Balistické kyvadlo v teorii i praxi gymnaziální výuky fyziky
Archivní obsah
Tento materiál pochází ze staršího archivu rvp.cz a už není součástí aktuální nabídky. Uchováváme ho, aby na něj dál vedly původní odkazy.
Odborný článek
Balistické kyvadlo v teorii i praxi gymnaziální výuky fyziky
4,5 (2 hodnocení)
Experiment s balistickým kyvadlem demonstruje úlohu, která je svým způsobem vrcholem středoškolského výuky mechaniky, neboť propojuje dva nejvýznamnější zákony zachování (v gymnaziálním přiblížení) do jednoho příkladu, a je proto škoda z něj učinit pouze objekt matematického zájmu. Navíc umožňuje rozšíření celé problematiky o další mechanické úvahy související s momenty setrvačnosti, kinetické energie rotačního pohybu a připravuje prostor pro obecnější úvahy o opodstatněnosti různých aproximací a modelů ve školním kurzu fyziky.
Zjišťování rychlosti střely z výchylky balistického kyvadla patří k základním příkladům řešeným v rámci mechaniky na gymnáziu. V tradičním provedení je úloha demonstrací postupného užití dvou významných zákonů zachování – hybnosti a mechanické energie. Obvyklým přístupem je aproximace úlohy matematickým kyvadlem.
Tento přístup se jeví jako přijatelný jen tehdy, pakliže počítáme s efektivní délkou závěsu. Tu je možné žákům buď zadat, nebo je ji nechat spočítat s periody kyvů, což je ostatně způsob, jakým je standardně určována.
Matematický výpočet
Balistické kyvadlo slouží k určování rychlosti kulky na základě výšky výstupu kyvadla, případně jeho výchylky ve směru osy x. Oba údaje se dají poměrně dobře měřit. Klasický gymnaziální postup je tedy následující.
Závaží má počáteční hmotnost M a nulovou rychlost, jeho hybnost je tedy nulová. Kulka má hmotnost m a rychlost v. Po dokonale nepružné srážce, v pohybu pokračuje pouze jeden objekt o hmotnosti M + m a rychlosti v, tedy tento objekt má určitou hybnost. Pro tento ráz platí zákon zachování hybnosti, získáváme tedy následující rovnici:
Je potřeba mít k dispozici dostatečné pomůcky pro výrobu kyvadla na bifokálním závěsu a přiměřeně bezpečnou střelnou zbraň. Případně je možné užít také laser.
`m vec{v_{0}} + M vec{0} = (M+m)vec{v}`.
Jelikož vše probíhá pouze v jednom směru, což je zajištěno tím, že závaží je upevněné na závěsu a srážka přímá, můžeme uvažovat jen velikosti vektorů rychlosti. Po jednoduché úpravě tak získáme vztah pro v0:
`v_0 = frac{M+m}{m} v_1`.
Nyní uvažujme, že se závaží dostane do maximální výšky h v první periodě svého pohybu. V tuto chvíli musí již platit zákon zachování mechanické energie v následujícím tvaru:
`(M+m)gh = frac{1}{2} m v ^2`,
kde g je tíhové zrychlení.
Nyní již jen vyjádříme v1 a dosadíme do předchozí rovnice:
`v_0 = frac{M+m}{m}sqrt{gh}`,
což představuje náš požadovaný výsledek.
My budeme postupovat nepatrně odlišně, a to z toho důvodu, že dokážeme změřit v0, avšak h s dostatečnou přesností nikoli. Lépe měřitelnou veličinou je výchylka ve vodorovném směru x, která typicky nabývá mnohem větších hodnot než zdvih h.
Z předchozích úvah je také zřejmé, že výšku h vypočítáme pomocí vztahu:
`h = v_0 ^2 frac{m^2}{(M+m)^2 2g}`.
Jelikož neměříme výšku výstupu h, ale výchylku ve směru osy x, musíme použít ještě geometrickou úvahou. Měříme hodnotu výchylky x, kterou získáme jako x složku bodu, který bude představovat průsečík kružnice o poloměru l a se středem v bodě [0, l] a přímkou y = h, kde za h dosadíme požadovanou hodnotu (viz obrázek). Po těchto úvahách získáme dvě rovnice pro dvě neznámé[1]:
`x^2+(y-l)^2 = l^2`,
`y=h`.
Nyní dosadíme do druhé rovnice za h, do první rovnice za y a vypočítáme hodnotu x:
`x= sqrt{| {(v_0 ^2 {frac{m^2}{2 g (M+m)^2)})^2-l^2}|}`.
Jelikož neznáme délku závěsu l, musíme ji určit nepřímo z naměřené periody kyvu. Délka se l se nazývá efektivní délka. Určíme ji ze známého vztahu:
`T = 2pi sqrt{frac{l}g}`,
odsud po úpravě:
`l = frac {T^2}{4pi^2}g`.
Tuto hodnotu je pak již možné dosadit za l. Jelikož uvažujeme periodický pohyb vypočítaný na základě periody matematického kyvadla, užíváme aproximace pro malé úhly výchylky, tedy že
`sin (alpha) =alpha`.
Zajímavý je také model fyzického kyvadla, který ale kvůli tomu, že většinou je možně měřitelná pouze efektivní délka závěsu (potřebujeme takový závěs, který by umožňoval pohyb kyvadla jen ve směru jedné osy, což nemůže být prostý závěs z jednoho místa), nevede při elementárních školních přístupech k dobrým řešením a výsledky jsou překvapivě horší než u kyvadla matematického.
