Logika, statistika a kombinatorika na 1. stupni základní školy
Archivní obsah
Tento materiál pochází ze staršího archivu rvp.cz a už není součástí aktuální nabídky. Uchováváme ho, aby na něj dál vedly původní odkazy.
Odborný článek
Logika, statistika a kombinatorika na 1. stupni základní školy
2,5 (4 hodnocení)
Čtenáři se dozví, kde a jak se setkávají žáci na 1. stupni ZŠ s prvky logiky, kombinatoriky a statistiky. Jedná se o ukázku z autorčiny diplomové práce na téma „První setkání s logikou, kombinatorikou a statistikou“. V článku najdete také inspiraci do hodin matematiky včetně řešení.
Pro své žáky ráda připravuji zajímavé a poutavé hodiny matematiky. Mým cílem je, aby neodcházeli z prvního stupně s tím, že mají zvládnutá všechna cvičení v učebnici podle vzoru, ale aby dokázali o úkolu popřemýšlet, nalézt případně více řešení, použít logickou úvahu… Prostě aby se mé ovečky v životě neztratily. Nezbývá mi jen doufat, že jim v tom alespoň trošku pomohu.
Prvky logiky a kombinatoriky v některých hrách
Každé dítě je přirozeně zvídavé. S prvky logiky, kombinatoriky a statistiky se děti mohou setkat prostřednictvím nejrůznějších her v mateřské škole, ve školní družině nebo doma s rodiči a sourozenci.
Mezi velice známé hry patří společenská hra LOGIC, která hráčům umožní zábavným způsobem vyzkoušet kvalitu logického myšlení a kombinačních schopností. Cílem hry je pomocí tipování a logického úsudku uhodnout tajnou kombinaci barevných kloboučků (tj. druh a pořadí). O tom, nakolik se tipované kloboučky shodují s tajnou kombinací spoluhráče, informují signální kameny bílé a černé barvy. Hráč, který volí tajnou kombinaci, si vybere pět barevných kloboučků z celkových deseti druhů barev a umístí je pod stříšku, kam spoluhráč nevidí. Hádající hráč potom pokládá svoji kombinaci kloboučků zrcadlově. Protihráč vyhodnocuje soupeřovy odhady tak, že pokládá bílé a černé kameny v řadě vedle jeho kombinací. Úspěšnější je ten, komu stačí méně kroků k odhalení tajné kombinace spoluhráče.
Obdobně si můžeme hru zahrát pouze s papírem a pastelkami. Připravíme si deset různých pastelek a papír. První hráč si „pod stříšku“ ukryje pětimístnou barevnou kombinaci. Připomínám, že při této hře záleží na pořadí jednotlivých barev. Druhý hráč hádá, z jakých barev by se mohla ukrytá kombinace skládat. Pomocí černých a bílých puntíků se dobírá stále blíž správnému řešení. Černý puntík znamená, že daná barva je na správném místě. Bílý puntík znamená, že daná barva se vyskytuje na jiném místě. Pokud se daná barva v kombinaci nevyskytuje vůbec, označíme příslušné políčko křížkem. Vše si ukážeme na příkladu. První hráč si pod stříšku zakreslil barvy v pořadí zleva doprava: oranžová – černá – červená – žlutá – tmavě zelená. Druhý hráč sedící proti na první pokus zvolil tyto barvy: světle zelená – hnědá – žlutá – fialová – tmavě modrá. Všechny barvy kromě žluté byly označeny křížkem, to znamená, že se ve skrytém barevném vzorci nevyskytují. Žlutá barva se vyskytuje na jiném místě. Stejným způsobem hra pokračuje až do chvíle, kdy druhý hráč zjistí, jaké barvy a v jakém pořadí byly pod stříškou ukryty. Ve druhém kole si hráči vymění role. Vyhrává ten, kdo k zjištění barev spoluhráče potřeboval méně pokusů (viz příloha 1).
Mezi další velice známé hry, které rozvíjejí mimo jiné i logické a kombinační myšlení, patří například TANGRAM. Jedná se o sedmidílnou skládanku původem z Číny. Jednotlivé díly skládačky dostaneme tak, že rozstříháme čtverec podle čar na sedm částí podle obrázku. Úkol spočívá v sestavování různých obrazců, u kterých známe pouze obrysy. Hráč musí vyplnit celou plochu obrázku tak, aby se jednotlivé díly nepřekrývaly. Dále bych ještě chtěla zmínit společenské hry SCRABBLE, MIKÁDO nebo velice oblíbené hry z novin a časopisů SUDOKU a KRIS-KROS.
