Loď s pokladem na vodě

Úlohu nejdříve teoreticky vyřešíme a poté řešení experimentálně ověříme.

Řešení úlohy

Na soustavu loďka + truhla s pokladem zobrazenou na obr. 1a působí směrem svisle dolů tíhová síla, jejíž velikost `F_G` je rovna součtu velikostí tíhové síly loďky a tíhové síly truhly s pokladem. Směrem svisle vzhůru působí na tuto soustavu hydrostatická vztlaková síla, jejíž velikost `F_(vz)` je stejná jako velikost výsledné tíhové síly, tj. platí `F_G=F_(vz)`; loď s pokladem totiž plove na hladině vody. Silová bilance je zobrazená na obr. 2, na kterém jsou síly záměrně nakresleny na odlišných přímkách, aby bylo zřejmé jejich působiště: působiště tíhové síly je v těžišti celé soustavy, zatímco působiště vztlakové síly je v těžišti ponořené části tělesa.

Vzhledem k tomu, že velikost vztlakové síly je dána součinem objemu ponořené části tělesa, hustoty tekutiny, v níž je těleso ponořeno (tj. v našem případě hustoty vody), a velikosti tíhového zrychlení, určuje velikost vztlakové síly (a tedy i velikost celkové tíhové síly) ponor loďky s pokladem. A míra ponoření loďky pak určuje i výšku hladiny vody v rybníce.

Během našich úvah zanedbáme hmotnost vzduchu, který se nachází v loďce a který též přispívá k celkové tíhové síle. Tento příspěvek je ale vzhledem k hmotnosti loďky a truhly s pokladem zanedbatelný.

Situace zobrazená na obr. 1b je z fyzikálního hlediska identická se situací zobrazenou na obr. 1a. Když si představíme, že lze truhlu s pokladem dostat z loďky do vody tak, aby byla stále zavěšená na laně přivázaném k lodi, i během pohybu truhly z lodi do vody bude situace stále stejná. Stále se bude jednat o spojenou soustavu loď + truhla s pokladem. Truhla bude stále působit na loďku určitou silou a obě tělesa (loďka a truhla) budou tvořit jedinou soustavu těles.

V situaci, která je zobrazena na obr. 1c, je silová bilance ale jiná (viz obr. 3; síly jsou opět záměrně z důvodu přehlednosti nakresleny na různých přímkách). Na samotnou loďku, která plave opět na hladině vody, působí opět svisle dolů tíhová síla o velikosti `F_(Gl)` a svisle vzhůru hydrostatická vztlaková síla o velikosti `F_(vzl)` , přičemž obě tyto síly jsou v rovnováze, tj. platí `F_(Gl)=F_(vzl)` . Velikost tíhové síly loďky je menší, než je velikost tíhové síly soustavy loďka + truhla s pokladem, proto je menší v tomto případě také i velikost vztlakové síly. Loďka je tedy ponořena svojí menší částí (ve srovnání se situací zobrazenou na obr. 1a) a vytlačuje tedy méně vody. Proto (zatím bez ohledu na truhlu s pokladem) hladina vody v rybníce ve srovnání se situacemi zobrazenými na obr. 1a a obr. 1b klesne.

Nyní je nutné vyřešit, kolik vody vytlačí truhla s pokladem umístěná na dně rybníku. Vzhledem k tomu, že poklad je tvořen zlatem (viz zadání), je velikost `F_(Gp)` tíhové síly působící na truhlu s pokladem výrazně větší, než je velikost `F_(vzp)` vztlakové síly působící na tuto truhlu. Výslednicí těchto dvou sil je v tomto případě tlaková síla o velikosti `F=F_(Gp)-F_(vzp)`, kterou působí truhla s pokladem na dno rybníka. (V předchozím případě byla výslednicí tíhové a vztlakové síly tahová síla, kterou působila truhla s pokladem na lano připevněné k lodi.) Proto truhla s pokladem umístěná na dně rybníka vytlačí pouze takový objem vody `V_2`, jaký je vnější objem truhly. Pro objem `V_2` platí: `V_2=m/rho_p`, kde m je hmotnost truhly a `rho_p` její hustota. 

