoritmus představený v předchozí aktivitě je naprosto obecný. Největší společný dělitel dvou čísel lze vždy spočítat tak, že od většího čísla vždy odečteme číslo menší a tento postup opakujeme do té doby, dokud jedno z čísel není nula. Druhé číslo je největším společným dělitelem zadaných čísel.

Seznámení s tímto algoritmem lze také využít k prohloubení interdisciplinárních vazeb a připomenou žákům řeckou kulturu.

Euklidův algoritmus je sice pojmenován po Euklidovi, ale byl znám mnohem dříve (odhadem cca 300 let). Zcela jistě jej znali Eudoxos z Knidu (* asi 408 př. n. l. – † 355 př. n. l.) a Aristotelés ze Stageiry  (* asi 384 př. n. l. – † 322 př. n. l.).

(Kontrolní otázka pro žáky: „Kdo žil dříve?”)

Využití 7

Euklidův algoritmus je velice efektivní. V praxi jej lze urychlit tak, že místo opakovaného odčítání menšího čísla od většího, v každém kroku spočteme zbytek po dělení většího čísla menším. Efektivnost takového algoritmu jasně ukazuje následující interaktivní ukázka, v níž lze zadávat čísla od jedné do milionu:

Ve třídě učitel nejprve vysvětlí celý postup a vyzve žáky, aby sami volili „velká” čísla, pro něž chtějí NSD pomocí interaktivní aplikace spočítat.

Následně učitel sám zadá žákům několik úloh, které nelze efektivně řešit pomocí rozkladu na prvočísla a vyzve žáky, aby se pokusili NSD nalézt pomocí Euklidova algoritmu.

Využití 8

V rámci této aktivity žáci přímo pracují s interaktivní aplikací. Pomocí aplikací se pokouší řešit úlohu typu:
Nalezněte dvě čísla menší než tisíc (deset tisíc, …), pro něž Euklidův algoritmus skončí v největším počtu kroků.
Je možné se pokusit s žáky nalézt i odpověď na otázku, jak maximální počet kroků souvisí s délkou zadaných čísel.

Základní technické informace o využívání použitých ukázek

Všechny ukázky lze nalézt na webových stránkách programu Wolfram Demonstration Project. Na stránkách tohoto projektu se v současnosti nachází několik tisíc interaktivních ukázek (projekt byl spuštěn v polovině roku 2008). Pro jejich spuštění je potřeba nainstalovat buď program Mathematica, verze minimálně 6.0 (komerční produkt) nebo program Mathematica Player, který je dostupný po bezplatné registraci na adrese http://www.wolfram.com/products/player/download.cgi.

(Pozor, soubor ke stažení má cca 80 MB, jednotlivé ukázky pak již mají velikost pouhých několik kilobajtů.)

Všechny uvedené ukázky jsou v anglickém jazyce, lze je proto použít i pro propojení výuky matematiky a anglického jazyka. Na lokalizaci do jednotlivých jazyků se v současnosti pracuje.