Rozvoj logického a kombinačního myšlení a setkání se statistikou na 1. stupni základní školy
Matematika vyžaduje používání logického myšlení. Jmenujme alespoň osvojování nových poznatků a jejich spojování s dříve získanými znalostmi, vědomostmi a dovednostmi, zdůvodňování nejrůznějších tvrzení, zodpovídání otázek typu „Proč?“, obhajování svého názoru či zapojení do diskuse. Chceme-li u žáků rozvoj logického myšlení podpořit, nesmíme se v žádném případě bránit jejich nápadům na řešení úkolů a tvořivosti. Je také vhodné při řešení logických úloh žáka nechat, ať na to přijde sám. Prostřednictvím zajímavých úkolů a hádanek pro rozvoj logického myšlení se žáci mladšího školního věku setkávají s prostorovými pojmy, tříděním, rozlišováním, dedukcí, srovnáváním, orientací, předvídáním, kombinací, řazením prvků. Dále pracují s celkem a jeho částmi, se shodami a rozdíly.
S logikou, jakou znají dospělí, se žáci na základní škole setkávají v podobě logických spojek (nebo, a, a zároveň), kvantifikátorů (všichni, někteří, alespoň jeden), negace, jednoduchých výrokových forem, pravdivých a nepravdivých výroků. Na 1. stupni se žáci setkávají s výrokovou formou typu 2 + ? = 5, která je předchůdkyní složitějších rovnic a výrazů s proměnnou. Do výše uvedené výrokové formy žáci dosazují čísla. Ptají se, zda zvolená čísla jsou nebo nejsou jejím řešením. Získávají tak pravdivý nebo nepravdivý výrok. Odbornými termíny žáky pochopitelně nezatěžujeme.
Kombinační myšlení potřebuje a uvítá snad většina z nás. Protože žáci ještě neřeší běžné životní situace, musíme pro ně v podobě simulačních her nějaké vhodné připravit. Jedná se například o manipulaci s předměty (geometrické tvary), hledání všech možných řešení dané úlohy, počítání počtu nohou domácích zvířat, stavbu věže z kostek. Těmito činnostmi vedeme žáky od prvních nahodilých pokusů k systematičnosti a celistvosti. Pedagogům se v těchto hrách doporučuje udělat si tzv. strom logických možností, díky kterému se dojde ke všem řešením.
Pro lepší představu uvádím dva příklady takového grafu v praktické části své diplomové práce. Nemělo by se potom ve výuce stát, že žáci objeví řešení, o kterém vyučující neví. Kombinační myšlení ve větší míře začínají využívat žáci ve druhém pololetí 2. ročníku, kdy začínají s násobením. Typickou kombinační úlohou je posílání pohlednic mezi žáky nebo podávání rukou. V tomto případě žáci stanovují počet všech možných uspořádaných dvojic vytvořených z prvků daných dvou množin (děvčata a chlapci).
Se statistikou se žáci seznamují při sčítání zameškaných hodin nebo při výpočtu aritmetického průměru známek. Dále v běžných situacích, jako je nakupování (počet prodaných výrobků), nebo při hrách, ve kterých záleží pouze na štěstí (hry s kostkami, s mincemi).
V kterých typech úloh hledat prvky logiky, kombinatoriky a statistiky?
Nejčastějším typem příkladů s prvky logiky jsou tzv. příklady s rámečky, se kterými se žáci setkávají již v prvním ročníku. Jedná se o výrokové formy s neznámou, častěji však s rámečkem, otazníkem či vynechávkou. Při řešení takových jednoduchých výrokových forem užívá žák nejčastěji dva postupy. Prvním je dosazování libovolných čísel, druhým je využití pamětných spojů. Žák již brzy po zahájení školní docházky pochopí význam reverzibilní operace, proto může využít i pamětné dočítání. Velice častým úkolem je řešení nerovnic, např. k > 27. Úkolem je najít a zapsat alespoň jedno řešení.
Méně častými, avšak žáky oblíbenými, jsou nejrůznější hádanky a bludiště. Vhodným příkladem je hra, kdy si učitel myslí nějaké číslo a žáci pomocí otázek hádají, o které číslo se jedná. Otázky musí být zjišťovacího charakteru, to znamená, že na ně existuje pouze kladná anebo záporná odpověď. Žáci se učí formulovat vhodné otázky, mohou znít např.: „Je dané číslo menší než 5?“ nebo „Je dané číslo dělitelné dvěma?“ Díky získaným matematickým znalostem a logickému úsudku žáci zjistí, na které číslo jejich vyučující myslel.
Dalším typem úloh jsou logické geometrické úlohy. Jedná se o vyhledávání geometrických tvarů ve složitějších obrazcích, určování počtu kostek, ze kterých byla postavena nějaká nepravidelná stavba, skládání z papíru, kreslení obrazců jedním tahem, skládání obrazců ze zápalek či špejlí nebo o práci ve čtvercové síti. Častým typem úloh jsou také nejrůznější příklady s vynechanými číslicemi či znaménky. Najít je můžeme ve sbírkách matematických úkolů i v knihách rébusů a hlavolamů pro děti. Úlohy na rozvoj logického a kombinačního myšlení najdeme také v matematických soutěžích probíhajících po celé naší republice. Další vhodnou činností je nakupování a práce s penězi, protože na mincích a bankovkách mohou žáci velice spolehlivě pochopit přechod přes desítku, dočítání, různé možnosti placení určité částky.