U experimentální experimentu s balistickým kyvadlem je nutné zajistit především, aby se kyvadlo pohybovalo podél jedné osy. Toho se dosáhne při použití bifokálního závěsu. Čím je závěs delší, tím větší výchylky lze pozorovat a měření se stává lépe zpracovatelné i zábavnější pro žáky. Druhou oblast, kterou je potřeba ošetřit, jsou vibrace závěsu, které lze eliminovat vhodným rozmístěním závaží.
Jako kyvadlo lze užít libovolnou krabici rozumných rozměrů, která je vycpaná kartonovým papírem či jinou výplní v závislosti na tom, čím chcete do kyvadla střílet. Jako nevhodný se pro větší rychlosti střely jevil polystyrén, který se silně rozpadal. Pak je již jen nutné provést takovou kalibraci závěsu, aby se pohyboval opravdu rovně, a zajistit zařízení pro odečet.
To může být trojího druhu: měřit můžeme úhel, například podle dostatečně velkého vyrobeného úhloměru, který je umístěn někde u závěsu tak, aby byl odečet co nejsnazší. Druhou možností je, si ke kyvadlu připevnit zrcátko a pomocí laseru a metru položeného těsně pod ním odečítat výchylku ve směru osy x. Vzhledem k tomu, že v bodě obratu je nulová rychlost, tak stejně jako u odečtu úhlu není žádný problém orientační měření provést pomocí oka.
Poslední možností je určení výšky výstupu, což lze měřit například digitální kamerou, ze které získáme dva obrázky – výšku minimální a maximální. Provedeme pomocí některého grafického editoru odečet rozdílů pozic v Px a pak vyrobíme ze stejného místa ještě záběr na kalibrační metr. Pak si již snadno vypočítáme, jaké výšce v milimetrech odpovídá výchylka v pixelech.
Experiment demonstruje úlohu, která je svým způsobem vrcholem středoškolské výuky mechaniky, neboť propojuje dva nejvýznamnější zákony zachování (v gymnaziálním přiblížení) do jednoho příkladu, a je proto škoda z něj učinit pouze objekt matematického zájmu. Navíc umožňuje rozšíření celé problematiky o další mechanické úvahy související s momenty setrvačnosti, kinetické energie rotačního pohybu a připravuje prostor pro obecnější úvahy o opodstatněnosti různých aproximací a modelů ve školním kurzu fyziky.
Pokus je také mimořádně zajímavý pro žáky i po vizuální stránce – předně může být estetický a pak určitou přitažlivost bude hrát jistě i přítomnost střelné zbraně a manipulace s ní. Zde je zřejmě největší problém v realizaci tohoto experimentu, a to v otázce bezpečnosti. Je potřeba uvážit skutečnost, že se kulka může různě odrážet a neukázněného žáka během svého letu zasáhnout. Pokud však bude celý experiment v místě realizace předem řádně vyzkoušen, vyladěn a žáci budou vykazovat obvyklou míru kázně, je zřejmě možné jej provádět. Pro větší bezpečnost doporučuji jako ochranu před kulkou tlustší sklo umístěné v přiměřeném úhlu (nejlépe 45°) umístěnou za balistickým kyvadlem. Podle předpisů bezpečnosti práce jej ale lze realizovat při zajištění odpovídající bezpečnosti.[2]
Alternativou pro školské experimenty jsou jiné možnosti střelných „zbraní“, které nejsou tak nebezpečné jako vzduchovka. Tím že má střelivo nižší rychlost, je ale potřeba uzpůsobit i tvar a hmotnost balistického kyvadla. Nabízí se možnost střelby z kuličkové pistole poháněné vzduchem či pružinou, která je běžnou dětskou hračkou. Další možností jsou kuličkové pistole poháněné CO2, ty již ale produkují střely rychlosti kolem[3] 120 ms-¹, což již opět není zcela bezpečné. K dispozici jsou i slabší kuličkové zbraně s přijatelnou rychlostí okolo[4] 67 ms-¹, které se pro případ školních potřeb jeví jako poměrně vhodné s poměrem rizika a efektivnosti.Dále jsou k dispozici i pistole elektrické a další. Možností je samozřejmě i výroba vlastní zbraně poháněné nejrůznějším způsobem stlačeným vzduchem – ať již mechanicky nebo pomocí sifonové bombičky.
Spíše žertovné využití může mít balistické kyvadlo i pro měření rychlosti střelby lukem. Zde je ale vyžadována určitá základní dovednost lukostřelců. Možné je měřit i rychlost hodu nějakým předmětem (pomocí dostatečně dlouhého závěsu a velkého závaží). Dále je možné například měřit rychlost hodu žáka, což může být zajímavá disciplína například na nějakém sportovním dni. Variant využití se nabízí velké množství.
Z experimentálních poznatků přímého měření rychlosti kulky pomocí fotografie a pulsujícího laseru se podařilo ověřit, že výpočet rychlosti kulky za užití balistického kyvadla může poskytovat velice dobré výsledky, a to nejen kvantitativně, ale také kvalitativně. Podrobnější informace o konkrétní konstrukci, výsledky a zpracování měření je možné najít v bakalářské práci Experimentální ověření vybraných fyzikálních modelů a aproximací, z nichž většina tohoto textu i grafiky pochází a jejímž jsem autorem.
[1] K výpočtu je možné užít také jednodušší úvahu založenou na užití Pythagorovy věty:
Matematické kyvadlo. Autor © Michal Černý
