Žáci v prostředí programu GeoGebra modelují grafy lineárních funkcí, aktivně využívají posuvníky, s jejichž pomocí se grafy dynamicky mění. Na základě experimentování objevují souvislosti koeficientů v předpisu lineární funkce s polohou a sklonem jejího grafu vzhledem k souřadným osám.
Cíl výuky
Žák/Žákyně
určí ze zadané tabulky souřadnice bodů grafu funkce a zadá je do příkazového řádku programu,
intuitivně stanoví předpis funkce zadané tabulkou,
vytvoří dynamický počítačový model se dvěma proměnlivými parametry,
využívá nástroj programu, kterým proloží dvěma body přímku,
aktivně používá nástroj programu Vztah mezi objekty k ověření hypotézy o polohových vztazích zobrazených geometrických objektů,
zobrazí v nákresně posuvník, podle potřeby změní jeho rozsah a krokování,
seznámí se s přímkou jako grafem lineární funkce,
využívá svůj dynamický počítačový model k experimentování, objevování a vytváření hypotéz,
objeví a zformuluje souvislost hodnot koeficientů s vlastnostmi grafu lineární funkce.
Škola: základní (2. stupeň), gymnázium, střední škola
Věk žáků: 14-16 let
Metody: samostatná nebo frontální práce, modelování, objevování
Vzdělávací obor: matematika a její aplikace
Tématický okruh: závislosti, práce s grafy
Časová dotace:
Výuka: 30-45 minut
Příprava: 0
K čemu aktivita směřuje
k odhadu předpisu zadané lineární závislosti proměnných,
k aktivnímu využívání ověřovacího nástroje programu Vztah mezi objekty k potvrzení či vyvrácení hypotéz,
k aktivní práci s posuvníky,
k vytvoření správného dynamického modelu grafu lineární funkce se dvěma posuvníky, na základě modelování k objevení souvislostí hodnot koeficientů s polohou a sklonem přímky v souřadném systému.
Pomůcky, hardware, software
Učitel: PC s připojením na internet nebo s aplikacemi GeoGebra, dataprojektor
Žák: PC, notebook nebo tablet s připojením na internet nebo s aplikacemi GeoGebra
Potřebné vstupní znalosti a dovednosti
Oborové
znalost práce se souřadnicemi bodů
porozumění funkční závislosti proměnných a jejímu grafickému znázornění
určenost přímky dvěma různými body, vzájemná poloha přímek v rovině
Digitální
základní orientace v programu GeoGebra (nákresna, algebraické okno, příkazový řádek, ikony s nabídkou příkazů)
Přínos využití digitálních technologií
Ukázka praktického využití ICT pro grafické znázornění, iniciaci a ověřování hypotéz, pro vytvoření vlastního dynamického počítačového modelu grafu lineární funkce a jeho využití k objevování souvislostí hodnot koeficientů a vlastností grafu lineární funkce.
Metodická poznámka
Předpokládejme, že žáci zatím neznají pojem lineární funkce. V materiálu pro zjednodušení celé situace uvažujeme konstantní funkci jako speciální případ lineární funkce.
Na konci každé úlohy by měla být provedena společná kontrola a formulace závěru.
Popis vzdělávacích aktivit
Materiál obsahuje dvě úlohy, každý žák pracuje na svém PC nebo tabletu (v nouzi lze použít i mobilní telefon). Způsob samostatné nebo frontální práce volíme podle úrovně dovedností žáků pracovat s programem GeoGebra a jeho používanými nástroji.
Otevřete program GeoGebra Klasik a do příkazového řádku zadejte postupně souřadnice všech bodů z tabulky (z důvodu jednotného značení bodů dodržte pořadí v tabulce). Využívejte efektivní zápis, např. (-4, -12).
Co si myslíte o poloze zobrazených bodů?
Pomocí nástrojů Přímka proveďte vybranými dvěma body (např. A, B ) přímo, označí se\\[ f \\].
Zdá se, že všechny zobrazené body leží na přímce\\[ f \\]. Ověřte tuto hypotézu užitím nástrojů Vztah mezi objekty (4. ikona zprava) – nejdříve klikněte na bod a poté na přímku. V novém okně vám počítač odpoví (obrázek 1).
Ověření polohy bodu na přímce. Autor: Hana Mahnelová
6. Prověřte všechny zbývající body. 7. V příkazovém řádku vidíme rovnici přímky. Porovnejte ji s vaším odhadovaným předpisem zadané funkce. 8. Sestrojili jste graf a našli předpis jedné, tzv. lineární, funkce.
Řešení
Jedna se o závislost\\[ y=3x \\].
Úloha 2
Lineární funkcí nazveme každou funkci, která má předpis\\[ y=ax+b \\], kde čísla\\[ a, b \\] nazýváme koeficienty. Víme, že grafem je přímka. Vytvořte dynamický model grafu této funkce a zkoumejte vliv koeficientů na polohu přímky v souřadném systému. Využijte nástroj posuvník (druhá ikona zprava) a vyzkoušejte změnu nastavení jeho rozsahu i krokování.
Začneme zobrazením dvou číselných posuvníků\\[ a, b \\].
Pohybem ovládacího bodu posuvníku nastavíme libovolné hodnoty čísel\\[ a, b \\].
Do příkazového řádku zapíšeme funkci předpisu\\[ y=ax+b \\].
Měníme hodnoty posuvníků a zkoumáme změny polohy přímky obr. 2.
Zformulujte, co jste pomocí dynamického modelu zjistili.
Zobrazení posuvníků. Autor: Hana Mahnelová
Řešení
Když platí
\\[ a<0\\Rightarrow \\]přímka „klesá“
\\[ a=0\\Rightarrow \\]přímka je rovnoběžná s osou\\[ x \\]
\\[ a>0\\Rightarrow \\]příspěvek „roste“
\\[ b=0\\Rightarrow \\]přímka prochází počátkem soustavy souřadnic
Reflexe
První úlohu žáci mohou řešit samostatně. Druhou je lepší realizovat společně.
Vše podstatné žáci sami objeví. Je vhodné položit také otázku: „Za jakých podmínek přímka, jakožto graf lineární funkce, bude rovnoběžná s osou \[ y \]?“ Šikovní žáci správně odpoví, že nikdy. Ti nejlepší pak také zdůvodní, že už by se nejednalo o graf funkce.
