Tento materiál pochází ze staršího archivu rvp.cz a už není součástí aktuální nabídky. Uchováváme ho, aby na něj dál vedly původní odkazy.
Odborný článek
Historie měření Země a vesmíru
4,5 (2 hodnocení)
Úhlová měření, Eratosthenes a antická astronomie, odhady vzdáleností a velikosti Měsíce a Slunce, paralaxa hvězd
Již ve starověku lidé tušili, že Země má tvar koule. Tento názor podporovalo například pozorování připlouvající lodi na mořském obzoru, z níž bylo nejdříve vidět stěžně a teprve potom palubu a tvar lodi. Podobně zatmění Měsíce Zemí dávalo na měsíčním kotouči kruhový obrys stínu Země. Jak lze vypočítat poloměr Země? Například tak, že známe zeměpisnou šířku dvou míst A(φ1), B(φ2) na témže poledníku a stejné zemské polokouli a jejich vzdálenost měřenou po povrchu Země s. Pak pro délku poloměru Země r dostáváme
kde s je délka oblouku kružnice AB a φ=|φ1-φ2| je středový úhel příslušný k tomuto oblouku v obloukové míře (v radiánech) - viz ilustrační obrázek
V podstatě tímto způsobem odhadl délku poloměru Země před více než 2 000 lety řecký filozof Eratosthenes, současník Archimédův. Působil ve 3. století před naším letopočtem v Alexandrii (v dnešním Egyptě) a dozvěděl se jako zvláštnost, že na jih od Alexandrie, poblíž nynějšího Asuánu, jsou hluboké studně, do nichž dopadají sluneční paprsky jednou v roce až na dno. V ten den bylo totiž Slunce nad studněmi v poledne v zenitu. Bylo to právě 21. června - v době tzv. letního slunovratu. Dané místo leželo právě na obratníku Raka. Eratosthenes změřil v tuto dobu úhel slunečních paprsků od svislého směru v Alexandrii a tím vlastně vzhledem k rovnoběžnosti slunečních paprsků zjistil velikost zmíněného středového úhlu na hlavní kružnici Země (obr. 2). Vyšla mu přibližně 1/50 plného úhlu. Vzhledem k tomu, že vzdálenost obou míst je přibližně 800 km, dospěl Eratosthenes - zčásti díky vyrovnání nepřesnosti změřených dat - k překvapivě správnému výsledku (délka poloměru Země je 6371 km.). Eratosthenes samozřejmě počítal v jiných jednotkách délky než v kilometrech (v tzv. stádiích), převodní vztah na km není jednoznačně určen.
Obrázek
Vzdálenost Měsíce nebo Slunce lze vypočíst pomocí tzv. paralaxy, velikosti zorného úhlu zemského poloměru pozorovaného v kolmém směru ze vzdálenosti Měsíce nebo Slunce. V principu by ji bylo možno určit podle obr. 3. Z pravoúhlého trojúhelníku lze definovat paralaxu přesněji pomocí sinα, pro velmi malé úhly v obloukové míře jsou však hodnoty prakticky stejné. Paralaxa Měsíce je 57 úhlových minut, paralaxa Slunce asi 8, 8 úhlových vteřin. Převedením těchto hodnot do obloukové míry můžeme snadno odhadnout vzdálenosti d Země - Měsíc a Země - Slunce užitím vzorce:
Obrázek
O odhad uvedených vzdáleností se pokoušel ještě před Eratosthenem jiný starořecký vědec - Aristarchos ze Samu (zastánce heliocentrického systému ve starověku), který žil asi o jednu generaci dříve než Eratosthenes. Vzhledem k tomu, že paralaxy Měsíce a Slunce jsou velmi malé, byly jeho odhady hodně nepřesné, nicméně metoda byla principiálně správná. Aristarchos ještě neměl odhad základny - délku zemského poloměru, proto se musel spokojit s pokusem určit poměr délek stran v pravoúhlém trojúhelníku Země - Měsíc - Slunce, kde Měsíc je ve vrcholu pravého úhlu. Zmíněnou konfiguraci těchto tří těles určoval z pozorování měsíčního kotouče v okamžiku, kdy je přesně jedna jeho polovina ve stínu (viz obrázek).
