Jen těžko si lze představit jak „velké“ jsou plochy s větší hodnotou obsahu. Aby člověk získal určitou představu o velikosti, volí často metodu jejího porovnání s jiným, známým objektem. Seznámíme se s významným stavebním prvkem historických vojenských obranných pevností – bastionem – a porovnáme plochu jednoho z nich, který je součástí pevnosti v Terezíně, s fotbalovým hřištěm. V aktivitě využíváme modelování v dynamickém programu GeoGebra, s jehož pomocí můžeme efektivně stanovit potřebné metrické údaje a experimentálně manipulovat s geometrickými objekty.
Cíl výuky
Žák/yně
řeší problémovou úlohu motivovanou praxí,
na pozadí řešení matematického problému se seznámí s populárně naučným webem,
vyhledá v internetových zdrojích rozměry geometrických útvarů potřebné k řešení problému,
vloží a upevní obrázek do nákresny programu GeoGebra,
aktivně používá metrické nástroje programu (obsah mnohoúhelníku, vzdálenost),
samostatně provádí jednoduché geometrické konstrukce v programu GeoGebra (mnohoúhelník, obdélník daných rozměrů),
využívá program GeoGebra k modelování a ověření vlastní hypotézy,
aplikuje své poznatky o výpočtech obsahů rovinných obrazců a přímé úměrnosti mezi veličinami,
získává konkrétní poznatek o významu tvaru geometrického útvaru při porovnávání ploch.
dovednost vložit obrázek do prostředí nákresny programu GeoGebra
schopnost ovládat základní konstrukční a měřicí nástroje programu GeoGebra (konstrukce úsečky daného rozměru, nástroje Kolmice, Rovnoběžka, Průsečík, Mnohoúhelník, Vzdálenost, Obsah, …)
Přínos využití digitálních technologií
Efektivní zjištění potřebných informací a dat, tvorba a využití počítačového modelu k jinak neuskutečnitelnému experimentování.
Metodická poznámka
Cílem první hodiny je především seznámení s významem slova bastion v kontextu historie staveb vojenských pevností, vyhledávání potřebných informací v relevantních zdrojích, seznámení se s populárně naučnými webovými stránkami o pevnosti Terezín a následná diskuze. Proto se nabízí možnost využít spolupráce dalšího pedagoga, který by se tématu věnoval například v hodině dějepisu.
Žákům zadáme za domácí úkol zjistit význam slova bastion (ukázalo se, že ne všichni žáci toto slovo znají).
První vyučovací hodinu se žáky zahájíme diskuzí o bastionu a jeho historickém významu. Poté je vhodné převést řeč na vojenské pevnosti v ČR (zda žáci někdy slyšeli o nějaké historické vojenské pevnosti vybudované na našem území).
Zadání úlohy je jasné, vyhradíme asi 15 minut na zjišťování informací o rozměrech hřiště a plného terezínského bastionu. Poté společně diskutujeme, jaké informace žáci dohledali a v jakých zdrojích. Cílíme na využití webové stránky https://www.pevnostterezin.cz/. Domluvíme se, s jakými konkrétními údaji budeme dále pracovat.
Ve druhé vyučovací hodině provádíme vlastní modelování v programu GeoGebra, hodinu uzpůsobíme podle schopnosti žáků samostatně pracovat s tímto programem.
Žáci vloží obrázek bastionu do aplikace GeoGebra Klasik 6. Z důvodu průběžné kontroly a zachování odpovídajícího poměru velikostí obou objektů (mnohoúhelníku a hřiště) obrázek jednotně ukotvíme. Přes pravé tlačítko myši, nástroj Nastavení a zaškrtnutí nabídky Upevnit objekt umístíme modré manipulační body A, B například do mřížových bodů 0 a 10 na ose (obr. 1).
Obrázek 1 – Upevnění obrázku do mřížových bodů
Pokusíme se o odhad. Žáky informujeme, že hřiště budeme umisťovat do „pětiúhelníkové“ horní části bastionu. Ukazuje se problém s výpočtem obsahu pětiúhelníku. Program GeoGebra ale může pomoci. Zjistíme počítačový obsah pětiúhelníku v jednotkách čtverečních. Je zapotřebí výpočtem stanovit kolik metrů ve skutečnosti představuje jedna jednotka v programu GeoGebra. Je důležité si uvědomit, že se snažíme dospět k nějakému „rozumnému“ výsledku, nikoli naprosto přesnému.
Další diskuze se týká postupu řešení zadané úlohy počítačovým modelováním. Žáky vyzýváme k návrhům, přičemž se je snažíme navést na využití nástrojů programu.
Po skončení krátké diskuze se domluvíme na společném postupu: stanovení rozměrů (v jednotkách programu) obdélníku znázorňujícího fotbalové hřiště a jeho konstrukce.
Vlastní konstrukci a přemísťování provádějí žáci samostatně.
V případě, že nám zbude čas, můžeme žáky směrovat návodnými otázkami ke zjištění dalších poznatků o terezínské pevnosti, resp. bastionu.
Například:
Měl nějaký význam pětiúhelníkový tvar bastionu?