Jmenujme ještě úlohy, ve kterých se žáci setkávají se statistikou. Jedná se o zaznamenávání výšky a hmotnosti žáků, o porovnávání těchto údajů a seřazování vzestupně či sestupně. Můžeme sem také zařadit tabulky s údaji o sportovních výkonech, nadmořských výškách hor či počtu projetých vozidel.
Náměty do vyučování
Nakupování v mléčné jídelně
Úkol: Za přidělené peníze nakupte co nejvíce věcí, pokud možno beze zbytku.
Motivace: Dnes si můžete na svačinu koupit to, na co máte chuť. Můžete utratit až 150 Kč.
Co se procvičuje: pamětné i písemné sčítání a odčítání v oboru do 1 000, malá násobilka
Co se rozvíjí: logické myšlení, plánování, schopnost předvídat, kombinační myšlení
Rozvíjené kompetence: kompetence k řešení problémů, kompetence k učení, kompetence pracovní
Věk: od 3. ročníku
Forma práce: samostatná práce nebo práce ve dvojicích
Čas: 10 15 minut
Pomůcky: lístečky s údaji o ceně jednotlivých pochutin (příloha 2), obrázková nabídka pochutin (např. Matematika pro 3. ročník ZŠ, díl druhý, nakladatelství ALTER, str. 23), sešit, psací potřeby
Popis činnosti: Po třídě rozmístíme lístečky s názvy pochutin a jejich cenou. Prvním úkolem žáků je zjistit, kolik korun která dobrota stojí. Ceny si píšou do pracovní učebnice. Po splnění prvního úkolu se všichni vrací do lavic a pro jistotu si všechny ceny zkontrolujeme. Druhý úkol je tvořivější a pro někoho i náročnější. Žáci mají k dispozici 150 Kč. Mají si nakoupit podle chuti potraviny tak, aby utratily celou částku 150 Kč nebo aby se k ní alespoň přiblížili. Žáci procvičují sčítání a odčítání v oboru do 1 000 a malou násobilku. Výsledkem je žákem napsaný seznam, co si všechno koupí, kolik utratí, případně kolik mu zůstane.
Hodnocení: Zjistila jsem, že kolem devátého roku děti získávají určitou představu o penězích, chodí s rodiči nakupovat, navštěvují školní bufet, někteří dostávají kapesné. Mám také pocit, že si už většina dětí dokáže uvědomit hodnotu peněz. Mají také první zkušenosti s tím, kolik co stojí. Cenovky našli všichni bez problémů, a tak jsme mohli rychle pokračovat v sepisování seznamu na nákup. Žáci pracovali individuálně s tím, že si mohou vzájemně poradit. Všechny děti na úkolu pracovaly zodpovědně. Někteří asi úmyslně utratili méně, někteří nestihli úkol dokončit. Z celkových 16 přítomných žáků ve škole jsem si vybrala 6 velmi povedených řešení. Čtyři žáci utratili 149 Kč. Za pouhou korunu si už nemohli koupit nic. Jeden žák utratil 142 Kč. Stačilo by přikoupit ještě dvě jednohubky a peněženka by mu zůstala prázdná. Jedna žákyně naopak utratila 151 Kč. V jejím případě se jednalo o numerickou chybu.
Sirkové hlavolamy
Úkol: Ze zadaného počtu sirek složte určitý počet geometrických útvarů.
Motivace: Zápalky nepoužíváme jen k zapálení svíčky, můžeme si s nimi také hrát v matematice. Firma SOLO přesvědčuje zákazníky k nákupu sirek z důvodu her a rébusů.
Co se procvičuje: znalost základních geometrických tvarů, manipulace s předměty, zručnost a jemná motorika
Co se rozvíjí: prostorová představivost, samostatné myšlení, tvořivost, logické myšlení
Rozvíjené kompetence: kompetence k řešení problémů, kompetence komunikativní, kompetence pracovní
Věk: od 3. ročníku
Forma práce: dvojice složená ze stejně výkonných žáků
Čas: do 10 minut (záleží na počtu úkolů)
Pomůcky: zápalky v krabičkách bez škrtátek (stačí pouze tolik zápalek, kolik budeme maximálně zadávat pro sestavování geometrických útvarů)
Popis činnosti: Žáky rozdělíme do dvojic tak, aby bystřejší žáci byli spolu a naopak pomalejší žáci se snažili ze všech sil. Každá dvojice dostane 10 zápalek. Žáci postupně pracují na několika úkolech:
1) z 10 sirek složte 3 čtverce;
2) z 9 sirek složte 4 trojúhelníky.
