Archimedův zákon a tání ledu

Při umísťování ledových válečků do nádob je nutné dbát na to, aby led se zamrzlou kuličkou byl umístěn tak, aby kulička byla v dolní části ledu, a led s vmrzlou korkovou zátkou byl umístěn tak, aby zátka byla v horní části ledu. Tím zaručíme stabilní polohu ledu po nalití vody do nádob s ledovými válečky.

Jakmile ledové válečky zcela roztají, experiment skončil. Pohledem na jednotlivé nádoby, ve kterých je nyní už jen voda (a případně ocelová kulička nebo korková zátka), zjistíme výsledky experimentu. V nádobě, ve které byl původně jen led s vodou, je hladina vody v původní výšce, ve které byla na začátku experimentu, a kolem nádoby je sucho. V nádobě, ve které byl led s ocelovou kuličkou, hladina vody klesla oproti počátečnímu stavu experimentu. A konečně v nádobě, ve které byl spolu s ledem i korek, se objem vody zvětšil, a proto část vody přetekla a vytvořila pod nádobou loužičku vody. Tyto závěry jsou zobrazeny též na obr. 4.

Vysvětlení experimentu

Vysvětlení provedeného experimentu vyplývá z platnosti Archimedova zákona. Rozebereme jednotlivé případy v závislosti na tom, jaký ledový váleček ve vodě v nádobě tál.

Led bez dalších nečistot, který je umístěný do nádoby s vodou, plave na hladině vody. Hustota ledu je totiž menší než hustota vody. To znamená, že velikost tíhové síly ledu je menší, než je velikost vztlakové síly působící na celý ledový útvar. Proto se led částečně vynoří nad hladinu tak, aby se obě uvažované síly vyrovnaly (viz obr. 5); během vynořování se postupně zmenšuje velikost vztlakové síly. Platí tedy (ve shodě s Archimedovým zákonem), že hmotnost celého ledu je stejná, jako je hmotnost vody o stejném objemu, jakou má ponořená část ledu. To znamená, že objem vody, která vznikne táním celého ledu (tj. voda o stejné hmotnosti, jakou má led), má stejný objem jako ponořená část ledu. Proto se po roztátí ledu výška hladiny vody ve sklenici nezmění.

S využitím matematického vyjádření můžeme rovnováhu tíhové síly a vztlakové síly působící na led psát ve tvaru `F_G=F_(vz)` . Po dosazení dostáváme tvar `m*g=V*rho*g` , kde m je hmotnost ledu, V je objem ponořené části ledu, `rho` je hustota vody, v níž je led ponořen, a g je velikost tíhového zrychlení. Pro hmotnost ledu tedy dostáváme vztah `m=V*rho` , tj. hmotnost ledu je stejná jako hmotnost vody o stejném objemu, jakou má ponořená část ledu. Hmotnost vody, která z ledu vznikne táním, bude stejná jako hmotnost ledu. To tedy znamená, že objem vody vzniklé táním ledu je stejný, jako je objem ponořené části ledu.

(Poznámka: Během tání ledu, resp. tuhnutí vody, předpokládáme neměnnou hmotnost dané látky. Teoreticky se hmotnost mění podle Einsteinova vztahu svazujícího celkovou energii tělesa a jeho celkovou hmotnost, ale v makrosvětě jsou tyto změny hmotnosti naprosto zanedbatelné vzhledem k hmotnosti uvažovaných těles.)

Skutečnost, že voda, která vznikne táním ledu, má stejný objem jako ponořená část ledu, je dána tím, že led má menší hustotu než voda. Proto má led (při stejné hmotnosti jako voda) oproti vodě větší objem.

Právě zmíněné úvahy platí pouze pro led, který plave v téže vodě, z jaké vznikl. Pro led vzniklý z říční vody, který plave v moři, tyto úvahy neplatí. Takovou situaci lze snadno domyslet po rozboru dalších dvou částí provedeného experimentu.

