Květinové hodiny

Obrázek 1 - Květinové hodiny v Poděbradech

Cíl výuky

Žák/žákyně

• vyhledá potřebnou informaci v relevantních internetových zdrojích,
• vyhledá dostupné online kalkulátory pro potřebné výpočty, vybere jeden z nich a naučí se ho používat pro zadaný úkol,
• popíše výhody a nevýhody vybraného online kalkulátoru, diskutuje o nich se spolužáky,
• seznámí se s online prostředími, která může nadále aktivně využívat,
• procvičuje a upevňuje své schopnosti řešit úlohy na obsahy rovinných obrazců a jejich poměry.

Základní informace

• Stupeň vzdělávání: gymnázium, střední škola
• Věková skupina: 16 - 18 let
• Vzdělávací obor: matematika a její aplikace
• Tematický okruh: geometrie v rovině
• Časová dotace:
  • Výuka: 1 - 2 vyučovací hodiny
  • Příprava: 0 minut

K čemu aktivita směřuje

Vyhledání a volba vhodného online kalkulátoru k řešení planimetrického problému motivovaného praxí, získání způsobilosti jej správně využívat a případně jej porovnat s jinými.

Pomůcky, hardware, software

• Učitel/ka: PC s připojením na internet, dataprojektor
• Žák/yně: libovolné digitální zřízení (PC, notebook, tablet, mobilní telefon) s připojením na internet

Potřebné vstupní znalosti a dovednosti

• Oborové
  • znalost způsobu výpočtu obsahu pravidelného mnohoúhelníku
  • zběhlost ve způsobu výpočtu středového úhlu výseče kružnice opsané pravidelnému mnohoúhelníku
• Digitální
  • vyhledávání na internetu
  • zápis desetinných čísel

Přínos využití digitálních technologií

Efektivní využití online nástrojů k výpočtům z oblasti obsahů rovinných obrazců.

Zdroje

https://www.kudyznudy.cz/ceska-nej/prirodni/kvetinove-hodiny-v-podebradech 

Metodická poznámka

Úvodní text je určen jako motivace, k vyhledání rozměru čtvercového rámce poskytneme žákům čas maximálně 5 minut. Dohodneme se, že budeme dále všichni počítat s  délkou strany čtverce 5,1 m.

Žáci pracují ve dvojicích, ideálně každý využije jiný online kalkulátor a porovnají si výsledek.

Čas potřebný pro vyhledání vhodného online kalkulátoru a stanovení délky strany pravidelného dvanáctiúhelníku odhadneme asi na 20 minut. Rychlejší žáky vyzveme k vyzkoušení dalšího internetového kalkulátoru.

Diskuze probíhá nejdříve ve dvojicích, poté je společně řízena vyučujícím.

Dalších deset minut žáci řeší samostatně úlohu č. 2. Napovíme, že důkaz lze provést ručními výpočty s výrazy.

Na konci hodiny by mělo zaznít, že ne vždy je užití online kalkulátoru vhodné k řešení problému.

Popis vzdělávací aktivity

Je doloženo, že již od roku 1936 jsou součástí lázeňského parku v Poděbradech květinové hodiny čtvercové obruby osázené okolo 7 000 rostlinami, obr. 1. Osazení, a tím i grafická podoba hodin, se mění dvakrát do roka. Zahradníci na nich každý den časně ráno (pokud hodiny nejsou pokryty souvislou vrstvou sněhu) vysazují z květin také aktuální datum. Jedním z grafických návrhů podoby hodin je pravidelný dvanáctiúhelník vepsaný do čtverce, obr. 2.

Obrázek 2 - Grafický návrh květinových hodin

Úloha 1 - Rozměry

1. Vyhledejte v online zdrojích rozměry čtvercového ohraničení PONM Poděbradských květinových hodin.
2. Na základě již známé hodnoty délky strany čtverce je potřeba určit délku strany pravidelného dvanáctiúhelníku. K online výpočtu využijte jakýkoliv vhodný internetový kalkulátor.
3. Diskutujte se spolužáky o výhodách a nevýhodách online výpočtu. 

Řešení

1. Rozměry čtvercového rámce hodin jsou 5,1 m x 5,1 m. Můžeme také najít zdroj, kde je uvedena hodnota 5 m x 5 m. K dalším výpočtům používáme délku strany čtverce 5,1 m.
2. Polovina strany čtverce je poloměrem kružnice opsané pravidelnému dvanáctiúhelníku. Uvádíme tři nejčastěji používané online kalkulátory pro výpočet obrazců. Prvním jsou stránky www.vypocitejto.cz (obr. 3, pro zvětšení klikněte na obrázek).

Obrázek 3 - Nabídka stránek www.vypocitejto.cz

Nejdříve je potřeba nastavit jednotky, pak doplnit počet stran mnohoúhelníku a do správné kolonky zapsat známý údaj, v našem případě poloměr kružnice opsané, obr. 4.

Obrázek 4 - Zadání údajů

V dolní části nastavíme počet desetinných míst (nastavili jsme dvě) zaokrouhlení a potvrdíme výpočet. Zobrazí se všechna dopočítaná data, obr. 5. Vidíme, že odpovídající strana dvanáctiúhelníku je\\[ a\\doteq1{,}32 \\,\\mathrm{m} \\] .