Kolik bastionů pevnost má? Kolik různých?
Stavěla se pevnost jako symetrický útvar? Mělo to svůj důvod?
Popis vzdělávací aktivity
Úloha je zaměřena na porovnání velikosti (ve smyslu obsahu) a tvaru bastionu jakožto stavebního prvku historických vojenských pevností se soudobým fotbalovým hřištěm.
Úloha – Bastion a fotbalové hřiště
Vešlo by se fotbalové hřiště na plochu terezínského plného bastionu? Ověření proveďte pomocí programu GeoGebra a využijte obrázek v příloze.
Řešení
Rozměry fotbalového hřiště nejsou zcela přesně dány, jeho šířka a délka se obvykle pohybuje v určitých rozpětích. Například podle Wikipedie mají profesionální soutěže UEFA pro vybrané kategorie stanoveny rozměry hřiště 105 m x 68 m, patří tak k těm největším. V dalších krocích pracujeme právě s těmito hodnotami.
Obrázek 2 – Model plného bastionu Autor: Petr Čapek
Výpočet začneme hrubým odhadem. Celková plocha fotbalového hřiště výše uvedených rozměrů je 7 140 m2. Je zřejmé, že hřiště bychom chtěli umístit do „pětiúhelníkové“ horní části bastionu, kterou považujeme za souměrný útvar. Ke zjištění obsahu pětiúhelníku využijeme možnosti programu GeoGebra. Přiložený obrázek vložíme do nákresny a užitím nástroje Mnohoúhelník zjistíme také hodnotu jeho obsahu v jednotkách čtverečních (zobrazí se jako číselný údaj v algebraickém okně). Řekněme, že obsah pětiúhelníku je 26,61 j2 (obr. 3). V nastavení úsečky (označené strany mnohoúhelníku) výběrem zobrazení popisu Název a Hodnota (nebo pomocí nástroje Vzdálenost) stanovíme délku líce nebo boku modelu bastionu. Vybereme si např. líc, v obrázku 3 měří strana \\[ \\small{f~=~5{,}14 ~\\mathrm{j}} \\]. Jednoduchým výpočtem užitím přímé úměrnosti zjistíme, kolik metrů ve skutečnosti odpovídá jedné jednotce na počítačovém modelu. Platí \\[ \\small{1~\\mathrm{j}~\\doteq~23~\\mathrm{m}} \\] a \\[ \\small{1~\\mathrm{j^2}~\\doteq~529~\\mathrm{m^2}} \\]. Obsah pětiúhelníkové části plného bastionu pak bude přibližně 12 167 m2, což je o mnoho více, než je plocha fotbalového hřiště.
Obrázek 3 – Počítačový obsah pětiúhelníku
Zdá se, že se fotbalové hřiště na plochu bastionu vejde. Při porovnávání hraje také důležitou roli geometrický tvar každého z objektů. V nákresně programu sestrojíme obdélník o rozměrech odpovídajících přepočtu rozměrů fotbalového hřiště (105 m x 68 m) na jednotky v modelu.
Při hodnotě\\[ \\small{1~\\mathrm{j}~\\doteq~23~\\mathrm{m}} \\] vychází rozměry obdélníku přibližně 4,6 j x 3 j (rozumně zaokrouhlíme), obr. 4.
Obrázek 4 – Konstrukce obdélníku daných rozměrů
Ke konstrukci obdélníku daných rozměrů využijeme nástroje Úsečka s pevnou délkou, Kolmice, a Kružnice daná středem a poloměrem. Hranici obdélníku překreslíme využitím nástroje Mnohoúhelník a pokusíme se jej umístit do zelené pětiúhelníkové části bastionu tak, abychom ověřili, zda se fotbalové hřiště na jeho plochu vejde, obr. 5. Modře označené body (body H, I) jsou manipulační body, s jejich pomocí je možné otáčet celým mnohoúhelníkem.
Obrázek 5 – Možné umístění fotbalového hřiště na plochu bastionu
Ověřili jsme, že i největší fotbalové hřiště by pokrylo část plochy jednoho terezínského bastionu a uvědomili jsme si, jak rozměrným objektem je zmíněná část pevnosti.
Obrázek 6 – Model umístění fotbalového hřiště Autor: Petr Čapek
Reflexe
S pojmem bastion se dříve téměř nikdo z žáků nesetkal. V prostředí populárně naučných webových stránek o Terezínské pevnosti se žáci orientovali dobře, při troše snahy potřebné údaje vyhledali.
Nezbytné konstrukce v programu GeoGebra žáci dobře zvládli, počítačové modelování je bavilo víc než výpočetní část úlohy. Několik jednotlivců sestrojilo ještě jiné umístění obdélníku představujícího fotbalové hřiště v bastionu (jako na obr. 6). Pro některé žáky bylo největším problémem převádění jednotek.
Poděkování:
Touto cestou bych ráda poděkovala panu Petru Čapkovi, který mi poskytl mnoho užitečných informací, vytvořil potřebné obrázky a je také autorem populárně naučného webu Pevnost Terezín.
