Tento materiál pochází ze staršího archivu rvp.cz a už není součástí aktuální nabídky. Uchováváme ho, aby na něj dál vedly původní odkazy.
Odborný článek
Jednoduché a složené úročení
1,0 (1 hodnocení)
Článek vysvětluje podstatu jednoduchého a složeného úročení a upozorňuje na rozdíly mezi nimi. V článku jsou pro řešení motivačních úloh odvozeny vzorce pro jednorázové vklady v obou typech úročení. Tyto vzorce jsou následně využity při řešení konkrétní úlohy z oblasti vkladů.
Různá šetření finanční gramotnosti občanů v posledních letech ukazují, že znalosti ze světa financí jsou u většiny respondentů nedostačující. Přitom se již žáci druhého stupně základních škol ve vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace mají seznámit s důležitými pojmy finanční matematiky (úrok, úroková míra, zisk, jednoduché úročení aj.). Tyto znalosti by měly být dále teoreticky rozvíjeny ve střední škole v tematickém celku o posloupnostech, kde se žáci dozvídají o matematickém modelu jednoduchého a složeného úročení. Přesto zmíněné výzkumy potvrzují, že většina občanů má problémy s orientací ve světě financí.
Podívejme se na následující příklad.
První půjčuje druhému 1 000 Kč na dva roky. „Jako odměnu budu chtít za každý rok 10 % z dluhu”, říká první. Kolik korun musí vrátit druhý (dlužník) prvnímu (věřiteli) na konci druhého roku?
Druhý předpokládá, že to bude 1 200 Kč, první s touto částkou ale nebude spokojen a bude chtít 1 210 Kč.
Jak je to možné? Kdo z nich uvažuje nesprávně?
Řešení
Oba počítají správně. Druhý uplatnil při výpočtu jednoduché úročení, první použil složené úročení.
V tomto článku objasníme podstatu jednoduchého a složeného úročení a odvodíme příslušné vzorce pro výsledný kapitál při splacení jednorázového vkladu. Nejprve si ale připomeneme některé základní pojmy, které budeme v dalších úvahách potřebovat:
Úrok u – částka, kterou získává věřitel od dlužníka jako odměnu za půjčení peněz.
– podíl úroku získaného za rok a zapůjčeného kapitálu; vyjadřuje se v procentech nebo ve tvaru desetinného čísla. Ve všech příkladech v tomto článku se jedná o roční úrokovou sazbu.
Úrokovací období – časový úsek mezi dvěma bezprostředně po sobě následujícími úročeními; počet dní úrokovacího období značíme t .
Daň z úrokud – procentuální část úroku, jejíž výši určuje pro jednotlivé vkladové produkty stát a která se také státu odvádí.
Zdaňovací koeficient k – číslo dané vztahem `k = (100-d)/100` , kde d je daň z úroku vyjádřená v procentech.
Standard 30E/360 – norma, která udává počet dní ve finančním měsíci a počet dní ve finančním roce. V tomto standardu má každý finanční měsíc 30 dní a každý finanční rok 360 dní, proto je standard 30E/360 pro výpočty nejjednodušší. Ve všech následujících příkladech předpokládáme jeho užití.
Dluhopis – cenný papír, kterým se dlužník zavazuje jeho majiteli, že mu splatí dlužnou částku včetně úroku ve stanovených termínech. Dluhopisy vydává stát, města, obce, podniky.
Termínovaný vklad (termínovaný účet) –typ vkladu, jehož doba splatnosti může být několik dnů až několik let. Založení termínovaného vkladu obvykle znamená, že vkladatel nemůže vložený kapitál bez sankcí po sjednanou dobu z banky vyzvednout.
Termínovaný vklad (termínovaný účet) s revolvingem (s opakováním) –termínovaný vklad, který může být po uplynutí sjednané doby trvání vkladu automaticky prodloužen na další stejně dlouhou dobu (pokud vkladatel nedá výpověď).
Nyní se budeme věnovat jednoduchému úročení.
Jednoduché úročeníje takovýzpůsob úročení, při kterém se úroky počítají stále z počátečního kapitálu.
Pan Novák zakoupil dluhopis za 20 000 Kč s dobou splatnosti tří let a s úrokovou sazbou 2,5 %. Na konci prvního a druhého roku bude dostávat úrok, který před zdaněním činí 2,5 % z vloženého kapitálu. Na konci třetího roku mu bude vyplacena vložená částka spolu s úrokem za třetí rok. Daň z úroku je 15 %.
a) Určete úrok za jeden rok před zdaněním.
b) Vypočítejte úrok za jeden rok po zdanění.
c) Určete celkový součet úroků po zdanění za tři roky (tzv. čistý výnos z dluhopisu).
