Něco na tom podílu je aneb Cesta k důležité matematické konstantě
Odborný článek
Digitalizace ve vzdělávání
Něco na tom podílu je aneb Cesta k důležité matematické konstantě
Ukázat žákům co nejpřesněji, že podíl obvodu kružnice a jejího průměru je vždy konstantní, byl v minulých letech pro vyučující docela obtížný úkol. S příchodem digitálních technologií se situace změnila. Dnes máme možnost si samostatně vytvořit správný dynamický model a s pomocí vhodných nástrojů zvoleného programu postupně zpřesňovat výsledek. Záměrem aktivity je objevení matematické konstanty pí a vyhledání dostupných informací například o jejích vlastnostech, značení a historii.
Cíl výuky
Žák/žákyně:
aktivně používá konstrukční a měřicí nástroje (Vzdálenost) programu GeoGebra;
zapíše správně vzorec do vstupního řádku algebraického okna;
provede změnu nastavení zobrazeného počtu desetinných míst;
aktivně pracuje s dynamickým modelem;
odhalí konstantní hodnotu podílu obvodu kružnice a jejího průměru;
seznámí se s číslem pí, jeho značením, vlastnostmi, historií a způsobem zápisu;
vyhledá informace v důvěryhodných internetových zdrojích;
diskutuje se spolužáky o zjištěných informacích a jejich zdrojích;
Stupeň vzdělávání: 2. stupeň ZŠ, nižší ročníky víceletého gymnázia
Věková skupina: 13 - 15 let
Vzdělávací obor:matematika a její aplikace
Tematický okruh:geometrie v rovině a v prostoru
Časová dotace:
Výuka: 1 vyučovací hodina
Příprava: 0 minut
K čemu aktivita směřuje
Na základě vytvoření dynamického počítačového modelu objevení čísla pí a zjištění dalších informací o něm. Zobrazení čísla pí na kalkulátoru.
Pomůcky, hardware, software
Žák/yně: PC nebo tablet s připojením na internet, kalkulátor
Učitel/ka: PC s připojením na internet, dataprojektor
Potřebné vstupní znalosti a dovednosti
Oborové
znalost desetinných čísel;
dovednost sestrojit kružnici nad jejím průměrem;
porozumění pojmům obvod kruhu, konstanta.
Digitální
základní ovládání programu GeoGebra (konstrukce úsečky, kružnice dané středem a bodem);
vyhledávání informací na internetu.
Přínos využití digitálních technologií
Přesnější a efektivnější způsob měření délky kružnice digitální technikou umožní korektnější stanovení matematické konstanty. Využití internetu jako zdroje informací zkrátí čas potřebný k jejímu získání.
Záměremaktivnípráce žáků je zkoumání možné/nemožné změny výsledné hodnoty podílu délky obvodu kružnice a velikosti jejího průměru.
V úloze 1 je třeba žákům pomoci se zápisem vzorce do algebraického okna. Využijeme definované příkazy Obvod (kuželosečka) a Vzdálenost (bod, objekt). Necháme žáky modelovat různé situace a očekáváme od nich myšlenku, že je podíl stále stejný a má asi hodnotu 3,14. Upozornění: v případě použití tabletů je potřeba odlišit klávesnici tabletu od klávesnice online spuštěného programu GeoGebra (označena v obrázku 1). Pracujeme-li online, píšeme příkazy do vstupního řádku pomocí „malé“ klávesnice programu GeoGebra.
Obrázek 1 - Virtuální klávesnice programu GeoGebra
Úlohu 2 provádíme s úmyslem zjistit další eventuální počet desetinných míst podílu. Navedeme je tak na hypotézu, že možná ještě ani 15 desetinných míst k určení přesné hodnoty výsledku nestačí.
Před realizací úlohy 3 je vhodné shrnout zjištěné poznatky a zavést číslo pí: podíl obvodu kružnice (kruhu) a jejího (jeho) průměru je vždy stejný a vyjadřujeme jej matematickou konstantou\\[ \\pi \\]. Je důležité zmínit, že se nedá přesně zapsat ani zlomkem a proto se častěji používá symbolické značení, které má zavedeno i kalkulačka.
Další informace necháme žáky vyhledávat na internetu samostatně asi deset minut. Následuje společná diskuze o odpovědích na zadané otázky v úloze 3.
Popis vzdělávací aktivity
Úloha 1 - Podíl obvodu kružnice a jejího průměru
V programu GeoGebra sestrojte libovolnou úsečku AB a kružnici s průměrem AB. Užitím nástroje Vzdálenost stanovte obvod kružnice a délku úsečky AB. Do vstupního řádku algebraického okna programu definujte číslo p jako podíl obvodu kružnice a délky úsečky AB. Jaké číslo vám vyšlo? Měňte v nákresně délku úsečky AB a sledujte, zda se mění/nemění hodnota podílu p.