Obrázek
Velikost zmíněného úhlu β odhadl na 3°, z toho získal poměr vzdáleností Země - Měsíc a Země - Slunce 1 : 19. To zdaleka neodpovídá skutečnosti. Velikost tohoto úhlu je však pouhých 9 úhlových minut a uvedený poměr je asi 20krát menší. Ze vzdálenosti Měsíce a Slunce od Země vypočítané pomocí paralaxy těchto těles můžeme pomocí zorného úhlu měsíčního a slunečního kotouče (velikost tohoto úhlu je pro obě tělesa stejná a rovná se ½°) odhadnout průměr Měsíce a Slunce. O odhad rozměrů těchto nebeských těles vztažených k průměru Země se také pokusil již Aristarchos, vyšel však z nesprávného odhadu velikosti zorného úhlu obou těles 2°, takže získal velmi nepřesné údaje. Pro srovnání je uvedena tabulka Aristarchových a novodobých výsledků (za jednotku je vzat průměr Země):
Aristarchos
dnešní měření
Průměr Měsíce
0,36
0,27
Průměr Slunce
6,75
108,90
Vzdálenost Měsíc-Země
9,50
30,20
Vzdálenost Slunce-Země
180,00
11 726,00
Jako příklad, jak obtížně se prosazovaly pokrokovější názory na vesmír v relativně vyspělé společnosti starověkého Řecka, uveďme osud filozofa Anaxagora (4. stol. p. n. l.). Ten učil, že Slunce je velké jako celý poloostrov Peloponés, a byl za tento názor perzekuován. Athénský dvůr se cítil uražen názorem, že by Slunce mohlo být srovnatelné s rozlohou Řecka.
Metodou paralaxy lze odhadnout též vzdálenosti hvězd. Vzhledem k nepoměrné vzdálenosti hvězd ke vzdálenosti Měsíce nebo Slunce od Země je třeba vzít větší základnu, za níž se bere střední vzdálenost Země - Slunce, tj. 1, 5.108 km. Paralaxa hvězdy je velikost zorného úhlu střední vzdálenosti Země - Slunce pozorované v kolmém směru ve vzdálenosti dané hvězdy. Přesně je definována opět z pravoúhlého trojúhelníku podle obr. 5
Obrázek
Tento úhel se projeví v úhlovém posunutí hvězdy během roku, které vzniká jako zdánlivý pohyb hvězdy vlivem otáčení Země kolem Slunce během roku. Bylo vážnou námitkou proti Aristarchovu heliocentrismu, podobně jako o více než 17 století později proti učení Koperníkovu, že paralaktický pohyb hvězd nebyl pozorován. Teprve později se vyjasnilo, že tento pohyb není v mezích tehdejších pozorovacích možností. Paralaxy hvězd byly změřeny až v 19. století. První přesně změřená paralaxa hvězdy (jedné z nejbližších) má hodnotu 0, 348 úhlových vteřin, z toho plyne vzdálenost hvězdy od Země více než 6.105 větší než vzdálenost Země - Slunce.
Uvedené náměty s výrazným poznávacím momentem a mezipředmětovými vztahy lze příležitostně využít při výuce matematiky v gymnáziu (případně i ZŠ) spolu s kapesním kalkulátorem jako motivaci nebo aplikaci učiva o délce kružnicového oblouku, obloukové míře nebo v souvislosti se vztahy
nebo
nebo též jako podnět k vyhledávání a ověřování neznámých dat a dalších informací v odborné literatuře.
Další použitá literatura: Tematika námětu je podstatně prohloubena a rozšířena zejména směrem k fyzikálním výsledkům ve stati M. Křížka Význam úhlových měření při poznávání vesmíru. In: Pokroky mat. fyz. astronom. 51 (2006), č. 2, 1 - 14.
Freudenthal, H.: Matematika vokrug nas. Překlad z němčiny, MIR, Moskva, 1977. Horský, Z. - Plavec, M.: Poznávání vesmíru. MME 37, Praha: Orbis, 1962. Křížek, M.: Význam úhlových měření při poznávání vesmíru. In: Pokroky mat. fyz. astronom. 51 (2006), č. 2, 1 - 14.
Informační zdroje: Matematika a fyzika ve škole, 10, 79/80, 4.6, 411 - 415
Literatura a použité zdroje
ŠIROKÝ,, J.; ŠIROKÁ, M. Základy astronomie v příkladech. Praha: SPN, 1996.