Řešení
Vložený kapitál .................. 20 000 Kč
Úroková sazba .................. 0,025
Úrokovací období ............... 360 dní = 1 rok
Daň z úroků ...................... 15 %
Zdaňovací koeficient ........... 0,85
a) Ze zadání úlohy vyplývá, že se jedná o jednoduché úročení. Úrok za jeden rok před zdaněním činí:
0,025 · 20 000 Kč = 500 Kč
b) Úrok po zdanění za jeden rok je 85 % z úroku před zdaněním:
0,85 · 500 Kč = 425 Kč
c) Součet úroků po zdanění za tři roky:
3 · 425 Kč = 1 275 Kč
Nyní si odvodíme vzorec pro výsledný kapitál, který získáme z jednorázového vkladu při jednoduchém úročení.
Klient uložil do banky kapitál K 0. Banka užívá jednoduché úročení s úrokovou sazbou i(vyjádřenou desetinným číslem), úrokovací období je t dní, počet úrokovacích období je n, zdaňovací koeficient je k.
a) Vypočítejte celkový úrok po zdanění, který klient obdrží na konci n-tého úrokovacího období.
b) Vypočítejte výsledný kapitál, který klientovi bude vyplacen po n úročeních, tj. celkovou částku, na kterou vzroste kapitál do konce n-tého úrokovacího období.
Řešení
a) Banka používá jednoduché úročení, proto se úrok po zdanění na konci každého úrokovacího období počítá vždy z počátečního kapitálu K 0, a je tedy stále stejný:
`u_1=k*i*t/360 K_0`
(Pro t = 360 dní je zdaněný úrok roven `k*i*K_0 `; pro t = 180 dní je zdaněný úrok `k* i* 180/360 K_0` čili `k * i * 1/2 K_0 ` atd.).
Celkový zdaněný úrok un na konci n-tého úrokovacího období je proto n-násobkem úroku u 1 za jedno úrokovací období:
`u_n = u_1 * n`
neboli
`u_n = k * i * t/360 K_0 * n` .
b) Výsledný kapitál Knna konci n-tého úrokovacího období je dán součtem počátečního kapitálu a celkového úroku po zdanění:
`K_n = K_0 + u_n`
neboli
`K_n = K_0 * (1 + k * i * t/360 * n )` .
Teď se soustředíme na složené úročení.
Složené úročení je takový způsob úročení, při kterém se úrok na konci každého úrokovacího období přičítá k již dosažené hodnotě kapitálu a spolu s ním se dále úročí.
Paní Nováková vložila do banky 20 000 Kč na termínovaný účet na 3 roky. Banka používá složené úročení, úrokovací období je 1 rok, úroková sazba je 2,5 %. Daň z úroku činí 15 %.
a) Vypočítejte, kolik korun paní Nováková obdrží při výběru peněz na konci třetího roku.
b) Určete, kolik korun činí celkový úrok po zdanění za tři roky.
Řešení
Vložený kapitál .................... 20 000 Kč
Úroková sazba .................... 0,025
Úrokovací období ................. 360 dní = 1 rok
Daň z úroků ........................ 15 %
Zdaňovací koeficient ............. 0,85
a) Kapitál na konci prvního úrokovacího období po zdanění úroku:
Přejdeme k odvození vzorce pro výsledný kapitál, který získáme z jednorázového vkladu při složeném úročení.
Klient uložil do banky kapitál K0. Banka užívá složené úročení s úrokovou sazbou i (vyjádřenou desetinným číslem) , úrokovací období je t dní, počet úrokovacích období je n , zdaňovací koeficient je k.
a) Vypočítejte výsledný kapitál Kn, který klient obdrží po zdanění na konci n-tého úrokovacího období, tj. po n úročeních.
b) Vypočítejte celkový úrok un po zdanění, který klient obdrží na konci n-tého úrokovacího období.
