Tento materiál pochází ze staršího archivu rvp.cz a už není součástí aktuální nabídky. Uchováváme ho, aby na něj dál vedly původní odkazy.
Odborný článek
Budování finanční gramotnosti v matematice
2,5 (2 hodnocení)
Článek ukazuje na několika řešených příkladech z běžného života význam matematiky (a speciálně okruhu finanční matematiky) pro budování a rozvíjení finanční gramotnosti žáků základních škol. Upozorňuje na časté chyby občanů, kterých se dopouštějí při správě svých finančních prostředků a při rozhodování mezi různými možnostmi zamýšlených finančních transakcí. Uvedené příklady se váží k oblastem vkladů, úvěrů a prodeje na splátky.
Matematika jako vzdělávací obor v základní a střední škole může výrazně napomoci při budování a rozvíjení finanční gramotnosti žáků, ať už jde o oblast peněžní, cenovou či rozpočtovou. (Definici finanční gramotnosti včetně charakteristiky jednotlivých oblastí lze nalézt například na webových stránkách MF ČR v části věnované finančnímu vzdělávání, viz článek Systém budování finanční gramotnosti v základních a středních školách, http://www.mfcr.cz/cps/rde/xbcr/mfcr/SBFG_25_326-07.pdf.)
V tomto článku se soustředíme na několik situací, se kterými se můžeme běžně setkat a jejichž správné posouzení a vyhodnocení předpokládá porozumění základním pojmům finanční matematiky a jejich správné aplikaci. Příklady, které zde uvedeme, nás bude provázet pan Novák a další občané, z nichž někteří mají v oblasti finanční gramotnosti určité mezery, nebo jsou pohodlní, lehkomyslní či nevšímaví při finančních transakcích.
Pojmy, které se vyskytují v následujících příkladech, jsou stručně charakterizovány v závěru článku. Výsledky jsou zaokrouhleny na dvě desetinná místa.
Pan Novák a úroková sazba
Pan Novák uložil do banky na termínovaný vklad na jeden měsíc částku 30 000 Kč. Banka poskytuje úrokovou sazbu 2 % p. a.; úročí jen jednou, v den splatnosti vkladu. Pan Novák si předem spočítal, že za měsíc od banky obdrží svých 30 000 Kč a navíc 2 % z této částky, tj. 600 Kč. Celkem tedy dostane 30 600 Kč.
Pan Novák se mýlí. Zkratka p. a. označuje roční úrokovou sazbu (úroková míra per annum), úrok za jeden měsíc nebude 600 Kč, ale pouze 1/12 z této částky. Navíc neví, že úroky se daní; daň z úroku je 15 %. Předpokládáme, že banka užívá
Pan Novák dostane od banky 30 043 Kč, úrok po zdanění z vložené částky je 43 Kč. (Předpokládáme, že banka při výplatě hotovosti zaokrouhluje na celé koruny.)
Novákovi a plná moc
Pan Novák se smířil s úrokem 43 Kč, ale ještě zapomněl, že při zřizování vkladu si paní Nováková přála mít plnou moc na výběr peněz. Za tuto službu banka naúčtovala 50 Kč. Kolik korun pan Novák vlastně svojí finanční transakcí získal?
Banky poskytují řadu služeb, za které však musí klient zaplatit. Tím se často čistý výnos klienta podstatně sníží. Novákovi tak po měsíci nakonec 30 000 Kč nijak nezhodnotili, přišli ještě o 7 Kč.
Paní Karásková a pojištění vkladu
Paní Karásková chce uložit do banky 100 000 €, které zdědila po tetě. Dvě banky, o kterých paní Karásková uvažuje, užívají „pásmové úročení" stejného typu a se stejnými úrokovými sazbami, minimální vklad je 1 000 €:
od 1 000 € do 24 999 € .......... 1,0 % p. a.
od 25 000 € do 49 999 € ......... 1,5 % p. a.
od 50 000 € do 99 999 € ......... 2,5 % p. a.
od 100 000 € do 299 999 € ...... 3,5 % p. a.
Paní Karáskovou láká poslední pásmo. Co kdyby ale došlo ke krachu banky? Víme, že vklady občanů jsou pojištěny maximálně do výše 50 000 €, a to na 100 %.
Pokud by paní Karásková uložila všechny zděděné peníze do jediné banky, získala by nejvyšší možný úrok z vložené částky. V případě krachu banky by však přišla o 50 000 € a o připsané úroky. Pokud by rozdělila částku 100 000 € do dvou bank po 50 000 €, byly by úroky nižší, ale v případě krachu jedné či obou bank by přišla pouze o úroky.