Hodnocení: Do hodiny geometrie ve třetím ročníku jsem zařadila hlavolamy se zápalkami. Žáci můj nápad přivítali s nadšením. Během zadávání úkolů jsem si uvědomila, že žáci ještě nerozlišují jednotlivé typy trojúhelníků. Navíc z geometrie mají zatím pouze útržkovité informace, proto některé obrazce byly spíš schematické. Například když jednou zápalkou rozdělili již hotový čtverec na dva trojúhelníky, přepony v nových pravoúhlých trojúhelníkách nesahaly z rohu do rohu. Ale protože zadaný geometrický útvar vznikl, nezbývalo mi než i taková řešení uznat. S oběma úkoly si žáci poradili snadno. Úkol jsme si doplnili otázkami, které další geometrické tvary můžeme v sestavených obrazcích najít. Vidět menší či větší obdélníky složené ze 2 a více čtverců dělalo již někomu problémy. Během práce vymyslely dvě žákyně další úkol: Z 9 sirek složte 5 trojúhelníků. Většina žáků i tento úkol navíc vyřešila snadno. Ráda bych ještě zdůraznila otázku bezpečnosti: kde a na co smíme zápalky používat, nutná přítomnost někoho dospělého a riziko popálení či jiných úrazů. Rovněž jsem upozornila žáky na to, aby nedávali zápalky do úst.
Stavba věže
Úkol: Z tří kostek různých barev stavte různé třípatrové věže.
Motivace: Novou stavebnici využijeme i při hodině matematiky.
Co se procvičuje: manipulace s předměty, zručnost
Co se rozvíjí: kombinační schopnosti
Rozvíjené kompetence: kompetence k řešení problémů, kompetence k učení, kompetence komunikativní, kompetence pracovní
Věk: bez omezení
Forma práce: samostatná práce, práce ve dvojicích i skupinách
Čas: do 10 minut
Pomůcky: dřevěné kostky tří barev, papír a pastelky
Popis činnosti: Každá skupina, dvojice nebo jednotlivec dostane 3 kostky různých barev (např. modrou, zelenou a červenou). Úkolem všech je stavět různé třípatrové věže. Každá věž se musí tedy skládat ze všech tří kostek. Žáci v prvé řadě manipulují s kostkami a staví je na sebe. Musí si uvědomit, že záleží na pořadí kostek. Všechna objevená řešení si malují pastelkami na papír. Úkol žákům můžeme trochu zjednodušit tím, že jim řekneme, že věží lze postavit šest.
Hodnocení: Žáci mé třídy si tuto aktivitu vyzkoušeli během týmové práce „Geometrické město“. Úkol byl zařazen až v závěru, většinou zaujal všechny členy týmů. Na řešení pracovalo vždy více žáků. Někdo objevil jedno řešení, další zamíchal kostkami a našel další věž. Čtyři týmy z pěti objevily všech šest věží. Nutno podotknout, že jsem žákům konečný počet věží zatajila. Pátý tým spíše z časových důvodů našel věže pouze čtyři. Jedna skupina postavila dokonce sedmou věž. V zadání úkolu není totiž výslovně řečeno, že všechny tři kostky musí stát na sobě. David proto postavil dvě kostky na lavici a třetí na ni. Řešení jsem uznala, protože tato varianta nebyla zakázána. Zajímavé je, jak jednotlivé týmy postupovaly. Některý tým zcela náhodně, jiný systematicky. Celkově mohu říci, že jsem byla velice překvapena, jak se úkolu všichni žáci zhostili a jakých výsledků dosáhly.
U této činnosti bych ráda vysvětlila strom logických možností. Úkol s kostkami je sice poměrně jednoduchý, ale tento graf lze použít i u složitějších úloh, se kterými se můžeme v praxi potkat. Vezměme v úvahu, že máme jednu zelenou, jednu modrou a jednu červenou kostku. Na tři řádky si budeme postupně rozepisovat všechny možnosti pro stavbu budoucích věží. Označme si: Z jako zelená kostka, M jako modrá kostka, Č jako červená kostka. Na prvním řádku je spodní kostka, na druhém řádku prostřední kostka a zcela dole kostka nejsvrchnější (viz příloha 3). Na první pozici si položím zelenou kostku (Z). Na druhém místě může tím pádem být buď modrá kostka (M) nebo červená kostka (Č). Na samém vršku věže bude ležet zase buď červená kostka (Č) nebo modrá kostka (M). Stejným způsobem pokračujeme ve zbylých dvou případech. Počet sloupečků nám ukazuje konečný počet řešení. Počet řešení si můžeme samozřejmě vypočítat i matematickým vzorečkem pro permutaci P = n!, kde n je počet barev. Ale pro tento úkol není ani tak důležitý počet řešení, jako podoba jednotlivých věží.
Rozfoukaná slovní úloha
Úkol: Najděte po třídě rozstříhané zadání slovní úlohy, dejte si dohromady jednotlivé informace a snažte se slovní úlohu vyřešit.