Řešení
a) Kapitál K 1na konci prvního úrokovacího období po zdanění úroku:
`K_1 = K_0 + k * i * t/360 * K_0 = K_0 * (1 + k * i * t/360 )`
Kapitál K 2na konci druhého úrokovacího období po zdanění úroku:
`K_2 = K_1 + k * i * t/360 * K_1 = K_0 * (1 + k * i * t/360 )+ k * i t/360 * K_0 * (1 + k * i * t/360 )`
Po úpravě výrazu dostáváme:
`K_2 = K_0 * (1 + k * i * t/360 )^2`
KapitálK 3 na konci třetího úrokovacího období po zdanění úroku:
`K_3 = K_2 + k * i * t/360 * K_2 = K_0 * (1 + k * i * t/360 )^2 + k * i * t/360 * K_0 * (1 + k * i * t/360 )^2`
Po úpravě výrazu dostáváme:
`K_3 = K_0 * (1 + k * i * t/360 )^3`
Kapitál Kn na konci n -tého úrokovacího období po zdanění úroku:
`K_n = K_(n -1) + k * i * t/360 * K_(n -1) = K_0 * (1 + k * i * t/360 )^ (n -1) + k * i * t/360 * K_0 * (1 + k * i * t/360 )^ (n -1)`
Po úpravě výrazu dostáváme:
`K_n = K_0 * (1 + k * i * t/360 )^n`
b) Celkový úrok unpo zdanění na konci n -tého úrokovacího období vypočítáme jako rozdíl výsledného a počátečního kapitálu:
`u_n = K_n - K_0 = K_0 * (1 + k * i * t/360 ) ^n - K_0 = K_0 * [(1 + k * i * t/360 )^n - 1]`
Nyní si ukážeme konkrétní příklad, ve kterém budeme řešit situace s využitím jednoduchého i složeného úročení.
Paní Věcná se chystá uložit na termínovaný vklad na jeden měsíc s revolvingem částku 150 000 Kč. Banka používá složené úročení, úroková sazba termínovaného vkladu jsou 2 %, úrokovací období je 1 měsíc, daň z úroku činí 15 %.
Rozhoduje se mezi dvěma variantami:
a) V den splatnosti vkladu, tj. vždy za měsíc, převést úrok na svůj běžný účet.
b) Ponechat úrok na termínovaném vkladu, který se v dalším úrokovacím období též úročí.
Určete výsledný kapitál, který by paní Věcná získala při výpovědi na konci šestého měsíce v případě a) i b).
Řešení
Počáteční kapitál ..................... K 0 = 150 000 Kč
Úroková sazba ........................ i = 0,02
Úrokovací období .................... t = 30 dní
Daň z úroků ........................... d = 15 %
Zdaňovací koeficient ................ k = 0,85
Počet úrokovacích období ......... n = 6
a) V případě, že banka převede na konci každého měsíce paní Věcné úrok na její běžný účet, jedná se z hlediska termínovaného vkladu o jednoduché úročení.
Pro úrok u 1 po zdanění za jeden měsíc platí:
`u_1 = k * i * t/360 K_0 = 0,85 * 0,02 * 30/360 * 150 000`Kč `= 212,50` Kč
Celkový úrok u 6 po zdanění na konci šestého úrokovacího období je tedy šestinásobkem úroku po zdanění za jedno úrokovací období:
`u_6 = u_1 * 6 = 212,50` Kč` * 6 = 1 275 `Kč
Výsledný kapitál K 6na konci šestého úrokovacího období je dán součtem počátečního kapitálu K 0 a celkového úroku u 6 po zdanění:
b) Pokud paní Věcná ponechá úrok na termínovaném vkladu, jedná se o složené úročení. Pro výsledný kapitál K 6na konci šestého úrokovacího období platí:
Tento příklad naznačuje, že při nízkých úrokových sazbách se výsledné kapitály získané při složeném a jednoduchém úročení, při jinak stejných podmínkách, příliš neliší.
Literatura a použité zdroje
ODVÁRKO, O. Úlohy z finanční matematiky pro střední školy. Praha: Prometheus, 2005. ISBN 80-7196-303-8.
ODVÁRKO, Oldřich; ROBOVÁ, Jarmila. Finanční matematika s kalkulačkami Casio. Praha, 2005.
ODVÁRKO, Oldřich; ROBOVÁ, Jarmila. Budování finanční gramotnosti v matematice [online]. 2009. [cit. 2010-03-25]. Dostupné z: http://clanky.rvp.cz/clanek/c/ZVPD/6787/BUDOVANI-FINANCNI-GRAMOTNOSTI-V-MATEMATICE.html.
RADOVÁ, Jarmila; DVOŘÁK, Petr. Finanční matematika pro každého. 4. vyd. Praha: GRADA Publishing, 2003. 259 s. ISBN 80-247-0473-0.