Slečna Krásná a sankce
Slečna Krásná uložila do banky 50 000 Kč na termínovaný vklad na šest měsíců s úrokovou sazbou 1,5 % p. a. Banka úročí vklad jednou, a to v den splatnosti vkladu. Slečna Krásná po třech měsících zjistila, že nutně potřebuje 25 000 Kč. Podle smlouvy nelze předčasný výběr provést. Banka ale poskytla slečně Krásné na zbývající tři měsíce úvěr ve výši 25 000 Kč s úrokovou sazbou 15 % p. a. Tento úvěr se úročí jen jednou, v den splatnosti. Vydělala či prodělala slečna Krásná na této finanční transakci?
Zdaněný úrok z termínovaného vkladu 50 000 Kč je:
50 000 Kč · 0,015 · 1/2 · 0,85 = 318,75 Kč.
Čistý výnos z vkladu slečny Krásné je 319 Kč.
Úrok z poskytnutého úvěru 25 000 Kč činí:
25 000 Kč · 0,15 · 1/4 = 937,50 Kč.
Úrok z úvěru, který banka požaduje po slečně Krásné, je 938 Kč.
Slečna Krásná na konci šestého měsíce obdrží od banky částku:
Slečna Krásná na této transakci prodělala, neboť nezvážila dobře svou finanční situaci do budoucna a zapomněla na potřebu finanční rezervy. Stačilo například ponechat 25 000 Kč na běžném účtu. Výsledek úlohy nebere samozřejmě v úvahu eventuální výnos ze zapůjčených 25 000 Kč.
Pan Hádek a pohyblivá úroková sazba
Pan Hádek si založil na začátku dubna spořicí účet s úrokovou sazbou 3,5 % p. a. Uložil na něj 100 000 Kč. Banka úročí jednou měsíčně, užívá složené úročení. Pan Hádek si spočítal, že za tři měsíce bude mít na účtu:
Na čtvrtletním výpisu z účtu však byla uvedena částka nižší, než očekával: 100 560,60 Kč. Jak je to možné?
Pan Hádek nečetl pozorně podmínky spořicího účtu ve smlouvě, kterou podepisoval, a nesledoval tedy ani změny ve výši úrokové sazby. Úrokovou sazbu 3,5 % p. a. banka na začátku druhého měsíce snížila na 2,5 % p. a. a na začátku třetího měsíce dokonce na 1,9 % p. a. v souladu se smlouvou, kde byla uvedena možnost pohybu úrokové sazby. Za těchto podmínek činí výsledná částka
na konci 1. měsíce .......... 100 000 Kč · (1 + 0,035 · 1/12 · 0,85) = 100 247,92 Kč,
na konci 2. měsíce .......... 100 247,92 Kč · (1 + 0,025 · 1/12 · 0,85) = 100 425,44 Kč,
na konci 3. měsíce .......... 100 425,44 Kč · (1 + 0,019 · 1/12 · 0,85) = 100 560,60 Kč.
Pan Kupec a hypoteční úvěr
Pan Kupec potřebuje získat hypoteční úvěr ve výši 1 000 000 Kč na koupi bytu. V hypoteční bance získal informaci, že aktuální roční úroková sazba úvěru je 4 % a výše měsíčních splátek závisí na době splatnosti:
Úroková sazba
Doba splatnosti (v letech)
4,0 %
5
10
15
20
30
18 417 Kč
10 125 Kč
7 397 Kč
6 060 Kč
4 774 Kč
Z tabulky zjistil, že při době splatnosti 30 let je splátka nízká, a že by zřejmě bylo nejlepší úvěr splácet 30 let. Je tato varianta pro pana Kupce skutečně nejvýhodnější z uvedených možností?
Při době splatnosti 30 let zaplatí pan Kupec v měsíčních splátkách:
4 774 Kč · 12 · 30 = 1 718 640 Kč.
V případě doby splatnosti 5 let by zaplatil v měsíčních splátkách:
18 417 Kč · 12 · 5 = 1 105 020 Kč.
Provedený výpočet ukazuje, že při době splatnosti 5 let je celkový úrok z úvěru 1 000 000 Kč výrazně nižší než při době splatnosti 30 let. Volba doby splatnosti závisí na finančních možnostech dlužníka.
V našich úvahách jsme předpokládali, že úroková sazba úvěru je neměnná po celou dobu splácení; v reálné praxi však dochází v určitých časových intervalech ke změnám v její výši. Při uzavírání hypotečního úvěru nesmí dlužník dále zapomenout, že banka účtuje poplatky za zřízení úvěru, vedení úvěru, požaduje uzavření životního pojištění, resp. pojištění proti neschopnosti splácet atd.