Motivace: Paní učitelka zapomněla na noc zavřít okno a připravená slovní úloha se jí rozfoukala po třídě.
Co se procvičuje: sčítání a odčítání do 20 s přechodem přes desítku
Co se rozvíjí: logické a kombinační schopnosti
Rozvíjené kompetence: kompetence k učení, kompetence k řešení problémů
Věk: 2. ročník
Forma práce: soutěž jednotlivců
Čas: 5 minut
Pomůcky: 4–5 karet s částmi slovní úlohy (příloha 4), sešity a psací potřeby pro žáky
Popis činnosti: Po třídě rozmístíme a připevníme karty s částmi slovní úlohy. Po vhodné motivaci začínají žáci tyto karty hledat, skládat si celé znění původní slovní úlohy, zjišťovat, co ví a co musí vypočítat. Žáci se volně pohybují po třídě, kdo potřebuje, zapisuje si poznámky do sešitu nebo na papír. Nenutíme žáky, aby si zapisovali celé zadání slovní úlohy. V tomto případě nám bude stačit pouze výsledek. Jednotlivé informace a postup výpočtu si řekneme společně po skončení aktivity. Kdo je hotový, odchází na koberec nebo výsledek pošeptá učiteli a ihned se dozví, zda počítal správně.
Hodnocení: Po zkušenosti mohu říct, že je vhodné žákům říct, na kolik částí se nám slovní úloha rozfoukala. Slabší žáci nenašli nebo nechtěli najít všechny karty a vypočítali pouze část úlohy nebo na ni nepřišli. Většina žáků však brzy zjistila, která karta je počáteční a ke které se musí vrátit. Následoval většinou rychlý výpočet, který byl maximálně zmařen numerickými chybami. Jednalo se o nesprávnou operaci při řešení vztahů o n méně / více nebo o záměnu jmen žáků ze zadání slovní úlohy. Tuto formu práce používám s žáky poměrně často, většinou u složených slovních úloh.
Pečeme koláče
Úkol: Upečte co nejvíce různých koláčů.
Motivace: K martinskému posvícení neodmyslitelně patří pečená husa a koláče. Zkusíme si takové posvícenské koláče upéct i my.
Co se procvičuje: orientace v rovině (nahoře – dole, vpravo – vlevo), lze aplikovat na učivo o zlomcích
Co se rozvíjí: kombinační schopnosti
Rozvíjené kompetence: kompetence občanské (lidové tradice), kompetence sociální a personální (práce v týmech), kompetence k řešení problémů
Popis činnosti: Každá skupina dostane pracovní list s koláči. Úkolem všech skupin je společnými silami upéct co nejvíce (maximálně 6) koláčů takových, aby byl každý jiný (i po otočení). Červená pastelka nám znázorňuje marmeládu, černá makovou náplň, modrá povidla a žlutá náplň tvarohovou. Všechny upečené koláče žáci nalepí na papírový talíř (tácek z papírnictví).
Hodnocení: V rámci pravidelné práce v týmech na téma Martinské posvícení měli žáci za úkol péct koláče. Zadáním bylo upéct šest koláčů takových, aby byl každý jiný (i po otočení). Jak se během práce ukázalo, úkol byl poměrně těžký. Žáci upekli maximálně 3–4 koláče, což jsem i tak považovala za úspěch. Pro příště se raději nechám inspirovat literaturou a zkusím novou podobu úkolu. Budeme péct 24 různých koláčů. Dívat se na ně budeme shora, představíme si, že zůstaly po upečení na plechu. Nebudeme s koláči hýbat, ani je otáčet. Pro tuto variantu bych se přikláněla pro její jednodušší zadání. Žáci stále vidí koláče v jedné poloze, nemusí je otáčet a není zapotřebí tolik prostorové představivosti jako u původní varianty úkolu. Myslím si také, že mohou pracovat více systematicky. Koláč je rozdělen na čtvrtiny, proto si mohou nejprve zvolenou barvou vybarvit jednu čtvrtinu a další pole kombinovat ze zbylých třech barev. Pracovní list najdete v příloze (příloha 6).
Pro druhou variantu úkolu jsem si vypracovala další strom logických možností (příloha 7). Postupovala jsem od levé horní čtvrtiny koláče po směru hodinových ručiček. Počet řešení jsem si vypočítala matematickým vzorečkem pro permutaci P = n!, kde n je počet náplní. Na martinské posvícení je možné upéct celkem 24 různých koláčů. Všechny upečené koláče jsou v příloze (příloha 8).
Kostky
Úkol: Házejte šedesátkrát hrací kostkou. Zaznamenávejte si, která čísla vám padala. Po 60 hodech si spočítejte, kolikrát padla jednotlivá čísla.
Motivace: V dnešní hodině si budeme hrát s kostkami. Zkuste si tipnout, kolikrát vám ze 60 hodů padne šestka. Kdo bude nejblíže, dostane malou sladkou odměnu.