Led, ve kterém je vmrzlá ocelová kulička, plave na hladině vody. Je ale ponořen do vody větší částí, než by byl ponořen samotný led o stejném vnějším objemu. I v tomto případě ale platí rovnováha tíhové síly celého tělesa (celý led + ocelová kulička) a vztlakové síly ponořené části tělesa (tj. část ledu + kulička); situace je schematicky zobrazena na obr. 6. Kulička bude vzhledem ke své vyšší hustotě ve srovnání s ledem vždy v dolní části ponořené části ledu. V tomto případě vytlačí kulička o hmotnosti `m_k` zamrzlá v ledu vodu o objemu `V_1` daným podílem hmotnosti kuličky a hustoty vody `rho` (dle Archimedova zákona), tj. platí `V_1=m_k/rho` . Jakmile se kulička z tajícího ledu uvolní, klesne na dno nádoby a vytlačí vodu o objemu `V_2` , který je roven objemu kuličky. Objem kuličky je přitom roven podílu hmotnosti kuličky a hustoty materiálu kuličky (tj. v tomto případě oceli) `rho_k` . Platí tedy `V_2=m_k/rho_k` . Vzhledem k tomu, že hustota kuličky `rho_k` je větší než hustota vody `rho` (tj. `rho_k>rho`), je objem vody `V_2`, kterou vytlačí kulička uvolněná z ledu a ležící na dně nádoby, menší než objem vody `V_1`, kterou vytlačila kulička zamrzlá v ledu (tj. `V_2<V_1`). Samotný led bez kuličky zaujme novou rovnovážnou polohu, v níž bude opět plavat na hladině vody. Dle předchozího vysvětlení se táním tohoto ledu výška hladiny vody v nádobě nezmění. Uvolněním kuličky od ledu se ale výška hladiny vody v nádobě sníží – a to je také výsledek této části experimentu.

U ledu, ve kterém je zamrzlá korková zátka, je vysvětlení analogické jako u experimentu s ledem a zamrzlou kuličkou. Rozdíl spočívá ve vzájemném porovnání hustoty vody a hustoty ocelové kuličky v jednom případě a hustoty vody a hustoty korku v tomto případě. Hustota vody je menší, než je hustota oceli, a proto je objem samotné kuličky menší než objem vody, kterou kulička vytlačí, je-li zamrzlá do ledu. V případě korkové zátky je hustota vody větší než hustota korku. Proto je objem samotné korkové zátky větší, než je objem vody vytlačené korkem, který je zamrzlý do ledu. Proto po roztátí ledu, ve kterém je zamrzlá korková zátka, výška hladina vody vzroste. (Korková zátka se sice částečně vynoří nad hladinu vody, ale i ponořená část zátky způsobí nárůst hladiny vody v nádobě.) Vzhledem k tomu, že všechny nádoby byly na začátku experimentu naplněné až po okraj, znamená to, že v tomto případě nádoba přeteče.

Při rozboru experimentů na téma Archimedův zákon, který provádíme se žáky, je vhodné klást důraz zejména na fyzikální rozbor, slovní argumentaci a kreslení obrázků daných situací než na přílišné matematizování rozebíraného problém. Právě podobné typy experimentů, jako jsou popsány v tomto příspěvku, ukáží, zda žáci Archimedův zákon opravdu chápou a umí jej použít při řešení úloh a problémů, anebo jen odříkávají pro ně nic neříkající souvětí o tělese ponořeném do tekutiny!

Praktické důsledky – tání ledovců

Na základě tohoto experimentu je možné pak se žáky diskutovat nad problémem, který je ve sdělovacích prostředcích velmi často probírán: tání ledovců plujících v mořích. Lze se dočíst, že tání ledovců způsobí zvýšení hladiny vody ve světových oceánech a následně pak způsobí rozsáhlé záplavy. Na základě experimentu je zřejmé, že tato katastrofická varianta by mohla nastat, pokud by tál led s menší hustotou, než je hustota vody, v níž pluje. To znamená, že by ve slané vodě oceánů, která má větší hustotu, než je hustota sladké vody z řek, musely tát ledovce, které vznikly tuhnutím vody z řek. Obrovské ledovce plující světovými oceány ale velmi pravděpodobně vznikly přímo ze slané vody oceánů. V tom případě (viz výše uvedený experiment) zvýšení vodní hladiny nehrozí. Ani v případě ledovců, které vznikly tuhnutím sladké vody řek, nebezpečí dramatického zvýšení vodní hladiny nehrozí (viz další odstavec).

Jiná situace pochopitelně nastane, pokud by začaly tát ledovce z hor. V tom případě se voda, která táním vznikne, dostane do oceánů a může v nich způsobit zvýšení hladiny vody. Nicméně i zde jsou dva důvody, proč se není nutné obávat velké katastrofy. Prvním důvodem je rozsáhlá plocha hladiny světových oceánů, vlivem které se zvýšení hladiny projeví jen velmi málo – nadbytečná voda z ledovce se prostě rozlije na větší plochu. Druhým důvodem jsou fyzikální vlastnosti ledu: led má relativně velké, tzv. měrné, skupenské teplo tání. To znamená, že k tomu, aby roztál jeden kilogram ledu, musí tento led přijmout poměrně velké teplo (přibližně 330 kJ). Proto ledovce (odtávají-li) odtávají pozvolna a vzniklá voda se postupně vsakuje do půdy a odpařuje se a do světových oceánů jí nepřiteče velké množství.