Konvergentní geometrická řada názorně

Předložené příklady jsou převzaty z publikace Roger B. Nelsena Důkazy beze slov s podtitulem Cvičení v názorném myšlení. Kniha uvádí řadu grafických "důkazů" - spíše demonstrací nebo ilustrací - pouček a vztahů středoškolské matematiky. Autor uvádí, že tato sbírka má dlouhou historii, jednotlivé příklady jsou vybrány z mnoha zdrojů. V publikaci jsou u jednotlivých příkladů připojena jména autorů.

Jedna část knihy je věnována součtu konvergentní geometrické řady. Jak je vidět z přiložených obrázků, konvergenci nekonečné geometrické řady (s kladným kvocientem menším než jedna) i její součet lze snadno určit z grafického znázornění pomocí podobnosti nebo stejnolehlosti. Pro dva stejnolehlé obrazce s žáky určíme střed stejnolehlosti a její koeficient. Dále ukážeme, že grafické znázornění odpovídá nekonečné geometrické řadě obsahů nebo (v příkladech 3 a 4) délek, že každý člen dané nekonečné řady je na příslušném obrázku obsažen a že taková konvergentní řada má součet, který lze jednoduchou geometrickou úvahou určit. Výsledek ověříme podle známého vzorce.

Příklady se týkají některých speciálních případů nebo součtu geometrické řady pro kladný kvocient v obecném případě. Navíc je demonstrováno sčítání hypergeometrické řady (příklady 5 a 6). Jednotlivé obrázky jsou uvedeny nebo doplněny stručným komentářem, který se snaží zachytit hlavní myšlenku příkladu. Doprovodné texty jsou vzhledem k originálu mírně upraveny a rozšířeny.

Náměty mohou sloužit jako propedeutika nebo znázornění limitního procesu a především jako názorná ukázka souladu geometrického pohledu se vzorcem pro součet konvergentní geometrické řady.

Použitá literatura:
Nelsen, R. B.: Proofs Without Words, Exercises in Visual Thinking, Classroom Resource Materials Number 1. The Mathematical Association of America, 1993, vii + 151 pp., 118 - 125.

Informační zdroje:

Nelsen, R. B.: Proofs Without Words, Classroom Resource Materials Number 1