Co se procvičuje: práce se statistickými údaji, sčítání
Co se rozvíjí: chápání stejně rovných šancí při losování či hodu
Rozvíjené kompetence: kompetence pracovní a komunikativní
Věk: bez omezení
Forma práce: práce ve dvojicích
Čas: 10–15 minut
Pomůcky: hrací kostka pro každou dvojici, papír, tužka
Popis činnosti: Žáky rozdělíme do dvojic. Každá dvojice potřebuje 1 hrací kostku, tužku a papír. Na papír si připraví malou tabulku se šesti řádky. Dvojice nebo jedinci si tipnou, kolikrát ze 60 hodů padne šestka, na kterou marně při hrách čekáme. Žáci házejí kostkou a hodnotu, která jim při každém hodu padne, zaznamenávají do tabulky. Po šedesátém hodu musí první část aktivity skončit. Žáci si spočítají, kolikrát jim padli jednotlivé hodnoty. Kolikrát padla šestka? Kdo se nejvíce přiblížil svému odhadu? Hodnocení činnosti provedeme společně a vyvodíme určitý závěr.
Hodnocení: Ve škole bylo přítomno dvacet žáků. Dvakrát jsem si zkusila hru zahrát i já sama, poprvé doma, podruhé ve škole zároveň s žáky. Tipy žáků byly různé. Někdo opravdu napsal číslo bez hlubšího uvažování, někdo si vypočítal 60 : 6 = 10, tzn. každé číslo by tedy mělo průměrně padnout desetkrát. Házení kostkami trvalo přibližně 5 minut. Žáci si ve svých tabulkách sečetli čárky a přišli se svými výsledky na koberec. Všechny tabulky jsme shromáždili doprostřed. Do velké tabulky, kterou jsem si předem připravila na tabuli, jsem vepisovala jednotlivé číselné údaje. Rychlejší počtáři spočítali, kolikrát padla která čísla celé třídě dohromady, a potom jsme se všichni podívali na výsledky a vyhodnotili. Ve svých tipech byly nejblíže Kateřina s Annou, Martin s Filipem, Petra s Denisou a já při svém domácím pokusu.
Velice zajímavý je celkový součet tipů na počet šestek a celkový skutečný počet šestek. Rovněž je přínosné se podívat na celkové počty jednotlivých hodnot. Počty se pohybují od 111 do 130 z celkových 720 hodů. Průměrný počet na jednotlivé strany kostky je 120. Na podrobný rozpis hodů kostkami se můžete podívat do přiloženého souboru (příloha 9). Ještě bych ráda zmínila zakončení naší aktivity. Protože úplně přesný odhad neměl nikdo, mohli jsme si vysvětlit, jak malé šance bychom měli při nejrůznějších sázkových hrách, které jsou jen mrháním penězi a časem.
Hodíme si korunou
Úkol: Házejte celkem 50krát připravenou mincí a zaznamenávejte si na papír, jestli vám padne přední nebo zadní strana mince. Po 50 hodech hru ukončete.
Motivace: Ve třídě hlasujeme, jestli půjdeme na tělesnou výchovu do tělocvičny nebo ven. Hlasování dopadne nerozhodně. Deset žáků chce jít do tělocvičny, deset žáků ven. Paní učitelka nebude do hlasování zasahovat. Co tedy uděláme, aby to bylo spravedlivé? Hodíme si korunou.
Co se procvičuje: práce se statistickými údaji
Co se rozvíjí: chápání stejně rovných šancí při losování či hodu
Rozvíjené kompetence: kompetence pracovní a komunikativní
Věk: od 3. ročníku
Forma práce: práce ve dvojicích
Čas: 10 minut
Pomůcky: mince, papír a tužka pro každou dvojici
Popis činnosti: Dvojice si rozdělí papír na dvě poloviny a do záhlaví každé poloviny si namaluje přední a zadní stranu mince. Celkem padesátkrát házejí mincí a na papír čárkovací metodou zaznamenávají, která strana jim padla. Po padesátém hodu končí. Sečtou počet čárek u každé poloviny zvlášť. Práci vyhodnotíme společně a snažíme se dojít k nějakému závěru.
Hodnocení: Žáci uvítali zajímavou změnu ve výuce matematiky s nadšením. Vzájemně si půjčili mince, bez problémů vytvořili dvojice a připravili si papír se záhlavím. Na úvod jsem chtěla od nich slyšet, jakou šanci máme, že nám padne přední strana mince, a jakou šanci máme na zadní stranu mince. Buď jsem otázku nevhodně položila nebo byla příliš těžká. Nikdo nedokázal odpovědět. Žáci stále vymýšleli, jak to udělají, aby jim padla strana, na kterou pomyslí. Udělala jsem to proto jinak. Hřbet mé ruky představoval jednu stranu mince a dlaň druhou. Zeptala jsem se, jestli má některá strana mince větší šanci na výhru. V tomto okamžiku žákům došlo, že šance jsou přibližně stejné. Souhlasili s tím, že si to zkusíme padesáti hody ukázat. A jak to dopadlo? Z devíti pokusů vyšel třikrát velice zajímavý výsledek, přesně 50% šance pro obě strany mince. V dalších dvou případech se počty lišily pouze o dva body, ve dvou případech o šest, v jednom o sedm. Největší rozdíl mezi oběma stranami mince byl 16. Přehled o hodech korunou všech dvojic najdete v příloze (příloha 10).