Obrázek 5 - Výsledky výpočtu

Druhý z možných použitých online kalkulátorů pro výpočet obrazců najdeme na adrese www.viklan.cz. Zde je třeba nejdříve vybrat správně slovní formulaci způsobu výpočtu, která odpovídá známým veličinám - v našem případě poloměr kružnice opsané a počet stran pravidelného mnohoúhelníku, obr. 6.

Obrázek 6 - Online výpočet na www.viklan.cz

Poslední z vybraných online kalkulátorů je dostupný na adrese www. dopocitej.cz, obr. 7. Do tabulky v dolní části doplníme známé údaje včetně nastavení požadovaných jednotek všech počítaných veličin, obr. 8.

Obrázek 7 - Vizuální podoba online kalkulátoru www.dopocitej.cz

Obrázek 8 - Zobrazení zadání a výsledků

Ve všech online kalkulátorech při zaokrouhlení na dvě desetinná místa vychází délka strany pravidelného dvanáctiúhelníku \\[ a\\doteq1{,}32 \\,\\mathrm{m} \\] .

3. U všech uvedených online kalkulátorů pomáhají s řešením problému obrázky. Je třeba si předem promyslet, s jakou přesností chceme mít výsledek. První ukázkový zdroj umožní volbu nastavení počtu desetinných míst, a to dokonce na více než deset. Druhý automaticky zaokrouhluje na pět desetinných míst, poslední na tři. To znamená, že žádný z uvedených kalkulátorů nemusí poskytnout přesný výsledek. Pouze první z uvedených zobrazí také postup výpočtu. Všechny pak poskytují výpočet mnoha dalších veličin.

Úloha 2 - Poměr obsahů (s nástrojem www.vypocitejto.cz)

Určete poměr obsahů pravidelného dvanáctiúhelníku a jemu opsaného čtverce. Závisí tento poměr na délce strany čtverce? Dokažte. Můžete využít informace (vzorce) z online prostředí kalkulátoru.

Řešení

K vyřešení úkolu na poměr musíme znát pokud možno přesnou hodnotu obsahů. Při práci s online kalkulátorem výpočtů obsahů nevystačíme s malým počtem desetinných míst. Obsah našeho pravidelného dvanáctiúhelníku je přesně \\[ 19{,}507\\ 5\\ \\mathrm{m^2} \\] a čtverce \\[ 26{,}01\\ \\mathrm{m^2} \\], poměr obsahů \\[ 3:4 \\].

„Ruční“ důkaz, že poměr obsahů je roven \\[ 3:4 \\], není nijak obtížný. Označíme-li \\[ a \\] stranu čtverce, pak poloměr kružnice opsané pravidelnému dvanáctiúhelníku čtverci vepsanému (jedná se též o poloměr kružnice čtverci vepsané) má délku \\[ \\frac{a}{2} \\]. Stejnou hodnotu má také rameno každého z dvanácti shodných rovnoramenných trojúhelníků s hlavním vrcholem ve středu dvanáctiúhelníku (případně čtverce), obr. 9. 

Obrázek 9 - Rovnoramenný trojúhelník

Z vlastností středových a obvodových úhlů víme, že úhel proti základně v každém takovém rovnoramenném trojúhelníku má velikost \\[ 30^\\circ \\]. Pro obsah jednoho trojúhelníku pak platí

\\[ S_\\bigtriangleup=\\frac{1}{2}\\cdot\\left(\\frac{a}{2}\\right)^2\\cdot\\sin30^\\circ \\]

\\[ S_\\bigtriangleup=\\frac{1}{2}\\cdot\\frac{a^2}{4}\\cdot\\frac{1}{2}=\\frac{1}{16}a^2, \\]

obsah pravidelného dvanáctiúhelníku je pak roven

\\[ S=12\\cdot\\frac{1}{16}\\cdot a^2=\\frac{3}{4}a^2. \\]

To znamená, že obsah pravidelného dvanáctiúhelníku tvoří \\[ \\frac{3}{4} \\] obsahu čtverce se stranou délky \\[ a \\], poměr obsahů je \\[ 3:4 \\] a nezávisí na hodnotě délky této strany.

Reflexe

Žáci pracovali na svých mobilních telefonech, jediný zádrhel u některých spočíval v zadávání desetinných čísel desetinnou tečkou. Několik jedinců vyhledalo zdroj s rozměry čtvercového rámce \[ 5\,\mathrm{m}\times5\,\mathrm{m} \]. Proběhla krátká diskuze o důvěryhodnějších zdrojích, které nabízejí informaci využitou ve vzorovém řešení.

Kromě výše uvedených on-line kalkulátorů pro výpočet obsahu pravidelného mnohoúhelníku žáci využili také https://vypocty.eu/ a anglický web https://calcresource.com/. Vyzvali jsme žáky, aby výpočty provedli ve dvou nezávislých prostředích a výsledky porovnali. Žáci se zaujetím diskutovali o výhodách a nevýhodách užitých on-line kalkulátorů.

Při zjišťování poměru obsahů pouze dva žáci dokázali využít on-line kalkulátoru k nalezení přesného výsledku. Ostatní se raději pustili do ručního výpočtu a ne všichni ho v průběhu jedné vyučovací hodiny stihli.