Paní Dychtivá a obývací stěna
Paní Dychtivá chce koupit obývací stěnu, která při placení v hotovosti stojí 12 590 Kč, má však k dispozici jen 5 000 Kč. Tuto stěnu lze také koupit na splátky – zákazník předem zaplatí 30 % z uvedené ceny (akontaci) a dále 12 měsíčních splátek po 830 Kč. Na koupi obývací stěny může zákazník rovněž získat v bance účelový spotřebitelský úvěr na 12 měsíců. Měsíční splátka úvěru činí 1 119 Kč.
Paní Dychtivá chtěla uzavřít smlouvu hned, a proto zvolila koupi na splátky. Zvolila dobře?
Při koupi na splátky činí akontace a součet měsíčních splátek celkem:
12 590 Kč · 0,3 + 830 Kč · 12 = 13 737 Kč.
Při uzavření úvěru zaplatí klient banky ve splátkách celkem:
1 119 Kč · 12 = 13 428 Kč.
Rozdíl mezi uvedenými částkami je pouze 309 Kč, a tedy obě možnosti jsou na první dohled téměř rovnocenné. Nesmíme však zapomenout na další okolnosti. Při prodeji na splátky musíme předem zaplatit 30 % ceny, v bance začínáme platit až měsíc po poskytnutí úvěru. Nejsou zde zohledněny různé další poplatky, které může prodejce či banka požadovat. Pro snazší orientaci klienta při uzavírání koupě na splátky či na úvěr jsou prodejce i banka povinni uvádět RPSN (Roční procentní sazba nákladů). RPSN určuje roční úrokovou sazbu dané finanční transakce, která zahrnuje jak splátky, tak současně i další poplatky spojené s koupí či úvěrem. Tento ukazatel má větší váhu než samotná úroková sazba, která neříká, kolik bude za finanční transakci zaplaceno celkem.
Slovníček použitých pojmů
Akontace – přímá platba (splátka předem) hrazená bezprostředně po sepsání smlouvy o prodeji na splátky či smlouvy o leasingu.
Běžný účet – účet, který banka vede pro klienta za účelem hotovostního i bezhotovostního platebního styku.
Daň z úroku – procentuální část úroku, jejíž výši určuje pro jednotlivé vkladové produkty stát, a která se také státu odvádí.
Den splatnosti – obvykle poslední den úrokové doby.
Doba splatnosti (vkladu či úvěru) – doba, po jejímž ukončení je věřitel oprávněn získat od dlužníka zpět zapůjčený kapitál spolu s úrokem.
Hypoteční úvěr – střednědobý nebo dlouhodobý účelový úvěr určený k financování investic do nemovitostí.
Jednoduché úročení – způsob úročení, při kterém se na konci každého úrokovacího období počítá úrok z počátečního kapitálu.
Neúčelový spotřebitelský úvěr – úvěr, který je určen na financování libovolných osobních potřeb klienta, částka je poskytnuta v hotovosti.
RPSN(roční procentní sazba nákladů) – procentní podíl z dlužné částky, který je spotřebitel povinen zaplatit věřiteli za období 1 roku.
Složené úročení – způsob úročení, při kterém se úrok na konci každého úrokovacího období přičítá k již dosažené hodnotě kapitálu a spolu s ním se dále úročí.
Spořicí účet(vkladový účet) – účet, který slouží k ukládání volných peněžních prostředků, obvykle v libovolných částkách a libovolných termínech.
Spotřebitelský úvěr – úvěr, který umožňuje financovat nepodnikatelské potřeby občanů.
Termínovaný vklad – typ vkladu, jehož doba splatnosti může být několik dnů až několik let; založení termínovaného vkladu pro vkladatele obvykle znamená, že vložený kapitál nemůže po sjednanou dobu bez sankcí vybírat.
Účelový spotřebitelský úvěr – úvěr, který je určen k získání konkrétního zboží či služeb, jde o bezhotovostní formu úvěru.
Úrok po zdanění (čistý výnos) –částka, kterou nabývá věřitel od dlužníka jako odměnu za půjčení peněz.
Úroková doba – doba, po kterou je kapitál úročen.
Úroková sazba (úroková míra) p. a. (per annum) – podíl úroku získaného za rok a zapůjčeného kapitálu, vyjadřuje se v procentech nebo ve tvaru desetinného čísla.
Úrokovací období – časový úsek mezi dvěma bezprostředně po sobě následujícími úročeními.
Literatura a použité zdroje
ODVÁRKO, Oldřich. Úlohy z finanční matematiky pro střední školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2005. 198 s. ISBN 80-7196-303-8.
ODVÁRKO, Oldřich; ROBOVÁ, Jarmila. Finanční matematika s kalkulačkami Casio. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2005. 100 s. ISBN bez.
RADOVÁ, Jarmila; DVOŘÁK, Petr. Finanční matematika pro každého. 4. vyd. Praha: GRADA Publishing, 2003. 259 s. ISBN 80-247-0473-0.