Hra na směnárnu
Úkol: Najděte alespoň 3 způsoby, jak lze rozměnit desetikorunu na drobné mince (pětikoruny, dvoukoruny a koruny).
Motivace: Zahrajeme si na zaměstnance směnárny nebo banky, kteří musí často plnit přání zákazníků, aby jim rozměnili některé větší mince nebo bankovky. Jak byste vyřešili tento úkol vy?
Co se procvičuje: sčítání a odčítání v oboru do 10, manipulace s penězi
Co se rozvíjí: logické a kombinační myšlení, pohotovost při nakupování
Rozvíjené kompetence: kompetence pracovní, kompetence k řešení problémů, kompetence komunikativní
Věk: od 2. ročníku
Forma práce: práce ve dvojicích nebo samostatná práce
Čas: do 15 minut
Pomůcky: papírové peníze – koruny, dvoukoruny, pětikoruny; papír a tužka
Popis činnosti: Každá dvojice nebo jednotlivec dostane dostatečný počet papírových korun (10), dvoukorun (5), pětikorun (2). Žácimají za úkol najít alespoň 3 kombinace jak drobnými mincemi vyplatit 10 korun. Všechna objevená řešení si budou zapisovat ve tvaru 5 + 2 + 2 + 1 nebo si je schematicky malovat. Objeví někdo ještě více možností jak vyplatit 10 korun?
Hodnocení: Tuto aktivitu jsem vyzkoušela pouze s polovinou třídy. Jednalo se spíš o žáky méně bystré. Druhá polovina třídy psala testy. Pracovali jsme na koberci. Jakmile se u nás v matematice pracuje s penězi, žáci jsou silně motivováni. Žáci pracovali po jednom, papírových peněz jsme měli velkou zásobu. Každý si napočítal 2 pětikoruny, 5 dvoukorun a 10 korun, kterým někteří začali pro přehlednost říkat „jednokoruny“. Abychom si práci s penězi osvěžili, začali jsme nejprve společně vyplácet vždy danou částku. Po třetím kole, kdy jsme skládali 11 Kč a našli jsme velké množství řešení, jsme se pustili do samotného úkolu. Žáci si papírové peníze přemísťovali po koberci, zpočátku pracovali pouze zpaměti. Každé řešení si malovali na papír. Objevených možností postupně přibývalo, žáci se předháněli. Všichni měli velkou radost.
Všech deset možností (příloha 11) objevilo 6 žáků, ale u dvou se některá řešení opakovala. Bylo to proto, že pouze přeházeli pořadí mincí a řešení se jim zdálo jiné. Další žáci přišlï na 9, 7 nebo 5 možností. V závěru si zasloužili velkou pochvalu, protože jsem upřímně ani nedoufala, že jich tolik najde všechny způsoby. Při aktivitě jsme se i zasmáli, protože vznikly názvy jako trojkoruny a čtyřkoruny.
Podnikový večírek
Úkol: Nejprve odhadněte a potom spočítejte, kolikrát si pět lidí musí podat ruce, aby se mohli vzájemně představit. Všechny možnosti sepište.
Motivace: Jako dospělí se budete účastnit nejrůznějších pracovních i soukromých setkání. Je přirozené, že se budete chtít se všemi účastníky setkání seznámit. Nezajímá vás, kolikrát si budete s někým podávat ruku?
Co se procvičuje: komunikační dovednosti
Co se rozvíjí: logické a kombinační myšlení
Rozvíjené kompetence: kompetence komunikativní, kompetence sociální a personální
Věk: od 2. ročníku
Forma práce: práce ve skupinách
Čas: do 10 minut
Pomůcky: papír a tužka pro skupinu
Popis činnosti: Žáci jsou rozděleni do pětičlenných skupin. Pokud není počet žáků dělitelný pěti, vytvoříme raději větší skupiny než menší. Úkolem žáků je nejprve odhadnout, kolikrát si vzájemně podají ruce, aby se mohl každý s každým seznámit. Svůj odhad napíší na papír. Ve druhé části si žáci vzájemně podávají ruce, představují se a každou dvojici napíší rovněž na papír v podobě např. Václav – Jan. Cílem je sepsat všechny takové dvojice, aby se každý seznámil s ostatními.
