Tento materiál pochází ze staršího archivu rvp.cz a už není součástí aktuální nabídky. Uchováváme ho, aby na něj dál vedly původní odkazy.
Odborný článek
Jak správně měřit vzdálenosti na mapách
3,8 (5 hodnocení)
Příspěvek prezentuje způsoby, kterými je možné zjišťovat vzdálenosti mezi dvěma místy na zemském povrchu tak, abychom získali nejpřesnější výsledek. Uvedené způsoby tak zohledňují druhy map a jejich zkreslení vzniklé převodem zakřiveného zemského povrchu do roviny. V závěru je uveden návrh činností v rámci 1 vyučovací hodiny s problematikou měření na mapách.
Na střední nebo dokonce vysoké škole se stále můžeme setkat s velkým počtem žáků, kteří odpovídajícím způsobem nedokáží zjistit vzdálenost mezi dvěma místy na zemském povrchu. Nejčastější metodou, kterou pro zjišťování vzdálenosti používají, je měření na mapě. Ze základní školy z hodin zeměpisu si většinou přinesli následující postup: vyhledají mapu a dvě zájmová místa, pravítkem změří jejich vzdálenost v centimetrech, z měřítka mapy zjistí, kolik kilometrů ve skutečnosti odpovídá jednomu centimetru na mapě a výsledek získají tak, že mezi sebou hodnotu naměřenou a zjištěnou vynásobí. Zjistí ale správný a ten nejpřesnější výsledek? Odpověď zní - ne vždy. Proč tomu tak je a jak zjistit opravdu tu nejpřesnější vzdálenost? Pojďme chyby způsobené v rámci základního vzdělávání napravit.
Proč?
Výše uvedený postup měření vzdálenosti na mapě mezi dvěma místy je možné aplikovat pouze u map velkých měřítek nebo u map topografických, u kterých je možné zanedbat naměřené nepřesnosti vzniklé převodem zakřiveného zemského tělesa do roviny (zkreslení). Mapy velkých měřítek (do 1:5 000) jsou charakteristické maximální podrobností a minimální generalizací, topografické mapy mají malou přehlednost, velkou detailnost a zahrnují měřítka od 1:10 000 do 1:500 000 (1:1 000 000).
Obdobně můžeme postupovat i v nezkreslených směrech obecně geografických map (měřítka menší než 1:1 000 000), ale je velmi složité zjistit, které směry to jsou (u map zpravidla chybí název zobrazení, ve kterém byly vyhotoveny a podle kterého bychom si mohli o nezkreslených směrech udělat obrázek). Existují obecně geografické mapy plochojevné, u kterých jsou zachovány plochy, dále mapy úhlojevné, u kterých jsou zachovány úhly, ale neexistují mapy délkojevné, které by ve všech směrech zachovávaly délky v souvislosti se skutečností. Měření na obecně geografických mapách se tak stává problematickým. Jak tedy můžeme zjišťovat vzdálenost dvou míst, aniž bychom se dopustili nepřesností?
Jak?
Způsobů je několik, avšak tím nejpřesnějším je určení vzdálenosti pomocí výpočtu na základě znalosti zeměpisných souřadnic dvou zájmových míst. Mohou tak nastat tři případy:
Archivní diskuze převzatá z rvp.cz. Přidávání nových komentářů není k dispozici.
Stanislav Horník7. 3. 2012
vzorec pro výpočet vzdálenosti dvou bodů je jistě špatný. Mezi násobením je i sčítání,takže není jasné co se s čím násobí a co sčítá a i prostým dosazením hodnot do rovnice se výsledku nedobereme.
Chtělo by to podrobnější rozbor "kosinové věty" a náčrtek,který problematiku vyjasní.
Věra Homolková13. 6. 2014
Děkuji autorovi za tento článek, nicméně vzorec pro výpočet vzdálenosti dvou míst na zemském povrchu, kdy místa mají různou zeměpisnou šířku i délku, je opravdu v článku uveden chybně - správně zní vzorec takto:
cos v = cos δA x cos δB + sin δA x sin δB x cos Δλ
Přeji všem krásné učení :-).
Pavlína Hublová14. 6. 2014
Děkujeme za komentář a správné řešení. S ohledem na "stáří článku" do něj nebudeme zasahovat - předpokládáme, že si čtenáři přečtou i vaše doplňující/opravující komentáře.
