Množiny, vztahy a operace mezi množinami

Množiny a vztahy mezi množinami patří k základním prvkům výstavby celé řady matematických oborů, a proto představují důležitou součást učiva matematiky na gymnáziu. Bez pojmu množiny bychom těžko zformulovali definici funkce, kuželosečky, definici jevu v teorii pravděpodobnosti a také bychom jen obtížně vyjadřovali vztahy mezi číselnými množinami či dalšími matematickými objekty.

Pojem množiny, obdobně jako pojem výroku, je teoreticky náročný, a proto je na základní i střední škole zaváděn intuitivně. Množinu zde chápeme jako skupinu, popř. soubor, navzájem různých¹ objektů, u kterých umíme jednoznačně rozhodnout, zda do daného souboru patří, či nikoliv. Intuitivní zavedení konkrétního pojmu vyžaduje uvedení dostatečného počtu ilustrativních příkladů. V případě, že se žáci s tímto pojmem seznamují poprvé, je vhodné při jeho výkladu uvádět příklady z nematematických i matematických oblastí, které jsou žákům dobře známé (např. množina písmen konkrétního slova, množina žáků ve třídě, množina přirozených dvojciferných čísel).

Důležité postavení mezi množinami má prázdná množina, která může být výsledkem množinových operací a reprezentuje skupiny, které nemají žádné prvky. V současné době se pro její zápis používá především symbol Ø, někdy také symbol {}. Někteří žáci kombinují oba typy zápisu a používají nesprávné značení {Ø}, které lze přečíst jako "množina, která obsahuje prázdnou množinu". Jedná se tedy o zápis jednoprvkové množiny.

Množiny obvykle zadáváme výčtem prvků (jen pro konečné množiny) či pomocí charakteristické vlastnosti jejich prvků. Je třeba zdůraznit, že v případě zadání množiny výčtem nezáleží na pořadí jejích prvků, tj. množina {x, y} je stejná jako množina {y, x}. Existuje také další způsob zadání množin, a to pomocí množinových operací s jinými množinami. S tímto způsobem zadání se žáci seznamují až poté, kdy absolvovali výklad o množinových operacích. Zapisování konkrétních množin různými způsoby patří k základním dovednostem, které by si žáci měli v tomto tematickém celku osvojit. Řešení úloh uvedeného typu umožňuje na jednoduchém materiálu procvičovat správné užívání a čtení symbolického jazyka matematiky.