Hodnocení:
V den, kdy jsem testovala tuto aktivitu, bylo ve škole 17 žáků. Ti utvořili 2 šestičlenné a 1 pětičlennou skupinu. Každá skupina představovala účastníky večírku. Těchto šest (pět) lidí sedí na večírku spolu u stolu a ještě se neznají. Chtějí znát svá jména, seznámí se představením a podáním ruky. Každé skupině jsem dala lístečky se jmény, které si měli žáci rozdělit. Byli to pánové Bejval (B), Vokurka (V) a Malý (M) a dámy Kočičková (K) a Pecková (P). Šestičlenné skupiny ještě doplnila paní Dvořáková (D). Každá skupina dostala papír a tužku a všechna podání ruky si zapisovala. Všechny skupiny, jak jsem je stihla pozorovat, pracovaly spíš náhodně. Úvodní odhad celkového podání rukou jsem úmyslně vyřadila, neboť se žáci s podobnou úlohou nedávno setkali. Proto by jejich odhady pravděpodobně odpovídaly skutečnému výsledku.
Nejúspěšnější byla pětičlenná skupina, ale je pravda, že měla úkol o malinko jednodušší. Tato skupina našla všech 10 podání rukou. Své výsledky zaznamenala takto: K – P, K – V, M – P, M – V, M – B, P – B, K – B, B – V, M – K, V – P. Šestičlenné skupiny pracovaly také velice naplno, ale jim se ve stanoveném časovém limitu všechna podání rukou najít nepodařilo. První skupině chybělo pouze jedno podání, a to pan Bejval s paní Dvořákovou. Své řešení napsali žáci takto: M – B, B – V, M – D, P – B, K – B, P – M, K – M, K – P, M – V, P – D, K – V, D – K, P – V, D – V. Ve druhé skupině vítězil nejprve zmatek, sami se nemohli při hodnocení ve svých poznámkách vyznat. Nakonec však žáci objevili 11 možností. Jejich zápis vypadal následovně: P – B, M – P, K – V, K – B, V – D, M – D, B – V, V – P, M – V, D – P, B – D.
Touto aktivitou jsme si ukázali, že pokud lidé nebo kdokoli jiný tvoří dvojice, nezáleží na pořadí, kdo se komu představí první anebo kdo je vpravo a kdo vlevo (například v lavicích ve škole).
U babičky na dvorečku
Úkol: Na dvoře hospodářství jsou husy a krávy. Víme, že tam jsou nejméně 3 husy a nejméně 3 krávy. Víme, že na dvoře jsou celkem 42 zvířecí nohy. Kolik je na dvoře hus a kolik krav? Příklad má více řešení. Najděte alespoň jedno.
Motivace: Na jaře se rodí a líhnou nová mláďata. Na jeden dvorek nahlížíme pouze pod vraty a vidíme jen nohy hus a krav. Majitel nám prozradil, kolik nohou mají zvířata dohromady. Přijdete na to, o kolik hus a krav se musí postarat?
Co se procvičuje: sčítání a násobení, čtení s porozuměním
Co se rozvíjí: logické a kombinační myšlení
Rozvíjené kompetence: kompetence k řešení problémů, kompetence pracovní, kompetence k učení
Věk: od 4. ročníku
Forma práce: individuální nebo skupinová práce
Čas: do 10 minut
Pomůcky: sešit a tužka
Popis činnosti: Zadání úlohy žákům přečteme a napíšeme na tabuli základní údaje. Společně si vysvětlíme, co je cílem takové slovní úlohy. Při problému si můžeme jedno řešení ukázat anebo zvolit obdobnou úlohu, na které si postup osvětlíme ještě víc. Žáci mohou pracovat samostatně i ve skupinách. Výhodou individuální práce je větší pravděpodobnost nalezení více řešení, protože každý uchopí problém za jiný konec.
Hodnocení: O řešení této úlohy jsem poprosila paní učitelku z páté třídy. V den, kdy úkol zadala, bylo ve třídě pouze 13 žáků. Na úloze pracovali samostatně. Úspěšně úlohu vyřešilo 10 žáků, někteří našli více, nebo dokonce všechna řešení. Netrvala jsem na postupu řešení, úlohu lze řešit i zpaměti. Jeden žák šel na řešení velice systematicky, jeho řešení je stejné jako moje a je úplné.
Úloha má celkem 7 řešení, lze na ně přijít výpočtem nebo znázorňováním čárek místo nohou. Uvádím jeden příklad znázornění (viz příloha 12).
Všechna řešení objevená stejným postupem uvádím v tabulce. Je vidět, že počet hus stoupá vždy o dvě a počet krav klesá po jedné (příloha 13).
V článku jsou popsány metody, formy a příklady učitelské praxe, které vedou žáka k rozvoji logického a kombinačního myšlení v matematice. Je zde řada námětů do vyučování pro inspiraci učitelům matematiky na 1. stupni ZV.