V předchozích dvou situacích ve shodě s Archimedovým zákonem ale truhla s pokladem vytlačila vodu o stejné hmotnosti m, jako je hmotnost samotné truhly. Takto vytlačená vody má objem `V_1=m/rho`, kde `rho` je hustota vody. Vzhledem k tomu, že hustota truhly `rho_p` je větší než hustota vody `rho` (tj. `rho_p>rho`), je objem `V_2` menší než objem `V_1` (tj. `V_2<V_1`). Truhla ležící na dně jezera tedy vytlačí méně vody než truhla visící na lodi.

Truhla s pokladem (stejně jako loďka – zdůvodnění viz výše) tedy vytlačí v situaci zobrazené na obr. 1c méně vody, než vytlačila v předchozích dvou situacích. Proto hladina vody v rybníce v poslední zobrazené situaci (ve srovnání s předchozími situacemi) klesne.

Na základě vlastní pedagogické praxe velmi doporučuji potlačit v rozboru úlohy, resp. při jejím řešením, matematizaci problému. Zde uvedené matematické vztahy byly přidány autorem dodatečně (a s výhradami) na výzvu recenzentů. Z učitelské praxe vím, že formulovat matematicky problematiku spojenou s Archimedovým zákonem je pro žáky výrazně jednodušší (jedná se o pouhou manipulaci se vzorci), než podat korektní slovní fyzikální popis situace.

Experimentální ověření

K průkaznému experimentálnímu ověření budeme potřebovat dvě takové průhledné nádoby, z nichž vnější průměr menší nádoby je přibližně o 1 cm až 2 cm menší než vnitřní průměr větší nádoby. Lze např. použít kádinku a nádobu, ve které jsou prodávány saláty (viz obr. 4). Dále budeme potřebovat „truhlu s pokladem“ – tu lze simulovat např. pomocí ocelových kuliček, které do vnitřní nádoby umístíme na plastelínové podložky, abychom zamezili jejich pohybu. Připravíme si také fix, kterým vyznačíme na vnější nádobě výšku hladiny vody v jednotlivých případech.

Při tomto experimentu je nutné volit výše popsané průměry nádob, aby byla změna výšky hladiny jasně viditelná. Zároveň je nutné zajistit, aby se zátěž simulující truhlu s pokladem vešla do větší nádoby pod menší nádobu a tato menší nádoba (loďka) mohla volně plavat. To je důvod, proč jsou v experimentu použity kuličky, a ne např. standardní závaží o hmotnosti 100 g.

Kuličky, které budou představovat truhlu s pokladem, umístíme symetricky do menší nádoby a proti pohybu je zajistíme položením na podložky z plastelíny (viz obr. 5).

Takto vytvořený model loďky se zátěží umístíme do větší nádoby, která představuje rybník (viz obr. 6). Výšku hladiny vyznačíme na vnější nádobě fixem.

Nyní vyjmeme menší nádobu z větší, osušíme jí hadrem a kuličky s plastelínovými podložkami opatrně přitlačíme na dno této menší nádoby, ale tentokráte z vnější strany. Kuličky musí být opět rozmístěny podél obvodu dna symetricky. Takto upravenou nádobu, která představuje lodičku v situaci zobrazené na obr. 1b, opatrně ponoříme do vody ve větší nádobě. Porovnáním výšky hladin v tomto případě a v minulém (podle fixem nakreslené rysky) zjistíme, že se výška hladiny nezměnila (viz obr. 7).

Nyní opět vyjmeme menší nádobu z větší, kuličky odlepíme ze dna a včetně podložek z plastelíny je přendáme do větší nádoby. Tím simulujeme situaci, v níž piráti odhodili truhlu s pokladem na dno rybníka (viz obr. 1c). Pak do větší nádoby opatrně položíme i menší nádobu představující samotnou loďku. Porovnáním aktuální výšky hladiny vody ve větší nádobě a výšky hladiny vody podle fixem vyznačené rysky zjistíme, že hladina vody po přemístění kuliček na dno větší nádoby klesla (viz obr. 8).

Tímto experimentem jsme tedy potvrdili výše provedený teoretický rozbor zadané úlohy.