Argumentace a ověřování v hodinách matematiky na gymnáziu
Archivní obsah
Tento materiál pochází ze staršího archivu rvp.cz a už není součástí aktuální nabídky. Uchováváme ho, aby na něj dál vedly původní odkazy.
Odborný článek
Argumentace a ověřování v hodinách matematiky na gymnáziu
1,5 (2 hodnocení)
Úvodní hodina tématu Argumentace a ověřování
Vzdělávací obsah vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace je v Rámcovém vzdělávacím programu pro gymnázia rozdělen do pěti částí:
Argumentace a ověřování
Číslo a proměnná
Práce s daty, kombinatorika, pravděpodobnost
Závislosti a funkční vztahy
Geometrie
Naší snahou je přiblížit vám, čtenářům Metodického portálu, první z uvedených témat. Srovnáním stávajících a nových učebních dokumentů ukážeme důležitost tématu Argumentace a ověřování v souvislostech s kurikulární reformou a novým pohledem na vzdělávání žáků gymnázií. Nabídneme vám "jak toto téma uchopit" - jak vystavět hodinu, jak využít projektové výuky, jak provázat matematiku s některými dalšími předměty. Pokusíme se rozbalit klíčové kompetence, které je možné u žáků v hodinách matematiky s výše uvedeným obsahem rozvíjet. Nedílnou součástí budou i příklady, jak k motivaci, tak k procvičení.
Srovnání na začátek
Porovnejme nejprve dva dokumenty, respektive jejich části, které se týkají obecně matematiky a vybraného tématu Argumentace a ověřování. Prvním je publikace Učební dokumenty pro gymnázia, kterou schválilo MŠMT s platností od 1. 9. 1999. Tento dokument je dosud platným dokumentem pro všechny učitele matematiky na gymnáziu. Druhým je Rámcový vzdělávací program pro gymnázia. Podle tohoto dokumentu 16 pilotních škol v projektu Pilot G/GP naplánovalo vzdělávání na svých školách a své představy popsalo ve školních vzdělávacích programech. Od září 2006 podle těchto ŠVP učí. Zkušenosti pilotních škol využijeme i v našich článcích.
Význam Argumentace a ověřování v novém pojetí vzdělávání
Prostým porovnáním zvýrazněných částí textu v obou dokumentech je zřejmé, že na zvolené téma Argumentace a ověřování je v současné době kladen větší důraz. Význam tohoto tematického celku přímo koresponduje s novým pojetím vzdělávání: "Smyslem vzdělávání na gymnáziu není předat žákům co největší objem dílčích poznatků, fakt a dat, ale vybavit je systematickou a vyváženou strukturou vědění, naučit je zařazovat informace do smysluplného kontextu životní praxe a motivovat je k tomu, aby chtěli své vědomosti a dovednosti po celý život dále rozvíjet." (Rámcový vzdělávací program pro gymnázia)
Německý spisovatel a přírodovědec Georg Christoph Lichtenberg (1742 - 1799) tuto myšlenku vyjádřil stručně: "Lidi je třeba učit, jak mají myslet, a ne to, co si mají myslet."
Vzhledem k našemu tématu Argumentace a ověřování můžeme navázat dalším citátem. Německý filozof Artur Schopenhauer (1788 - 1860) řekl: "Není nic těžšího než vyjádřit významnou myšlenku tak, aby jí každý rozuměl."
Jak nepřesně jsou žáci schopni formulovat své myšlenky i v tak přesném vědním oboru, jako je matematika, si můžeme ilustrovat na několika ukázkách z protokolů řešitelů Matematické olympiády.1 V letošním krajském kole kategorie B byla zařazena tato úloha:
Dokažte, že pro libovolná reálná čísla a, b, c z intervalu
Dokažte, že pro libovolná reálná čísla a, b, c z intervalu <0;1> platí 1 ≤ a+b+c+2(ab+ac+bc)+3(1-a)(1-b)(1-c) ≤ 9.