Řešení
Do prázdné nákresny zobrazíme úsečku AB. K sestrojení kružnice požadované vlastnosti využijeme nástroje Střed a Kružnice daná středem a poloměrem, pro zobrazení hodnot obvodu kružnice a délky úsečky pak nástroj Vzdálenost. Do vstupního řádku algebraického okna zapíšeme
„p = Obvod (c) : Vzdálenost (A,B)“, viz obr. 2.
Obrázek 2 - Zobrazení nákresny a algebraického okna
Úloha 2 - Vyšší počet desetinných míst
Upravte nastavení nástroje Zaokrouhlování na maximální možný počet (15) desetinných míst. Opět dynamicky měňte rozměr úsečky a sledujte případné změny v čísle p. Dokážete vysvětlit, proč se mění jen v některých případech poslední desetinná cifra čísla?
Řešení
Změnu v počtu zobrazení desetinných míst provedeme volbou Nastavení v nabídce ikony s třemi pruhy umístěné vpravo nahoře, obr. 3.
Obrázek 3 - Změna nastavení
Po kliknutí v nabídce Nastavení rozvineme nabídku Zaokrouhlování (obr. 4), zvolíme domluvený počet desetinných míst, nastavení uložíme a zobrazené okno zavřeme.
Obrázek 4 - Nastavení počtu desetinných míst
Po změně nastavení se zobrazují všechny číselné hodnoty s vyšší přesností. Manipulací s krajním bodem úsečky AB v nákresně zůstává poměr veličin zapsaný v algebraickém okně vždy stejný (konstantní) kromě poslední zobrazené cifry. To znamená, že v tomto místě dochází k jistému zaokrouhlení a výsledná hodnota má zřejmě ještě vyšší počet desetinných míst.
Úloha 3 - Ludolfovo číslo pí
Už víme, že podíl obvodu a průměru kruhu je vždy konstantní. Konstantu značíme\\[ \\pi \\](čteme „pí“) a nazýváme Ludolfovo číslo.Vyhledejte následující informace:
Kolik je (zatím) známých desetinných míst tohoto čísla?
Je možné zapsat číslo\\[ \\pi \\] pomocí zlomku?
Proč má číslo přívlastek „Ludolfovo“?
Jak napíšeme číslo (symbol)\\[ \\pi \\]na počítači?
Víte, že má toto číslo také svůj svátek? Zjistěte datum. Proč právě v tento den?
Našli jste nějakou další zajímavou informaci o tomto čísle?
Také vaše kalkulačka zná toto číslo. Umíte jej zobrazit na jejím displeji? Vyzkoušejte.
Řešení
V jednom z důvěryhodných zdrojů najdeme informaci z roku 2021, že „švýcarský superpočítač stanovil novou hodnotu čísla pí, má 62 831 853 071 796 desetinných míst“, to znamená, asi 62,8 bilionu desetinných míst.
Není. Na střední škole se dozvíme, že číslo\\[ \\pi \\] patří mezi tzv. iracionální čísla.
Přívlastek má po matematikovi Ludolphu van Ceulenovi, který na přelomu 16. a 17. století spočítal hodnotu\\[ \\pi \\] na 35 desetinných míst. Takto zapsané číslo\\[ \\pi \\] bylo také vytesáno na jeho náhrobku.
Každý speciální matematický program či editor rovnic má symbol\\[ \\pi \\] zakomponován. Pomocí klávesnice zapíšeme symbol\\[ \\pi \\] současným stisknutím klávesy levý Alt a čísla 960.
Datum 14. 3. zavedla komunita vědců v USA jako svátek čísla pí a postupně se tento zvyk rozšiřuje hlavně mezi vědci po celém světě. Američané datum píší v obráceném sledu (3. 14), proto byl vybrán právě tento den.
Např. se mu také říká Archimedova konstanta, protože Archimedes byl první, kdo určil hodnotu pí už s přesností na tři desetinná místa. Symbol\\[ \\pi \\] řeckého písmene byl zaveden na počátku 18. století jako zkratka řeckého slova „perimetros“ (obvod). Číslo pí je důležité k výpočtům všeho „kulatého“ - obvodu a obsahu kruhu, objemu rotačních těles.
…
Reflexe
První úlohu jsme řešili se žáky společně. Slabší žáky jsme podpořili společným vytvořením přehledné tabulky, do které zapisovali konkrétní hodnoty obvodu, průměru a výsledného podílu. Nastavení změny počtu desetinných míst zvládli všichni bez problémů, stejně tak zápis čísla na kalkulátoru. Žáci se zaujetím vyhledávali různé informace o Ludolfově čísle a v závěru hodiny proběhla burza zjištěných informací.
