Tento materiál pochází ze staršího archivu rvp.cz a už není součástí aktuální nabídky. Uchováváme ho, aby na něj dál vedly původní odkazy.
Odborný článek
Eulerova věta a mnohostěny
Ověřování Eulerova vztahu pro mnohostěny, počet vrcholů, stěn a hran, podmíněnost platnosti vztahu a idea protipříkladu.
Motivační úloha – vrcholy krychle jsou označeny čísly 1, 2 až 8. Navrhněte takové umístění těchto čísel ve vrcholech krychle, aby součet čísel v každé stěně byl stejný. Při obvyklém značení vrcholů krychle např. A (1), B (4), C (5), D (8), E (6), F (7), G (2), H (3).
Námět uvádí zajímavý stereometrický vztah, který odhaluje žákům nečekané souvislosti v matematice, které zůstávají zatím za jejich obzorem. Takový motiv podporuje kompetenci k učení (zvídavost) a k řešení matematických problémů, ukazuje na hlubší propojení jednotlivých tematických oblastí nebo jejich aplikaci (využití diofantovských metod ve studiu pravidelných těles), poukazuje na meze platnosti matematického faktu, které jsou určeny omezujícími podmínkami.
Pro konvexní hranatá tělesa (mnohostěny) platí Eulerova věta o mnohostěnech: Součet počtu vrcholů a stěn konvexního mnohostěnu se rovná počtu hran zvětšenému o dva. Označíme-li počet vrcholů v, počet stěn s a počet hran h, pro každý konvexní mnohostěn platí v + s = h + 2 (1)
Eulerovu větu nebudeme dokazovat, pouze ji ověříme na několika případech.
Ověřte vztah (1) pro kvádr a čtyřstěn. Ověřte vztah (1) pro pětiboký konvexní hranol a pětiboký konvexní jehlan.
Příklad 1
Ověřte vztah (1): a) pro n-boký konvexní hranol b) pro n-boký konvexní jehlan.
Standardní psací a rýsovací potřeby, modely těles.
a) Pro
n
-boký konvexní hranol
v
= 2
n
,
s
=
n
+ 2,
h
= 3
n
Dosazením do (1) ověříme, že vztah (1) platí.
b) Pro n-boký konvexní jehlan v = n + 1, s = n + 1, h = 2n
Dosazením do (1) opět ověříme, že vztah (1) platí. Pro mnohostěny, které nejsou konvexní, vztah (1) platit nemusí.
Příklad 2
Zjistěte, pro které z nekonvexních těles na obr. 1 a), b), c) vztah (1) platí, nebo neplatí.
1. obr. a, b, c
Na obr. 1 a) je zobrazena krychle, v jejímž jednom vrcholu je vyňata menší krychle. Na obr. 1 b) je zobrazeno těleso původně složené z krychle a dvou jehlanů, pak v ose tělesa určené hlavními vrcholy byl vyříznut kvádr se čtvercovou podstavou. Na obr. 1 c) je znázorněna krychle, v níž je dutina tvaru menší krychle.
Řešení: a) Pro těleso na obr. 1a) platí h = 21, v = 14, s = 9, takže vztah (1) platí.
b) Pro těleso na obr. 1b) platí h = 32, v = 16, s = 16, takže vztah (1) neplatí.
c) Pro těleso na obr. 1c) platí h = 24, v = 16, s = 12, takže vztah (1) neplatí.
Vrátíme se ke konvexním mnohostěnům, pro ty vztah (1) platí. Budeme se zabývat pravidelnými mnohostěny. Pravidelný mnohostěn je konvexní mnohostěn, jehož všechny stěny jsou shodné pravidelné mnohoúhelníky a každým vrcholem prochází stejný počet hran. Příkladem pravidelného mnohostěnu je krychle nebo pravidelný čtyřstěn. Nabízí se otázka, které typy pravidelných mnohostěnů ještě existují. Na prvý pohled by se mohlo zdát, že existují pravidelné mnohostěny s libovolným počtem stěn obdobně, jako je to s pravidelnými mnohoúhelníky, které existují pro libovolný počet stran (větší než 2). Zde však analogie mezi geometrií v prostoru a v rovině selhává, počet typů pravidelných mnohostěnů je značně omezen.