Ondřej Neumajer17. 6. 2014
Datum zveřejnění článku ospravedlňuje jeho zařazení mezi typicky školské úlohy. V dnešní době by většina lidí chtěla využít počítač a nějakou on-line mapu. Zajímalo by mne, jak jsou k tomuto účelu dostupné mapy vhodné a jaký postup u nich lze uplatnit. Nenapíše nějaký učitel aktuální pokračování článku?
1) místa mají stejnou zeměpisnou délku (leží na stejném poledníku);
2) místa mají stejnou zeměpisnou šířku (leží na stejné rovnoběžce);
3) místa mají různou zeměpisnou délku i šířku (nejčastější případ).
Ad 1) Pro výpočet vzdálenosti dvou míst ležících na stejném poledníku můžeme použít vztah pro výpočet délky poledníkového oblouku y = R x π/180° x (φ1– φ2), kde y je délka oblouku, R je poloměr referenční koule, od které byla mapa odvozena (6371,1 km), a φ1, φ2 jsou zeměpisné šířky zájmových míst. Nebo si stačí zapamatovat, že délka poledníkového stupně (oblouk, který nám na poledníku vytknou dvě sousední rovnoběžky při výběru po jednom stupni) je na referenční kouli všude stejně velká, a sice 111,2 km. Pak již stačí toto číslo vynásobit rozdílem zeměpisných šířek příslušných dvou míst (pozor na rozdíl mezi severní a jižní zeměpisnou šířkou).
Př.: Vzdálenost Prahy (50° s.š., 14° v.d.) a Kristianstadu (56° s.š., 14° v.d.):
v = 6371,1 x π/180° x (56° - 50°) v = 667,2 km
nebo: 56° - 50° = 6° v = 6 x 111,2 v = 667,2 km
Ad 2) Pro výpočet vzdálenosti dvou míst ležících na stejné rovnoběžce můžeme použít vzorec pro výpočet délky rovnoběžkového oblouku x = R x π/180° x Δλ x cos φ, kde x je délka oblouku, R je opět poloměr referenční koule (6371,1 km), φ je zeměpisná šířka příslušných dvou míst a Δλ je menší z úhlů, které přísluší oblouku mezi zájmovými místy (rozdíl zeměpisných délek, pozor na rozdíl mezi západní a východní zeměpisnou délkou, úhel je menší nebo roven 180°). Nebo stačí mít k dispozici tabulku, která představuje délky rovnoběžkových stupňů (oblouků, které nám na rovnoběžkách vytnou dva sousední poledníky při výběru po jednom stupni), a číslo zjištěné z této tabulky vynásobit rozdílem zeměpisných délek příslušných dvou míst.
Tab. Délka rovnoběžkových stupňů ve vybraných zeměpisných šířkách
Zeměpisná šířka
Délka rovnoběžkových stupňů (km)
0°
111,2
10°
109,5
20°
104,5
30°
96,3
40°
85,2
50°
71,5
60°
55,6
70°
38,0
80°
19,3
90°
0
Př.: Vzdálenost Prahy (50° s.š., 14° v.d.) a Charkova (50° s.š., 36° v.d.):
v = 6371,1 x π/180° x (36° - 14°) x cos 50° v = 1572,5 km
nebo: 36° - 14° = 22° v = 22 x 71,5 v = 1573 km
Ad 3) Nejčastějším případem pro výpočet vzdálenosti dvou míst na zemském povrchu však je situace, kdy místa mají různou zeměpisnou šířku i délku, tzn. leží na různých polednících a rovnoběžkách. Vzdálenost pak vypočteme pomocí ortodromy a sférického trojúhelníku (obr.). Ortodroma je nejkratší vzdálenost dvou míst na zemském povrchu (je částí kružnice, která má stejný poloměr jako referenční koule – 6371,1 km). Sférický trojúhelník je dán třemi body – dvěma zájmovými místy, jejichž vzdálenost určuji, a jedním z pólů Země (vzhledem k poloze ČR uvažujeme pól severní). Pro výpočet vzdálenosti použijeme kosinovou větu o straně cos v = cos δA x cos δB + sin δA x cos δB x cos Δλ, kde v je vzdálenost mezi dvěma místy, δA a δB jsou vzdálenosti daných dvou míst k severnímu pólu (δA = 90o - δA, δB = 90° - δB, δA a δB jsou zeměpisné šířky daných dvou míst, pro místo na jižní polokouli a vzdálenosti k severnímu pólu počítáme se zápornou zeměpisnou šířkou místa) a Δλ je opět menší z úhlů, které přísluší oblouku mezi zájmovými místy (rozdíl zeměpisných délek, menší nebo roven 180°). Výsledek vyjde ve stupních, které převedeme na kilometry.