Není důležité, jaké je správné řešení této úlohy. Není ani důležité, jakou konkrétní podobu mají výrazy V1, V2, V3, o kterých se v ukázkách hovoří. Přečtěte si následující části řešení a zamyslete se nad tím, jaké "přesné matematické argumentace" žáci použili:
...Čím menší zvolená čísla z uvedeného intervalu budou, tím menší bude hodnota V1 + V2, ale zároveň tím větší bude hodnota V3, protože zde máme v závorce vždy 1 - x. To znamená, že tyto odlišnosti se jaksi vykompenzují, takže nemůžeme dostat příliš nízký nebo vysoký výsledek...
...Když chci dosáhnout co největší nebo co nejmenší hodnoty výrazu, pak musím logicky dosazovat za jednotlivá čísla a, b, c pouze hodnoty 0 nebo 1...
...Budu za a, b, c volit krajní body intervalu, neboť čísla uvnitř budou vždy výsledkem někde mezi...
...Pokud vezmu -6 v prvním intervalu, ihned se vykompenzuje nějakým vyšším číslem z druhého intervalu...
...Desetinná čísla nic nezmění, pro extrémy funkce jsou krajní body intervalu jedinými místy, kde se může něco zvrtnout...
Čím motivovat žáky v úvodní hodině
Všichni víme, že dobrá motivace žáků je základem úspěchu. V předcházejícím odstavci jsme pro ilustraci použili dva citáty. Využijme této myšlenky i pro práci v úvodní hodině části Argumentace a ověřování. Jaké citáty či přísloví jsou žáci schopni pomocí internetu nebo knih vyhledat vzhledem k danému tématu? Předkládáme vám jen krátkou ukázku toho, co žáci mohou nalézt na internetu po zadání hesla Citáty do vyhledávače:
Francis Bacon Člověk totiž věří tomu, co chce považovat za pravdivé. Protože nemá dost trpělivosti k objevování, zavrhuje věci nesnadné, dále věci střízlivé, jež jdou do větší hloubky, neboť je pověrčivý. Zamítá rovněž světlo zkušenosti, protože je pyšný a nadutý, aby se nezdálo, že v mysli prodlévá u věcí nepotřebných a pomíjejících, dále odmítá věci paradoxní, poněvadž podléhá běžnému mínění. Běží-li člověk po nesprávné cestě, vzdálí se pravdě více, čím je schopnější a rychlejší.
Voltaire Chceš-li se mnou diskutovat, přesně vysvětli pojmy.
Jaromír Štetina Aby se člověk neopakoval, nekecal, nemluvil ve frázích, potřebuje se dostat k jednoduchosti.
Jonas Ridderstrale Jednoduchost je obtížnější, než se obvykle zdá.
Warren Edward Buffett Jednoduché neznamená prostoduché.
Lucius Annaeus Seneca Do neštěstí vás přivádí nikoli věci, které nevíte, ale věci, které víte jistě, ale které nejsou pravda.
Epiktétos z Hierapole Chceš-li dokázat nějakou pravdu, nerozčiluj se a nevyslovuj ani jediné zlé či urážlivé slovo.
Luc de Clapiers Vauvenargues Ozdobou hlubokých myšlenek je jasnost.
Marcus Tullius Cicero Dobře mluvit může jen ten, kdo věci důkladně rozumí.
Arabské přísloví Když se necháš vést krákajícím havranem, dojdeš k mršině.
Islandské přísloví K tomu, aby se jedna lež zdála pravdivou, potřebuješ sedm dalších.
Čínské přísloví Člověk, který má pravdu, nepotřebuje zvyšovat hlas.
Úkolem žáků může být nejenom nalézt vhodný citát, ale dozvědět se i něco víc o jeho autorovi. Při tomto zadání se otvírá možnost využití získaných informací s přesahem do některých dalších vzdělávacích oblastí (např. ve vzdělávací oblasti Člověk a společnost a v oblasti Informatika a ICT). Zajímavým nápadem je propojení v oblasti Jazyk a jazyková komunikace. Jak získané citáty využít záleží jen na společné domluvě mezi učiteli jednotlivých předmětů.
1 Příspěvek, ze kterého jsou ukázky převzaty, byl přednesen Doc. RNDr. Jaromírem Šimšou na konferenci Ani jeden matematický talent nazmar v květnu 2007.