Přesnou odpověď na naši otázku dostaneme užitím vztahu (1). Jestliže stěnou pravidelného mnohostěnu je n-úhelník
a každým vrcholem prochází m hran
, pak platí
v. m = 2 h, s. n = 2 h, odkud vyloučením v, s a dosazením do (1) po úpravě dostaneme
Protože číslo h je kladné, musí být také činitel v závorce kladný, neboli
To je diofantovská nerovnice, která má za daných podmínek právě pět řešení: a) m = 3, n = 3 b) m = 4, n = 3 c) m = 3, n = 4 d) m = 5, n = 3 e) m = 3, n = 5
Postupným dosazením těchto čísel do (3) a (2) dostaneme a) h = 6, v = 4, s = 4 b) h = 12, v = 6, s = 8 c) h = 12, v = 8, s = 6 d) h = 30, v = 12, s = 20 e) h = 30, v = 20, s = 12
V případech a) a c) dostáváme známá tělesa – pravidelný čtyřstěn a krychli. Případy b), d), e) ukazují, že by měly existovat pravidelné osmistěny a dvacetistěny s trojúhelníkovými stěnami a pravidelné dvanáctistěny se stěnami tvaru pravidelného pětiúhelníku. Tato tělesa se vskutku dají sestrojit, takže existuje pět typů pravidelných mnohostěnů podle výsledku řešení nerovnice (4).
Poznámka Uvedené výsledky lze dostat také úvahou o součtu velikosti úhlů při vrcholu pravidelného mnohostěnu, který musí být menší než 360°. Při zavedeném značení totiž musí platit
To je nerovnice ekvivalentní s (4).
Historická poznámka
Všechny pravidelné mnohostěny byly známy již ve starověkém Řecku. Řecký filozof Platón (429 – 348 před n. l.) je symbolicky připisoval čtyřem základním živlům: ohni – pravidelný čtyřstěn, vzduchu – pravidelný osmistěn, zemi – krychli, vodě – pravidelný dvacetistěn a celému vesmíru – pravidelný dvanáctistěn. Podle Platóna se pravidelné mnohostěny někdy nazývají platónskými tělesy.
Leonhard Euler (1707 – 1783), po němž se nazývá vztah (1), je jedním z nejvýznamnějších matematiků novověku. Pocházel ze švýcarské Basileje, většinu svého života však strávil v Berlíně a v Petrohradě, kde pracoval v tamější Akademii věd, v Petrohradě je také pochován. V matematice se s jeho jménem setkáváme na každém kroku.
Poznamenejme, že vztah (1) znal matematik a filozof René Descartes (1596 –1650) a před ním již starověký Archimédes (287 – 212 před n. l.), který vyšetřoval tzv. polopravidelná tělesa.
Další úlohy
1. Zobrazte krychli s hranou délky 1 dm. Středy stěn krychle jsou vrcholy tělesa. Zobrazte toto těleso a dokažte, že je to pravidelný osmistěn. Ověřte, že pro toto těleso platí vztah (1).
2. a) Odvoďte vzorec pro objem a povrch pravidelného osmistěnu s hranou velikosti a.
V=`(1)/(3)a^(3)sqrt(2), S= 2a^(2)sqrt(3)`
3. a) Zobrazte konvexní mnohostěn, jehož vrcholy jsou všechny středy hran krychle (hrana krychle má délku 1 dm).
b) Ověřte platnost vztahu (1) pro toto těleso.
Vypočítejte objem a povrch tohoto tělesa.
`(5)/(6)dm^(3), (3+sqrt(3)) dm^(2) `
4. a) Zobrazte konvexní mnohostěn, jehož vrcholy jsou všechny body hran krychle, které dělí tyto hrany na třetiny (délka hany krychle 1 dm).
b) Vypočítejte objem tohoto mnohostěnu.
5. Číslo e = v + s – h , kde v je počet vrcholů, s je počet stěn a h je počet hran mnohostěnu, se nazývá Eulerova charakteristika mnohostěnu.
a) Určete e pro libovolný konvexní mnohostěn. (2) b) Určete e pro mnohostěny z příkladu 2. (2, 0, 4)
6. Uvažujte těleso, které vzniklo „slepením“ dvou shodných čtyřstěnů ve společné stěně.
a) Vysvětlete, proč toto těleso není pravidelný mnohostěn. b) Ověřte, že pro toto těleso platí Eulerova věta.
Literatura a použité zdroje
HOUSKA, J. Cvičení z matematiky pro I. a II. ročník gymnázií. Praha: SPN, 1985.