Obr. Sférický trojúhelník (Praha – Chathamské ostrovy – severní pól)
δP = 90° - φP = 90° - 50° = 40° (vzdálenost Prahy k severnímu pólu) δCh = 90° - φCh = 90° - (- 46°) = 136° (vzdálenost Chathamských ostrovů k severnímu pólu) Δλ = 170° (menší z úhlů představující rozdíl zeměpisných délek)
cos v = cos δP x cos δCh + sin δP x cos δCh x cos Δλ cos v = cos 40° x cos 136° + sin 40° x cos 136° x cos 170° v = 172,2°
- převod na kilometry: vkm = R x π/180° x v°, kde vkm je vzdálenost v kilometrech, R je poloměr referenční koule 6371,1 km a v° je vzdálenost ve stupních
v = 6371,1 x π/180° x 172,2° v = 19 149,6 km
Tento způsob můžeme aplikovat i u míst ležících na stejné rovnoběžce. Dostaneme přesnější výsledek, protože ortodroma, kterou pro výpočet použijeme, leží na kružnici, která má největší možný poloměr (6371,1 km). Místa ležící na stejné rovnoběžce jsou spojena obloukem kružnice, která má poloměr menší, takže oblouk má větší délku (kromě rovníku, který má stejný poloměr jako kružnice s ortodromou). Například vzdálenost Prahy a Charkova se zpřesní z 1572,5 km na 1566,8 km.
Výše uvedené výpočty však z důvodu časové náročnosti a nutnosti mít k dispozici zeměpisné souřadnice pravděpodobně nebudou tím nejčastějším způsobem zjišťování vzdálenosti mezi dvěma místy na zemském povrchu. Měřením pravítkem na obecně geografické mapě (bez znalosti nezkreslených směrů) se ale můžeme dopustit velkých nepřesností, takže jaký další způsob zvolit?
Další způsob
Jedná se o měření na glóbu. Glóbus je oproti mapě pouze zmenšen, nedošlo u něj k převodu zakřiveného zemského tělesa do roviny, takže nepřesnosti, kterých se dopustíme, jsou dány pouze poměrem zmenšení. Tato problematika souvisí i s měřítkem mapy, které je nejčastěji chápáno jako poměr délky na mapě ku délce ve skutečnosti. To by ale platilo pouze ve směrech bez zkreslení, takže je daleko vhodnější používat charakteristiku, že se jedná o poměr, ve kterém byl zmenšen glóbus, od kterého byla mapa odvozena. Vyjádření tak bude platit ve zkreslených i nezkreslených směrech.
Na glóbu se pomocí nitě snažíme mezi dvěma zájmovými místy vytyčit oblouk o co možná nejkratší délce (ortodromu), změříme délku nitě v centimetrech a z měřítka glóbu zjistíme, kolik kilometrů ve skutečnosti odpovídá jednomu centimetru na glóbu. Výslednou vzdálenost dostaneme vynásobením délky nitě a hodnotou zjištěnou z měřítka.
Př.: Vzdálenost Prahy (50° s.š., 14° v.d.) a Chathamských ostrovů (46° j.š., 176° z.d.):
měřením na obecně geografické mapě světa 1:80 000 000
22 (cm) x 800 = 17 600 km
výpočtem pomocí ortodromy (viz výše)
19 149,6 km
měřením na fyzickém glóbu 1:50 000 000
38 (cm) x 500 = 19 000 km
Srovnáním všech tří hodnot vzdáleností zjišťujeme, že měřením na glóbu dostáváme poměrně přesný výsledek vzhledem k vypočtené vzdálenosti, zatímco na mapě jsme se dopustili velké chyby dané měřením ve směru, který je zkreslen.
Závěr
Výše uvedené skutečnosti mohou být podnětem pro hodinu s problematikou měření na mapách. Učitel ve své přípravě provede výpočet vzdálenosti dvou míst, aby měl k dispozici přesnou hodnotu pro srovnání, žáci pak v hodině zjišťují vzdálenosti měřením na mapě a měřením na glóbu a porovnávají je s údajem od učitele. Docházejí k závěru, že je daleko vhodnější provádět měření na glóbu než na obecně geografické mapě. Přemýšlejí o důvodu, který způsobuje rozdíl mezi mapou a glóbem – zmenšení u glóbu x zmenšení a převod do roviny u mapy. Závěr hodiny může být věnován diskusi nad tím, co by se mohlo stát, kdyby někdo určil vzdálenost mezi dvěma místy s tak velkou chybou, která měřením na mapě může vyjít (viz příklad – 1 500 km).
